AMC 8 · 2002 · #24

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

rateratio-proportionpercentagefraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Miki has a dozen oranges of the same size and a dozen pears of the same size. Miki uses her juicer to extract 8 ounces of pear juice from 3 pears and 8 ounces of orange juice from 2 oranges. She makes a pear-orange juice blend from an equal number of pears and oranges. What percent of the blend is pear juice?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 주서기로 배 $3$ 개에서 배 주스 $8$ 온스가, 오렌지 $2$ 개에서 오렌지 주스 $8$ 온스가 나옵니다. 미키가 배와 오렌지를 같은 개수씩 써서 혼합 주스를 만든다면, 그 혼합 주스 중 배 주스의 비율은 몇 퍼센트일까요?

주어진 것: 배 $3$ 개로 배 주스 $8$ 온스 — 한 개당 $\tfrac{8}{3}$ 온스; 오렌지 $2$ 개로 오렌지 주스 $8$ 온스 — 한 개당 $\tfrac{8}{2} = 4$ 온스; 혼합 주스에는 배와 오렌지를 같은 개수씩 넣는다; 선택지: (A) $30$, (B) $40$, (C) $50$, (D) $60$, (E) $70$

구하는 것: 혼합 주스 중 배 주스가 차지하는 비율(%)

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기

보조 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

과일 개수가 주어져 있지 않다는 점이 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)의 신호입니다 — 답은 개수와 무관해야 하므로, 어떤 개수를 골라도 똑같은 비율이 나옵니다. 그러면 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기)로 가장 다루기 쉬운 개수를 고르면 됩니다. $3$ 과 $2$ 의 최소공배수인 $6$ 을 쓰면 두 주스의 양이 모두 정수가 되어 비율을 한 줄에 읽을 수 있습니다. 대수는 필요 없습니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 6.RP.A.2 단계 1

한 개당 즙의 양을 구합니다.
배 $3$ 개에서 $8$ 온스가 나오므로 배 한 개당 $\tfrac{8}{3}$ 온스, 오렌지 $2$ 개에서 $8$ 온스가 나오므로 오렌지 한 개당 $\tfrac{8}{2} = 4$ 온스입니다.

$$\text{배의 비율} = \dfrac{8}{3} \text{ oz/개}, \quad \text{오렌지의 비율} = 4 \text{ oz/개}$$

💡 총 즙을 과일 수로 나누는 것은 6학년 단위비율(unit rate) 개념 그대로입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.NS.B.4 단계 2

다루기 쉬운 공통 개수를 고릅니다.
$3$ 과 $2$ 의 최소공배수인 $n = 6$ 을 쓰면 두 비율 모두 분수가 사라집니다.
답은 $n$ 과 무관하므로, 계산이 깔끔한 값이면 됩니다.

$$n = \operatorname{lcm}(3, 2) = 6 \text{ 개씩 (배·오렌지)}$$

💡 6학년 최소공배수는 두 분모를 동시에 없애주는 가장 작은 공통 개수를 골라줍니다.

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 3

$n = 6$ 일 때 각 주스 양을 계산합니다.
배 $6$ 개는 $6 \div 3 = 2$ 묶음의 $8$ 온스이므로 배 주스 $16$ 온스, 오렌지 $6$ 개는 $6 \div 2 = 3$ 묶음의 $8$ 온스이므로 오렌지 주스 $24$ 온스가 나옵니다.

$$\text{배 주스} = \tfrac{6}{3} \cdot 8 = 16 \text{ oz}, \quad \text{오렌지 주스} = \tfrac{6}{2} \cdot 8 = 24 \text{ oz}$$

💡 배 $3$ 개 묶음을 $2$ 배, 오렌지 $2$ 개 묶음을 $3$ 배로 늘리는 6학년 비례 추론입니다.

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 6.RP.A.3 단계 4

혼합 주스 중 배 주스의 비율(%)을 계산합니다.

$$\dfrac{16}{16 + 24} \times 100 = \dfrac{16}{40} \times 100 = 40\% \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 부분을 전체로 나누고 $100$ 을 곱하는 6학년 "퍼센트 구하기" 공식 그대로입니다.

[1] #9 6.RP.A.2 한 개당 즙의 양을 구합니다. 배 $3$ 개에서 $8$ 온스가 나오므로 배 한 개당 $\tfrac{8}{3}$ 온스, 오렌지 $2$ 개에서 $8

[2] #11 6.NS.B.4 다루기 쉬운 공통 개수를 고릅니다. $3$ 과 $2$ 의 최소공배수인 $n = 6$ 을 쓰면 두 비율 모두 분수가 사라집니다. 답은 $n$ 과

[3] #9 6.RP.A.3 $n = 6$ 일 때 각 주스 양을 계산합니다. 배 $6$ 개는 $6 \div 3 = 2$ 묶음의 $8$ 온스이므로 배 주스 $16$ 온스, 오

[4] #9 6.RP.A.3 혼합 주스 중 배 주스의 비율(%)을 계산합니다.

검토

합리성 확인: 다른 개수로 결과가 같은지 확인해 봅시다. $n = 1$ 이면 배 주스 $\tfrac{8}{3}$ 온스, 오렌지 주스 $4$ 온스이므로 배 비율은 $\dfrac{8/3}{8/3 + 4} = \dfrac{8/3}{20/3} = \dfrac{8}{20} = 40\%$ — 같은 답이 나옵니다. 개수와 무관하다는 점이 확인됩니다. 또한 한 개당 즙이 오렌지($4$ oz) > 배($\tfrac{8}{3} \approx 2.67$ oz) 이므로 배 비율이 절반보다 작아야 하고, $40\%$ 는 $50\%$ 보다 충분히 작습니다.

대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): 같은 개수를 $n$ 이라 하면 배 주스는 $\tfrac{8n}{3}$, 오렌지 주스는 $4n$ 이 되어 $\dfrac{8n/3}{8n/3 + 4n} = \dfrac{8/3}{8/3 + 4} = \dfrac{8}{8 + 12} = \dfrac{8}{20} = 40\%$. $n$ 이 약분되어 사라지는 것이 본풀이에서 "편한 한 가지 개수만으로 충분" 했던 이유입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.2 비 $a:b$ ($b \neq 0$)에 대응하는 단위비율 $a/b$ 의 개념을 이해하고, 비의 관계 맥락에서 비율 용어를 사용하기 (배 $3$ 개에 $8$ 온스를 단위비율 $\tfrac{8}{3}$ oz/개로, 오렌지 $2$ 개에 $8$ 온스를 $4$ oz/개로 환산하는 데 사용.)
6.NS.B.4 $100$ 이하의 두 자연수의 최대공약수와 $12$ 이하의 두 자연수의 최소공배수 구하기 (두 주스 양이 모두 정수가 되도록 $n = \operatorname{lcm}(3, 2) = 6$ 을 공통 개수로 선택.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결하기 (전체에 대한 비율을 $100$ 당 비율로 나타내는 것 포함) (배 $6$ 개·오렌지 $6$ 개로 즙의 양을 환산하고 $\tfrac{16}{40} \times 100 = 40\%$ 를 계산.)

⭐ 오렌지 한 개가 배 한 개보다 즙이 많으므로 배가 더 적은 쪽이 됩니다. 배도 $6$ 개, 오렌지도 $6$ 개로 잡으면 정수로 깔끔하게 — 배 $16$ oz, 오렌지 $24$ oz — 배 비율은 $\tfrac{16}{40} = 40\%$, 답은 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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