AMC 8 · 2009 · #9
쉬운 모드 학년 4문제
정삼각형 하나에서 시작합니다. 그 한 변에 정사각형을 붙입니다. 두 도형이 그 변을 함께 나누어 가지게 되는 거예요.
이번에는 정사각형의 변 중에서 삼각형과 닿아 있지 않은 변을 하나 고릅니다. 그 변에 정오각형을 붙입니다. 그다음에는 정오각형의 변 중에서 정사각형과 닿지 않은 변에 정육각형을 붙입니다. 같은 방식으로 정칠각형(7변), 마지막으로 정팔각형(8변)까지 차례로 붙입니다.
이렇게 모든 도형을 붙이면 하나의 큰 도형이 됩니다. 이 도형의 바깥쪽 둘레에는 변이 몇 개 있을까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정삼각형($3$각형)에서 출발해서, 한 변에 정사각형($4$각형)을 붙입니다. 그 정사각형의 (삼각형 쪽이 아닌) 한 변에 정오각형을 붙이고, 같은 방식으로 정육각형, 정칠각형, 정팔각형까지 차례로 한 변씩 이어 붙입니다. 이렇게 만들어진 큰 도형의 둘레는 모두 몇 개의 변으로 이루어져 있을까요?
주어진 것: 사용된 다각형 순서: 삼각형($3$), 사각형($4$), 오각형($5$), 육각형($6$), 칠각형($7$), 팔각형($8$); 각 새 다각형은 바로 이전 다각형의 한 변과 정확히 맞붙는다; "맞붙지 않은 변"이란, 새 다각형이 빈 공간 쪽으로 뻗어 나간다는 뜻; 선택지: (A) $21$, (B) $23$, (C) $25$, (D) $27$, (E) $29$
구하는 것: 완성된 합쳐진 도형의 둘레에 있는 변의 총 개수
이해
문제 재정리: 정삼각형($3$각형)에서 출발해서, 한 변에 정사각형($4$각형)을 붙입니다. 그 정사각형의 (삼각형 쪽이 아닌) 한 변에 정오각형을 붙이고, 같은 방식으로 정육각형, 정칠각형, 정팔각형까지 차례로 한 변씩 이어 붙입니다. 이렇게 만들어진 큰 도형의 둘레는 모두 몇 개의 변으로 이루어져 있을까요?
주어진 것: 사용된 다각형 순서: 삼각형($3$), 사각형($4$), 오각형($5$), 육각형($6$), 칠각형($7$), 팔각형($8$); 각 새 다각형은 바로 이전 다각형의 한 변과 정확히 맞붙는다; "맞붙지 않은 변"이란, 새 다각형이 빈 공간 쪽으로 뻗어 나간다는 뜻; 선택지: (A) $21$, (B) $23$, (C) $25$, (D) $27$, (E) $29$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 본질적으로 시각적입니다 — 도형들이 한 변씩 맞붙어 사슬을 이루고, 맞붙은 변은 둘레에서 사라집니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 사슬을 간단히 스케치해 보면, 양 끝의 두 다각형(삼각형, 팔각형) 은 각각 $1$ 변을 잃고, 가운데의 네 다각형은 각각 $2$ 변을 잃는다는 게 한눈에 보입니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "다각형마다 둘레에 기여하는 변이 몇 개인가?" 라는 여섯 개의 작은 문제로 나눈 뒤 마지막에 더하면 됩니다. 대수 같은 건 필요 없습니다.
실행 — 정답: B
2.G.A.1 단계 1 - 먼저 사슬을 그려 봅니다.
- 삼각형 옆에 사각형, 사각형 옆에 오각형, 그렇게 팔각형까지.
- 그림을 그려 보면 여섯 다각형이 한 줄로 이어져 있고, 이웃한 두 도형은 정확히 한 변씩 맞닿아 있다는 것이 보입니다.
💡 각 도형을 변의 개수($3, 4, 5, 6, 7, 8$) 로 식별하는 것은 2학년 "속성으로 도형 이름 짓기" 그대로입니다.
4.G.A.2 단계 2 - 각 다각형별로 하나씩 작은 문제로 쪼갭니다.
- 다각형마다 전체 변의 수에서 맞붙어 사라진 변(양 끝은 $1$개, 가운데는 $2$개) 을 빼면 그 다각형이 둘레에 기여하는 변의 수가 나옵니다.
💡 정$n$각형이 같은 길이의 $n$개의 변을 가진다는 것은 4학년 "$2$차원 도형 분류" 지식입니다.
3.OA.D.8 단계 3 - 삼각형(사슬 끝): 전체 $3$ 변 중 $1$ 변이 사각형과 맞붙음.
- 둘레 기여 = $3 - 1 = 2$ 변.
💡 뺄셈 한 번으로 끝나는 작은 문장제 — 3학년 두 단계 연산입니다.
