AMC 8 · 2009 · #4

쉬운 모드 학년 3

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문제

작은 정사각형들로 만들어진 다섯 조각의 그림이 있다고 생각해보세요. 그 아래에는 (A)부터 (E)까지 다섯 개의 더 큰 모양이 있습니다.

다섯 개의 모양 중 네 개는 위에 있는 다섯 조각을 잘 맞춰 끼우면 만들 수 있어요. 그런데 한 모양은 아무리 조각을 돌리거나 옮겨도 만들 수 없습니다.

만들 수 없는 모양은 어느 것일까요?

그림

높이가 1, 2, 3, 4, 5칸인 세로 막대 다섯 조각 — 총 15칸.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(figure A)

(B)

(figure B)

(C)

(figure C)

(D)

(figure D)

(E)

(figure E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 단위 정사각형 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 개가 세로로 붙은 다섯 개의 띠(strip) 조각이 주어집니다. 선택지 (A)–(E) 의 다섯 도형 중 네 개는 이 다섯 조각으로 겹치거나 남는 부분 없이 정확히 덮을 수 있고, 한 개는 덮을 수 없습니다. 만들 수 없는 도형 하나를 찾으세요.

주어진 것: 다섯 개의 조각은 모두 가로 $1$ 짜리 세로 띠로, 높이는 각각 $1, 2, 3, 4, 5$; 조각들의 총 넓이 $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 개의 단위 정사각형; 선택지의 각 도형도 정확히 $15$ 개의 단위 정사각형으로 이루어짐; 조각은 겹치지 않게 도형을 정확히 덮어야 함; 그림에 보이듯이 조각은 세로 띠 그대로 사용 (가로로 $90^\circ$ 회전 없음)

구하는 것: 다섯 띠로 덮을 수 없는 도형이 (A), (B), (C), (D), (E) 중 어느 것인지

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

직접 띠를 맞춰 보는 타일 퍼즐이라 도구 #10(직접 만져보기) 이 가장 자연스러운 출발점입니다 — 높이 $1, 2, 3, 4, 5$ 인 종이 띠 다섯 개를 잘라 도형 위에 올려 보면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 그 과정을 단축해 줍니다: 각 선택지 도형의 열별 높이만 적어 두고, 다섯 띠의 높이로 분할 가능한지 따져 보면 충분합니다. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 마무리합니다 — "만들 수 없는 것 하나" 를 묻는 객관식이므로, 만들 수 있는 네 개를 차례로 지워 남은 하나를 답으로 잡습니다. 핵심 단서는: 높이 $5$ 띠는 $5$ 칸 이상의 세로 열이 필요하며, 가장 높은 열이 $5$ 미만인 도형은 자동으로 불가능합니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 2.OA.B.2 단계 1

먼저 띠들의 총 칸 수를 더해 $15$ 칸짜리 도형과 일치하는지 확인합니다.
띠 높이는 $1, 2, 3, 4, 5$ 이므로 총 넓이는 $1+2+3+4+5=15$ 개의 단위 정사각형입니다.
각 선택지 도형도 칠해진 칸이 $15$ 개씩이라 "넓이" 만으로는 어떤 것도 배제되지 않습니다 — 판단 근거는 "조각이 열에 어떻게 들어가는가" 입니다.

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$

💡 $1$ 부터 $5$ 까지의 합 $15$ 는 2학년 "20까지 더하기" 수준이고, 도형 넓이와 정확히 같습니다.

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 2

각 선택지 도형의 열별 높이를 왼쪽부터 오른쪽으로 적습니다.
띠는 가로 $1$ 칸 세로 띠이므로 도형의 한 열 안에 통째로 또는 연속된 일부로만 들어갈 수 있습니다.
(A) 높이 $5, 3, 2, 5$ (네 열) (B) 높이 $2, 3, 4, 3, 3$ (다섯 열) (C) 높이 $5, 4, 3, 2, 1$ (다섯 열 — 계단 모양) (D) 높이 $5, 5, 5$ (세 열 — $3 \times 5$ 직사각형) (E) 높이 $1, 4, 5, 4, 1$ (다섯 열).

$$\text{(A)}\;5,3,2,5\;|\;\text{(B)}\;2,3,4,3,3\;|\;\text{(C)}\;5,4,3,2,1\;|\;\text{(D)}\;5,5,5\;|\;\text{(E)}\;1,4,5,4,1$$

💡 각진 도형을 세로 직사각형들로 쪼개 보는 것은 3학년 넓이 다루는 방식 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 3.MD.C.5 단계 3

다섯 띠 중 가장 긴 $5$ 칸 띠가 들어갈 자리가 있는지 도형마다 확인합니다.
띠는 세로 한 줄이고 폭이 $1$ 이므로, 한 열의 연속된 높이가 적어도 $5$ 가 되어야 합니다.
2단계의 열 높이를 보면 (A) 에는 높이 $5$ 인 열이 있고, (C) 에도 높이 $5$ 인 열이 있고, (D) 는 세 열 모두 $5$, (E) 에도 가운데에 높이 $5$ 인 열이 있습니다.
하지만 (B) 의 가장 높은 열은 $4$ 라서 $5$ 칸 띠가 들어갈 자리가 없습니다.

