AMC 8 · 1999 · #7

학년 4 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

fraction-multiplicationinterval-arithmeticequal-spacing identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

The third exit on a highway is located at milepost 40 and the tenth exit is at milepost 160. There is a service center on the highway located three-fourths of the way from the third exit to the tenth exit. At what milepost would you expect to find this service center?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

110

(D)

120

(E)

130

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 고속도로의 $3$ 번 출구는 마일포스트(milepost) $40$ 에, $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$ 에 있습니다. 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구 방향으로 전체 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점에 있다고 합니다. 휴게소의 마일포스트는 얼마일까요?

주어진 것: $3$ 번 출구는 마일포스트 $40$; $10$ 번 출구는 마일포스트 $160$; 휴게소는 $3$ 번 출구에서 $10$ 번 출구로 가는 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 지점; 선택지: (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$, (D) $120$, (E) $130$

구하는 것: 휴게소의 마일포스트 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #1 그림 그리기

질문은 하나지만 안에 작은 작업 세 개가 숨어 있어요. 도구 #7(작은 문제로 나누기)의 신호입니다: (i) 두 출구 사이의 전체 거리를 구하고, (ii) 그 거리의 $\tfrac{3}{4}$ 을 계산하고, (iii) 결과를 출발 마일포스트에 더합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이를 받쳐 줍니다 — $40$ 부터 $160$ 까지 수직선을 간단히 그려 보면 "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 이 말이 아닌 눈금으로 보이고, $160$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 을 잘못 계산하는 흔한 실수도 막을 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 1

작은 문제 1: 두 마일포스트의 차이로 두 출구 사이의 거리를 구합니다.

$$160 - 40 = 120 \text{ 마일}$$

💡 수직선 위 두 점 사이의 거리는 두 값의 차이입니다 — 4학년 여러 단계 문제 풀이의 첫 손길이에요.

#7 작은 문제로 나누기 4.NF.B.4 단계 2

작은 문제 2: $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 를 구합니다.
분수에 자연수를 곱하는 것은 $3 \times \tfrac{120}{4}$ 과 같습니다.

$$\dfrac{3}{4} \times 120 = 3 \times \dfrac{120}{4} = 3 \times 30 = 90 \text{ 마일}$$

💡 4학년 "전체의 분수": 분모로 나눈 뒤 분자를 곱합니다.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.A.3 단계 3

작은 문제 3: $3$ 번 출구의 마일포스트에서 출발해 고속도로를 따라 $90$ 마일 더 갑니다.
더해서 휴게소의 마일포스트를 구합니다.

$$40 + 90 = 130 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 마일포스트는 진행 방향으로 커지므로, 출발 마일포스트에 거리만큼 더하면 도착 마일포스트가 됩니다.

[1] #7 4.OA.A.3 작은 문제 1: 두 마일포스트의 차이로 두 출구 사이의 거리를 구합니다.

[2] #7 4.NF.B.4 작은 문제 2: $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 를 구합니다. 분수에 자연수를 곱하는 것은 $3 \times \tfrac{120}{

[3] #7 4.OA.A.3 작은 문제 3: $3$ 번 출구의 마일포스트에서 출발해 고속도로를 따라 $90$ 마일 더 갑니다. 더해서 휴게소의 마일포스트를 구합니다.

검토

합리성 확인: 위치를 확인해 봅시다. $40$ 에서 $160$ 까지의 $\tfrac{3}{4}$ 지점은 $40$ 보다는 $160$ 에 훨씬 가까워야 합니다. 답 $130$ 은 $3$ 번 출구에서 $90$ 마일 떨어졌고 $10$ 번 출구까지는 $30$ 마일만 남아 있는데, $90 : 30 = 3 : 1$ — "세 부분 갔고 한 부분 남았다" 라는 "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 의 뜻과 정확히 맞습니다. 중간 지점은 $\tfrac{40+160}{2} = 100$ 이므로 휴게소는 $100$ 과 $160$ 사이에 있어야 합니다. 이 한 가지로 (A) $90$, (B) $100$, (C) $110$ 이 한 번에 걸러지고, (D) $120$ 도 "세 부분 : 한 부분" 비율을 만족하지 않아 탈락합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): $40$ 부터 $160$ 까지 수직선을 그리고 $120$ 마일의 간격을 네 등분 하면 각 칸이 $30$ 마일씩, 눈금이 $40, 70, 100, 130, 160$ 에 자리잡습니다. "$\tfrac{3}{4}$ 지점" 은 $40$ 다음으로 세 번째 눈금, 즉 $130$ — 분수 곱셈 없이 같은 간격 세 번만 세도 답 (E) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (뺄셈(거리 구하기) → 곱셈(거리의 분수 만큼) → 덧셈(출발 마일포스트에 더하기) 의 세 작은 문제를 이어 푸는 데 사용.)
4.NF.B.4 곱셈에 대한 이해를 확장해 분수에 자연수를 곱하기 ($\tfrac{3}{4} \times 120 = 90$ 을 "$4$ 로 나누고 $3$ 을 곱한다" 로 계산해 $120$ 마일의 $\tfrac{3}{4}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ "$A$ 에서 $B$ 까지의 분수 지점" 은 항상 $B - A$ 의 분수만큼이고, 그 값을 다시 $A$ 에 더합니다. 빼고, 분수를 취하고, 다시 더하기 — 4학년 단계 셋이면 이 AMC 8 문제는 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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