3.OA.D.8 단계 4 - 사각형(사슬 가운데): 전체 $4$ 변 중 $2$ 변이 맞붙음(한쪽은 삼각형, 다른 쪽은 오각형).
- 둘레 기여 = $4 - 2 = 2$ 변.
💡 가운데 도형은 양쪽 이웃과 맞닿으므로 $2$개를 빼야 합니다.
3.OA.D.8 단계 5 - 오각형(가운데): $5 - 2 = 3$.
- 육각형(가운데): $6 - 2 = 4$.
- 칠각형(가운데): $7 - 2 = 5$.
- 가운데에 있는 정$n$각형은 모두 $n - 2$ 변을 기여합니다.
💡 가운데 다각형들은 깔끔한 규칙을 따릅니다: 정$n$각형의 기여 $= n - 2$.
3.OA.D.8 단계 6 - 팔각형(사슬 끝): 전체 $8$ 변 중 $1$ 변이 칠각형과 맞붙음.
- 둘레 기여 = $8 - 1 = 7$ 변.
💡 팔각형도 삼각형처럼 사슬 끝이라 이웃이 하나뿐이므로 $1$개만 빼면 됩니다.
4.OA.A.3 단계 7 여섯 다각형의 기여를 모두 더해 둘레 변의 총수를 구합니다.
💡 여러 단계의 결과를 마지막에 합하는 것은 4학년 "여러 단계 문장제 해결" 표준입니다.
2.G.A.1 먼저 사슬을 그려 봅니다. 삼각형 옆에 사각형, 사각형 옆에 오각형, 그렇게 팔각형까지. 그림을 그려 보면 여섯 다각형이 한 줄로 이어져 있고, 4.G.A.2 각 다각형별로 하나씩 작은 문제로 쪼갭니다. 다각형마다 전체 변의 수에서 맞붙어 사라진 변(양 끝은 $1$개, 가운데는 $2$개) 을 빼면 그 3.OA.D.8 삼각형(사슬 끝): 전체 $3$ 변 중 $1$ 변이 사각형과 맞붙음. 둘레 기여 = $3 - 1 = 2$ 변. 3.OA.D.8 사각형(사슬 가운데): 전체 $4$ 변 중 $2$ 변이 맞붙음(한쪽은 삼각형, 다른 쪽은 오각형). 둘레 기여 = $4 - 2 = 2$ 변. 3.OA.D.8 오각형(가운데): $5 - 2 = 3$. 육각형(가운데): $6 - 2 = 4$. 칠각형(가운데): $7 - 2 = 5$. 가운데에 있는 정$n 3.OA.D.8 팔각형(사슬 끝): 전체 $8$ 변 중 $1$ 변이 칠각형과 맞붙음. 둘레 기여 = $8 - 1 = 7$ 변. 4.OA.A.3 여섯 다각형의 기여를 모두 더해 둘레 변의 총수를 구합니다. 검토
합리성 확인: 교차 검산: 여섯 다각형의 변의 합은 $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$. 맞붙은 자리(이음매) 는 삼각형-사각형, 사각형-오각형, 오각형-육각형, 육각형-칠각형, 칠각형-팔각형 — 모두 $5$개. 이음매 하나당 양쪽 도형의 변이 $1$개씩 사라지므로 총 $5 \times 2 = 10$ 변이 둘레에서 빠집니다. 그래서 $33 - 10 = 23$. 답 (B) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 가운데 정$n$각형은 모두 $n - 2$ 변을 기여하고, 양 끝의 두 다각형은 (변의 수 $- 1$) 변을 기여합니다. 그래서 총합은 $(3 - 1) + (4 - 2) + (5 - 2) + (6 - 2) + (7 - 2) + (8 - 1) = 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23$. 같은 답 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.G.A.1주어진 각의 개수와 같은 속성을 가진 도형을 식별하고 그리기 (사슬을 이루는 여섯 다각형을 변의 개수($3, 4, 5, 6, 7, 8$) 로 식별하는 데 사용.)3.OA.D.8사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (각 다각형의 전체 변 수에서 맞붙은 변의 수를 빼서 기여 변 수를 구함($3 - 1 = 2$, $4 - 2 = 2$ 등).)4.G.A.2변과 각의 속성을 이용해 $2$차원 도형 분류 (정$n$각형이 $n$개의 같은 길이 변을 가진다는 성질로 각 다각형의 기여를 세우는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (여섯 다각형의 뺄셈 결과를 합쳐 최종 합 $2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23$ 을 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 사고 — 도형 이름 알기, 맞붙은 변 빼기, 그리고 다 더하기 — 만으로 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 사고 — 도형 이름 알기, 맞붙은 변 빼기, 그리고 다 더하기 — 만으로 풀 수 있어요!
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