AMC 8 · 2010 · #13
쉬운 모드 학년 6문제
어떤 삼각형을 떠올려봅시다. 세 변의 길이는 모두 자연수이고(단위는 인치), 세 변의 길이는 연속된 세 수예요 — 예를 들어 4,5,6 이나 7,8,9 처럼요.
세 변의 길이를 모두 더한 값이 둘레예요. 이 삼각형에서는 가장 짧은 변의 길이가 둘레의 정확히 30% 와 같습니다.
가장 긴 변의 길이는 몇 인치일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 삼각형의 세 변의 길이(인치)가 연속된 세 정수입니다. 가장 짧은 변의 길이가 둘레의 정확히 $30\%$ 일 때, 가장 긴 변의 길이를 구하세요.
주어진 것: 세 변의 길이가 연속된 정수, 즉 $n,\;n+1,\;n+2$ 꼴; 가장 짧은 변 $= 30\% = \tfrac{3}{10}$ $\times$ 둘레; 둘레 $=$ 세 변의 길이의 합; 가장 긴 변에 대한 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$
구하는 것: 가장 긴 변의 길이 (다섯 개 선택지 중 하나)
이해
문제 재정리: 어떤 삼각형의 세 변의 길이(인치)가 연속된 세 정수입니다. 가장 짧은 변의 길이가 둘레의 정확히 $30\%$ 일 때, 가장 긴 변의 길이를 구하세요.
주어진 것: 세 변의 길이가 연속된 정수, 즉 $n,\;n+1,\;n+2$ 꼴; 가장 짧은 변 $= 30\% = \tfrac{3}{10}$ $\times$ 둘레; 둘레 $=$ 세 변의 길이의 합; 가장 긴 변에 대한 선택지: (A) $7$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #2 체계적으로 목록 만들기, #3 가능성 제거하기
참고 풀이는 도구 #13(대수)으로 $n = 0.3(3n+3)$ 을 세워 풉니다. 하지만 선택지가 가장 긴 변의 길이를 바로 알려주고, 그 값 하나로 세 변이 모두 정해집니다. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)이 더 빠르고 변수도 필요 없습니다 — 각 선택지 $L \in \{7,8,9,10,11\}$ 에 대해 세 변은 $L-2,\;L-1,\;L$ 이고 둘레는 $3L - 3$ 이므로, $\text{가장 짧은 변} = 0.3 \times \text{둘레}$ 인지만 확인하면 됩니다. 도구 #2(체계적으로 목록 만들기)로 다섯 경우를 같은 틀에 정리하고, 도구 #3(가능성 제거하기)으로 $30\%$ 조건을 못 맞춘 후보를 지워 나갑니다. 곱셈과 소수만 쓰고 대수는 전혀 필요 없습니다.
실행 — 정답: E
4.OA.C.5 단계 1 - 체계적인 목록의 틀을 세웁니다.
- 가장 긴 변을 $L$ 이라 하면 연속된 세 정수 변은 $L-2,\;L-1,\;L$ 이므로 둘레는 $(L-2) + (L-1) + L = 3L - 3$ 입니다.
- 가장 짧은 변은 $L - 2$ 이고, $30\%$ 조건은 $L - 2 = 0.3 \times (3L - 3)$ 인지 확인하는 것입니다.
💡 다섯 후보를 모두 $(L-2, L-1, L)$ 이라는 같은 형식에 끼워 넣는 것이 체계적인 목록의 핵심입니다 — $L$ 만 바뀝니다.
5.NBT.B.7 단계 2 - (A) $L = 7$ 부터: 세 변 $(5, 6, 7)$, 둘레 $5 + 6 + 7 = 18$.
- 확인: $5 = 0.3 \times 18$ 인가?
- $0.3 \times 18 = 5.4$ 로 $5$ 와 다릅니다.
- (A) 탈락.
💡 $18 \times 0.3$ 은 $18 \times 3 \div 10 = 54 \div 10 = 5.4$ 와 같습니다 — 5학년 "소수 $\times$ 자연수" 그대로입니다.
