AMC 8 · 2006 · #9
쉬운 모드 학년 5문제
다음과 같이 분수들을 길게 곱한 식이 있다고 생각해봅시다.
23×34×45×⋯×20052006
규칙은 끝까지 똑같이 이어집니다. 각 분수의 분자는 분모보다 1만큼 더 큽니다. 그리고 마지막 분수는 20052006입니다.
이 전체 곱의 값은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 곱 $\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times\cdots\times\frac{2006}{2005}$ 의 값을 구하세요. 각 인수는 분자가 분모보다 $1$ 큰 분수이고, 한 인수의 분자가 다음 인수의 분모와 같습니다.
주어진 것: 곱은 $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\cdots\times\dfrac{2006}{2005}$; 각 인수는 $\dfrac{k+1}{k}$ 꼴이고, $k$ 는 $2$ 부터 $2005$ 까지; 총 $2004$ 개의 인수가 곱해진다; 선택지: (A) $1$, (B) $1002$, (C) $1003$, (D) $2005$, (E) $2006$
구하는 것: 전체 곱의 값
이해
문제 재정리: 곱 $\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\frac{5}{4}\times\cdots\times\frac{2006}{2005}$ 의 값을 구하세요. 각 인수는 분자가 분모보다 $1$ 큰 분수이고, 한 인수의 분자가 다음 인수의 분모와 같습니다.
주어진 것: 곱은 $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\cdots\times\dfrac{2006}{2005}$; 각 인수는 $\dfrac{k+1}{k}$ 꼴이고, $k$ 는 $2$ 부터 $2005$ 까지; 총 $2004$ 개의 인수가 곱해진다; 선택지: (A) $1$, (B) $1002$, (C) $1003$, (D) $2005$, (E) $2006$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기
$2004$ 개의 분수를 직접 곱하는 것은 불가능하니, 문제는 구조를 보라고 말하고 있습니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 주력입니다 — 한 인수의 분자가 다음 인수의 분모와 같다는 성질은 대부분의 항이 약분되는 텔레스코핑(망원경) 곱의 신호이기 때문입니다. $2004$ 개를 다 쓰지 않고도 약분을 보려면 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)가 딱입니다. 짧은 곱부터 계산해서 무엇이 살아남는지 확인하고, 같은 패턴이 끝까지 이어진다는 점을 활용합니다.
실행 — 정답: C
5.NF.B.4 단계 1 - 먼저 짧은 곱으로 패턴을 드러냅니다.
- 앞쪽 세 인수만 골라 하나의 분수로 정리합니다.
💡 짧은 곱부터 해보는 것은 5학년 "분수의 곱셈" 그대로입니다. 손으로 충분히 다룰 만큼 작지만, 무슨 일이 일어나는지는 보입니다.
4.OA.C.5 단계 2 - 무엇이 약분됐는지 봅니다.
- $3$ 과 $4$ 는 분자에도 한 번, 분모에도 한 번 나타나서 사라졌습니다.
- 살아남은 것은 맨 앞 분모 $2$ 와 맨 뒤 분자 $5$ 뿐입니다.
- 이게 바로 그 패턴입니다.
💡 내부의 수들이 분자와 분모에 한 번씩 나타난다는 점을 알아채는 것은 4학년 "패턴 만들고 특징 찾기" 그대로입니다.
5.NF.B.4 단계 3 - 같은 패턴을 전체 곱에 적용합니다.
- $3$ 부터 $2005$ 까지의 모든 내부 수는 분자에 한 번, 분모에 한 번 나타나서 약분됩니다.
- 살아남는 것은 맨 앞 분모 $2$ 와 맨 뒤 분자 $2006$ 뿐입니다.
💡 짧은 곱에서 본 약분 규칙은 긴 곱에서도 그대로 통합니다. 길이만 늘었을 뿐 구조는 바뀌지 않았으니까요.
5.NBT.B.6 단계 4 마지막으로 나눠서 마무리합니다.
💡 텔레스코핑으로 정리된 분수를 5학년 나눗셈 한 번으로 답으로 바꿉니다.
5.NF.B.4 먼저 짧은 곱으로 패턴을 드러냅니다. 앞쪽 세 인수만 골라 하나의 분수로 정리합니다. 4.OA.C.5 무엇이 약분됐는지 봅니다. $3$ 과 $4$ 는 분자에도 한 번, 분모에도 한 번 나타나서 사라졌습니다. 살아남은 것은 맨 앞 분모 $2$ 와 5.NF.B.4 같은 패턴을 전체 곱에 적용합니다. $3$ 부터 $2005$ 까지의 모든 내부 수는 분자에 한 번, 분모에 한 번 나타나서 약분됩니다. 살아남는 5.NBT.B.6 마지막으로 나눠서 마무리합니다. 검토
합리성 확인: 패턴을 한 번 더 확인합니다. $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\dfrac{6}{5}$ 는 $\dfrac{6}{2} = 3$ 이 되어야 합니다. 직접 계산해도 $\dfrac{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} = \dfrac{360}{120} = 3$. 일치합니다. "답 = 마지막 분자 $\div$ 첫 분모" 규칙이 확인됐고, 이를 시험 문제에 적용하면 $2006/2 = 1003$. 또한 각 인수가 $1$ 보다 살짝 큰 수임에도 $2004$ 번이나 곱하므로 답은 $1000$ 보다 살짝 큰 정도가 자연스럽고, $1003$ 이 거기에 맞아떨어집니다. $1$, $2005$, $2006$ 은 후보에서 빠집니다.
대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): 곱을 압축해서 $P = \prod_{k=2}^{2005}\dfrac{k+1}{k}$ 로 씁니다. 분자는 $3\cdot 4\cdots 2006 = \dfrac{2006!}{2!}$, 분모는 $2\cdot 3\cdots 2005 = \dfrac{2005!}{1!}$ 이므로 $P = \dfrac{2006!/2!}{2005!/1!} = \dfrac{2006}{2} = 1003$. 같은 답을 팩토리얼 표기로 옷만 갈아입혀 본 셈입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NF.B.4기존 곱셈의 이해를 확장하여 분수의 곱셈하기 (짧은 곱 $\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{5}{4}$ 를 분자끼리 분모끼리 묶어 계산하고, 같은 규칙을 $2004$ 개 인수의 전체 곱으로 확장하는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들고 특징 찾기 (내부의 모든 수가 분자와 분모에 한 번씩 등장해 약분되고, 맨 앞 분모와 맨 뒤 분자만 살아남는다는 패턴을 인식하는 데 사용.)5.NBT.B.6자연수끼리의 나눗셈 몫 구하기 ($2006 \div 2 = 1003$ 을 계산해 텔레스코핑된 분수를 최종 정수 답으로 바꾸는 데 사용.)
⭐ 한 분수의 분자가 다음 분수의 분모와 똑같이 이어지면, 거의 모든 수가 약분됩니다. 맨 앞 분모와 맨 뒤 분자만 살아남고 — 여기서는 $2006 \div 2 = 1003$ 입니다.
⭐ 한 분수의 분자가 다음 분수의 분모와 똑같이 이어지면, 거의 모든 수가 약분됩니다. 맨 앞 분모와 맨 뒤 분자만 살아남고 — 여기서는 $2006 \div 2 = 1003$ 입니다.
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