AMC 8 · 2010 · #8
쉬운 모드 학년 6문제
길고 곧은 도로를 떠올려봅시다. 에밀리는 자전거를 시속 12 마일로 타고 있어요. 에머슨은 에밀리보다 앞쪽에서 같은 방향으로 시속 8 마일로 스케이트를 타고 있습니다.
에밀리가 에머슨을 처음 본 순간, 에머슨은 에밀리보다 21 마일 앞에 있어요. 에밀리는 에머슨을 계속 보면서 따라잡고, 추월하고, 점점 멀어집니다. 에머슨이 에밀리 뒤로 21 마일 떨어진 순간, 에밀리는 더 이상 그를 볼 수 없어요.
에밀리가 에머슨을 볼 수 있는 시간은 모두 몇 분일까요?
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AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 에밀리는 시속 $12$ 마일로 자전거를 타고, 에머슨은 같은 방향으로 시속 $8$ 마일로 스케이트를 탑니다. 에밀리는 에머슨이 자기보다 $1/2$ 마일 앞에 있을 때 처음 그를 보고, 추월한 뒤에는 그가 자기 뒤로 $1/2$ 마일 멀어질 때까지 백미러로 봅니다. 에밀리가 에머슨을 볼 수 있는 시간은 몇 분일까요?
주어진 것: 에밀리의 속도 = 시속 $12$ 마일 (일정); 에머슨의 속도 = 시속 $8$ 마일 (일정), 같은 방향; 에밀리가 에머슨을 처음 볼 때: 에머슨이 $1/2$ 마일 앞에 있음; 에밀리가 에머슨을 마지막으로 볼 때: 에머슨이 $1/2$ 마일 뒤에 있음; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $15$, (E) $16$ (분)
구하는 것: 에밀리에게 에머슨이 보이는 총 시간(분)
이해
문제 재정리: 에밀리는 시속 $12$ 마일로 자전거를 타고, 에머슨은 같은 방향으로 시속 $8$ 마일로 스케이트를 탑니다. 에밀리는 에머슨이 자기보다 $1/2$ 마일 앞에 있을 때 처음 그를 보고, 추월한 뒤에는 그가 자기 뒤로 $1/2$ 마일 멀어질 때까지 백미러로 봅니다. 에밀리가 에머슨을 볼 수 있는 시간은 몇 분일까요?
주어진 것: 에밀리의 속도 = 시속 $12$ 마일 (일정); 에머슨의 속도 = 시속 $8$ 마일 (일정), 같은 방향; 에밀리가 에머슨을 처음 볼 때: 에머슨이 $1/2$ 마일 앞에 있음; 에밀리가 에머슨을 마지막으로 볼 때: 에머슨이 $1/2$ 마일 뒤에 있음; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $15$, (E) $16$ (분)
계획
주요 도구: #8 단위 살펴보기
보조 도구: #15 다르게 정리하기
전형적인 비율(rate) 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)로 마일을 mph 로 나눠 시간을 얻고, 다시 분으로 바꿔야 합니다. 결정적인 단순화는 도구 #15(다르게 정리하기)에서 나옵니다 — 두 사람이 같이 움직이는 그림을 "에머슨이 멈춰 있고 에밀리가 상대 속도 $12 - 8 = 4$ mph 로 다가오는" 그림으로 바꿔 보면, 한 사람이 정해진 총 $1$ 마일($1/2$ 마일 간격을 좁히고, 추월 후 다시 $1/2$ 마일 간격을 벌림) 을 가는 문제가 됩니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.3 단계 1 - 장면을 에머슨 기준으로 다시 정리합니다.
- 둘 다 앞으로 움직이지만 보이는지 안 보이는지에 영향을 주는 건 두 사람 사이의 "간격" 뿐입니다.
- 에밀리는 에머슨에게 상대 속도 $12 - 8 = 4$ mph 로 다가가므로, 에머슨을 멈춰 있다고 생각하고 에밀리만 $4$ mph 로 움직인다고 봐도 됩니다.
💡 두 명 움직이는 그림을 한 명 움직이는 그림으로 바꾸는 것이 도구 #15(다르게 정리하기) 의 핵심 — 데이터는 같지만 머릿속 그림이 훨씬 단순해집니다.