5.NBT.B.7 단계 3 - (B) $L = 8$: 세 변 $(6, 7, 8)$, 둘레 $6 + 7 + 8 = 21$.
- 확인: $0.3 \times 21 = 6.3 \neq 6$.
- (B) 탈락.
- (C) $L = 9$: 세 변 $(7, 8, 9)$, 둘레 $24$.
- 확인: $0.3 \times 24 = 7.2 \neq 7$.
- (C) 탈락.
- (D) $L = 10$: 세 변 $(8, 9, 10)$, 둘레 $27$.
- 확인: $0.3 \times 27 = 8.1 \neq 8$.
- (D) 탈락.
💡 후보마다 살짝씩 부족한데, 가장 짧은 변과 둘레의 $30\%$ 사이 차이가 계속 줄어들고 있어서 정답이 가까워지고 있다는 신호입니다.
6.RP.A.3 단계 4 - (E) $L = 11$: 세 변 $(9, 10, 11)$, 둘레 $9 + 10 + 11 = 30$.
- 확인: $0.3 \times 30 = 9$ 로 가장 짧은 변 $9$ 와 정확히 같습니다.
- $30\%$ 조건을 만족하므로 가장 긴 변은 $11$ 입니다.
💡 어떤 수의 $30\%$ 를 구해 목표값과 맞춰 보는 것은 6학년 백분율 추론 그대로입니다.
4.OA.C.5 체계적인 목록의 틀을 세웁니다. 가장 긴 변을 $L$ 이라 하면 연속된 세 정수 변은 $L-2,\;L-1,\;L$ 이므로 둘레는 $(L-2) + 5.NBT.B.7 (A) $L = 7$ 부터: 세 변 $(5, 6, 7)$, 둘레 $5 + 6 + 7 = 18$. 확인: $5 = 0.3 \times 18$ 인가 5.NBT.B.7 (B) $L = 8$: 세 변 $(6, 7, 8)$, 둘레 $6 + 7 + 8 = 21$. 확인: $0.3 \times 21 = 6.3 \neq 6.RP.A.3 (E) $L = 11$: 세 변 $(9, 10, 11)$, 둘레 $9 + 10 + 11 = 30$. 확인: $0.3 \times 30 = 9$ 검토
합리성 확인: 세 변이 모두 같다면 각 변은 둘레의 $\tfrac{1}{3} \approx 33.3\%$ 가 됩니다. 이 문제에서는 가장 짧은 변이 $30\%$ 로 $\tfrac{1}{3}$ 보다 조금 작으니, 세 변이 완전히 같지는 않고 살짝 벌어져 있어야 합니다. 정답 후보 $(9, 10, 11)$ 에서 가장 짧은 변 $9$ 와 둘레 $30$ 의 비는 $9/30 = 0.30$ 으로 정확히 맞습니다. 삼각형 부등식도 $9 + 10 = 19 > 11$ 로 성립합니다.
대안 접근: 도구 #13(대수): 가장 짧은 변을 $n$ 이라 하면 세 변은 $n,\;n+1,\;n+2$, 둘레는 $3n+3$. 조건 $n = 0.3(3n+3)$ 은 $n = 0.9n + 0.9$, 즉 $0.1n = 0.9$, 따라서 $n = 9$ 이고 가장 긴 변은 $n+2 = 11$. 같은 답이지만 일차방정식을 세우고 풀어야 하므로, 도구 #6 의 표 방식이 더 초등학생 친화적입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (선택지 다섯 개를 모두 $(L-2,\;L-1,\;L)$ 의 같은 틀에 넣어 세 변을 한꺼번에 정리하는 데 사용.)5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (후보 둘레별 $0.3 \times P$ ($5.4,\;6.3,\;7.2,\;8.1,\;9.0$)를 계산해 $30\%$ 조건을 확인.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ("가장 짧은 변 $= $ 둘레의 $30\%$" 를 백분율 관계로 해석하고 $(9,10,11)$ 에서 정확히 성립하는지 검증.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "둘레의 $30\%$" 같은 백분율 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "둘레의 $30\%$" 같은 백분율 추론만 알면 풀 수 있어요!
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