$$\max\text{(B)} = 4 < 5$$

💡 각 열의 단위 정사각형 개수를 세어 비교하는 것은 3학년 "단위 칸 세기로 넓이 구하기" 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 3.MD.C.7 단계 4

남은 (A), (C), (D), (E) 가 정말 덮을 수 있는지 도구 #10 으로 직접 확인합니다.
(C) 계단 모양은 열 높이가 $5, 4, 3, 2, 1$ — 같은 높이의 띠를 그대로 하나씩 올리면 끝.
(D) $3 \times 5$ 직사각형은 열 높이가 $5, 5, 5$ — 한 열은 $5$ 띠로, 나머지 두 열은 $4{+}1$ 과 $3{+}2$ 로 쌓아 채웁니다.
(A) 열 높이 $5, 3, 2, 5$ — 한쪽 $5$ 열은 $5$ 띠로, 다른 $5$ 열은 $4{+}1$ 로, 가운데 두 열은 $3$ 띠와 $2$ 띠로.
(E) 열 높이 $1, 4, 5, 4, 1$ — $1, 4, 5, 4, 1$ 띠를 그대로 한 열씩 끼우면 끝.
결국 (B) 만 빼고 모두 덮입니다.

$$(A)\,5{+}(4{+}1){+}3{+}2,\;(C)\,5{+}4{+}3{+}2{+}1,\;(D)\,5{+}(4{+}1){+}(3{+}2),\;(E)\,1{+}4{+}5{+}4{+}1$$

💡 도형을 열 단위 직사각형으로 쪼개 덮는 것은 3학년 "직사각형으로 분해해 넓이 구하기" 의 직관입니다.

#3 가능성 지우기 3.MD.C.5 단계 5

지우고 나니 남은 것은 (B) 하나입니다.
3단계에서 본 것처럼 (B) 에는 높이 $5$ 인 열이 없으므로 $5$ 칸 띠를 도형 안에 넣을 방법이 없습니다.
따라서 만들 수 없는 도형은 (B) 입니다.

$$\textbf{정답: (B)}$$

💡 다섯 개 중 네 개를 지우면 남는 하나가 답 — 도구 #3 의 전형적인 마무리입니다.

[1] #1 2.OA.B.2 먼저 띠들의 총 칸 수를 더해 $15$ 칸짜리 도형과 일치하는지 확인합니다. 띠 높이는 $1, 2, 3, 4, 5$ 이므로 총 넓이는 $1+2+

[2] #1 3.MD.C.7 각 선택지 도형의 열별 높이를 왼쪽부터 오른쪽으로 적습니다. 띠는 가로 $1$ 칸 세로 띠이므로 도형의 한 열 안에 통째로 또는 연속된 일부로만

[3] #3 3.MD.C.5 다섯 띠 중 가장 긴 $5$ 칸 띠가 들어갈 자리가 있는지 도형마다 확인합니다. 띠는 세로 한 줄이고 폭이 $1$ 이므로, 한 열의 연속된 높이

[4] #10 3.MD.C.7 남은 (A), (C), (D), (E) 가 정말 덮을 수 있는지 도구 #10 으로 직접 확인합니다. (C) 계단 모양은 열 높이가 $5, 4,

[5] #3 3.MD.C.5 지우고 나니 남은 것은 (B) 하나입니다. 3단계에서 본 것처럼 (B) 에는 높이 $5$ 인 열이 없으므로 $5$ 칸 띠를 도형 안에 넣을 방법

검토

합리성 확인: 각 띠는 폭 $1$ 의 세로 띠라 $5$ 칸 띠는 단위 정사각형 $5$ 개가 세로로 이어진 열이 있어야만 들어갑니다. 다섯 도형 중 모든 열의 높이가 $5$ 미만인 것은 오직 (B) 뿐입니다(높이 $2, 3, 4, 3, 3$). 나머지 네 도형에 대해서는 4단계에서 실제 덮는 방법을 보였으니, (B) 가 답이라는 결론이 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) 만으로 끝까지: 높이 $1, 2, 3, 4, 5$ 인 종이 띠 다섯 개를 잘라 인쇄된 각 도형 위에 직접 놓아 봅니다. (A), (C), (D), (E) 는 몇 번 시도하면 모두 들어맞고, (B) 는 $5$ 칸 띠가 끝내 못 들어가서 빈 공간이 남습니다. 손으로 직접 해 봐도 같은 결론 — (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.OA.B.2 암산 전략으로 20까지 능숙하게 더하고 빼기 ($1+2+3+4+5 = 15$ 로 다섯 띠의 총 넓이가 선택지 도형의 넓이와 같음을 확인하는 데 사용.)
3.MD.C.5 넓이를 평면 도형의 속성으로 인식하고 단위 정사각형 개수로 측정 (선택지 도형을 단위 정사각형의 모임으로 읽어 각 열의 높이를 세고, 어떤 도형에 높이 $5$ 짜리 세로 열이 있는지 판별하는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산과 연결하기 (각 선택지 도형을 세로 직사각형(열) 들로 분해하고, 그 열들이 띠 높이 $1, 2, 3, 4, 5$ 의 조합으로 채워질 수 있는지 검사하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 결국 3학년 "도형을 타일로 덮기" 퍼즐이에요 — 가장 긴 띠가 들어갈 자리가 있는지 보면 끝!

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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