4.MD.A.2 단계 2 - 보이는 구간 동안 에밀리가 에머슨에 대해 움직여야 하는 총 상대 거리를 구합니다.
- 에밀리는 처음에 에머슨보다 $1/2$ 마일 뒤에 있다가(에머슨이 앞), 그를 지나치고, 마지막에는 $1/2$ 마일 앞에 있게 됩니다.
- 에머슨 기준에서 보면 일직선으로 $1/2 + 1/2 = 1$ 마일을 이동한 셈입니다.
💡 "따라잡는 구간" 과 "멀어지는 구간" 을 더해서 전체 구간을 한 수로 표현합니다.
6.RP.A.3 단계 3 단위가 마일과 mph 로 통일됐으니 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속도}}$ 에 대입합니다.
💡 마일을 (마일/시간) 으로 나누면 "마일" 이 약분되어 "시간" 만 남는 것이 도구 #8 단위 확인 그대로입니다.
5.MD.A.1 단계 4 답이 분 단위이므로 시간을 분으로 환산합니다.
💡 값은 같고 단위만 문제가 원하는 "분" 으로 바꾸는 5학년 표준 단위 환산 단계입니다.
6.RP.A.3 장면을 에머슨 기준으로 다시 정리합니다. 둘 다 앞으로 움직이지만 보이는지 안 보이는지에 영향을 주는 건 두 사람 사이의 "간격" 뿐입니다. 에 4.MD.A.2 보이는 구간 동안 에밀리가 에머슨에 대해 움직여야 하는 총 상대 거리를 구합니다. 에밀리는 처음에 에머슨보다 $1/2$ 마일 뒤에 있다가(에머슨 6.RP.A.3 단위가 마일과 mph 로 통일됐으니 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속도}}$ 에 대입합니다. 5.MD.A.1 답이 분 단위이므로 시간을 분으로 환산합니다. 검토
합리성 확인: 에밀리는 한 시간에 에머슨보다 $4$ 마일을 더 갑니다. 따라서 $1/2$ 마일 간격을 좁히는 데 $\tfrac{1/2}{4} = \tfrac{1}{8}$ 시간, 다시 $1/2$ 마일을 벌리는 데 또 $\tfrac{1}{8}$ 시간이 걸려서 합계 $\tfrac{2}{8} = \tfrac{1}{4}$ 시간 $= 15$ 분 — 답 (D) 와 일치합니다. 자전거와 스케이트 속도 차이를 생각하면 15분은 자연스러운 크기로, 몇 초도 아니고 한 시간도 아닙니다.
대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 으로 보이는 구간을 두 단계로 나눌 수도 있습니다 — 간격을 좁히는 $1/2$ 마일 구간 (상대 속도 $4$ mph 로 $7.5$ 분) 과 다시 벌리는 $1/2$ 마일 구간 ($7.5$ 분). 합하면 $15$ 분, 답 (D) 로 동일합니다. 표준 풀이가 쓴 방식과 본질적으로 같지만, 한 번의 통합 이동 대신 두 개의 부분 문제로 보는 시각입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.MD.A.2거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 (좁히는 구간($1/2$ 마일) 과 벌리는 구간($1/2$ 마일) 을 합쳐 보이는 구간 총길이 $1$ 마일을 구하는 데 사용.)5.MD.A.1같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 (선택지에 맞추기 위해 $\tfrac{1}{4}$ 시간을 $15$ 분으로 환산.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (속도 차로 상대 속도($12 - 8 = 4$ mph) 를 구하고, 시간 $= $ 거리 $/$ 속도 $= 1/4$ 시간을 계산하는 데 사용.)
⭐ 같은 방향 추격 문제는 "느린 사람이 멈춰 있다" 고 생각하면 쉬워져요 — 그러면 거리 하나, 속도 하나로 끝나는 6학년 비율 문제예요.
⭐ 같은 방향 추격 문제는 "느린 사람이 멈춰 있다" 고 생각하면 쉬워져요 — 그러면 거리 하나, 속도 하나로 끝나는 6학년 비율 문제예요.
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