AMC 8 · 2011 · #12
쉬운 모드 학년 7문제
네 변에 의자가 하나씩 놓인 정사각형 식탁을 떠올려봅시다. 친구 네 명 — 앤지, 브리짓, 카를로스, 디에고 — 이 무작위로 의자를 골라 한 명씩 앉아요.
"마주 본다"는 것은 식탁을 사이에 두고 정면으로 마주 앉는 것을 뜻해요.
앤지와 카를로스가 서로 마주 보고 앉게 될 확률은 얼마일까요?
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 사람 — 앤지, 브리짓, 카를로스, 디에고 — 가 정사각형 식탁의 네 변에 한 명씩 무작위로 앉습니다. 앤지 와 카를로스 가 서로 마주 보고 앉을 확률은 얼마일까요?
주어진 것: $4$ 명, 정사각형의 네 변 — 한 변에 한 명씩; 모든 자리 배치는 "무작위" 이므로 동등하게 확률적; 정사각형에서 각 변에는 마주 보는 변이 정확히 하나씩 있음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
구하는 것: 앤지 와 카를로스 가 정사각형의 마주 보는 변에 앉을 확률
이해
문제 재정리: 네 사람 — 앤지, 브리짓, 카를로스, 디에고 — 가 정사각형 식탁의 네 변에 한 명씩 무작위로 앉습니다. 앤지 와 카를로스 가 서로 마주 보고 앉을 확률은 얼마일까요?
주어진 것: $4$ 명, 정사각형의 네 변 — 한 변에 한 명씩; 모든 자리 배치는 "무작위" 이므로 동등하게 확률적; 정사각형에서 각 변에는 마주 보는 변이 정확히 하나씩 있음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
계획
주요 도구: #2 체계적으로 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
동등한 결과들의 확률은 $\dfrac{\text{유리한 경우}}{\text{전체 경우}}$ 이므로 결국 꼼꼼히 세는 문제입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 "마주 본다" 가 정사각형에서 무슨 뜻인지 — 한 변에는 마주 보는 변이 하나, 옆에 붙은 변이 두 개 — 정리해 둡니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 표본 공간을 줄여 줍니다: 정사각형의 회전 대칭 때문에 앤지 를 한 변에 고정해도 확률이 바뀌지 않으니, $4! = 24$ 가지 대신 나머지 세 사람의 $3! = 6$ 가지만 다루면 됩니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기) 로 그 $6$ 가지를 적고, 앤지 의 맞은편에 카를로스 가 오는 경우를 세면 끝입니다.
실행 — 정답: B
4.G.A.2 단계 1 - 정사각형 식탁을 그리고 네 변을 위, 오른쪽, 아래, 왼쪽 으로 표시합니다.
- 핵심 성질: 위와 아래가 마주 보고, 왼쪽과 오른쪽이 마주 봅니다.
- 모든 변에는 마주 보는 변이 정확히 하나, 옆에 붙은 변이 두 개씩 있습니다.
💡 정사각형의 마주 보는 변(평행한 변) 짝을 알아보고 "마주 본다" 가 옆자리가 아니라 건너편이라는 점을 파악하는 것은 4학년의 도형 분류 감각입니다.
7.SP.C.7 단계 2 - 정사각형의 대칭을 이용해 문제를 줄입니다.
- 식탁을 회전시켜도 누가 누구와 마주 보는지는 변하지 않으니, 앤지 를 "위" 자리에 고정해도 손해가 없습니다.
- 이제 나머지 세 사람 (브리짓, 카를로스, 디에고) 만 남은 세 자리에 무작위로 앉습니다.
💡 확률을 바꾸지 않는 대칭을 써서 표본 공간을 줄이는 것은 7학년의 "공정한 확률 모형 세우기" 핵심 동작입니다.
7.SP.C.8 단계 3 (브리짓, 카를로스, 디에고) 를 (오른쪽, 아래, 왼쪽) 의 세 자리에 앉히는 $6$ 가지 방법을, 영어 이름의 알파벳 순(B = Bridget, C = Carlos, D = Diego)으로 첫 자리(오른쪽)에 들어가는 사람부터 차례로 나열합니다.
💡 $3! = 6$ 가지 순서를 첫 자리 기준으로 차곡차곡 적는 것은 7학년의 "체계적인 목록으로 경우의 수 세기" 그대로입니다.
7.SP.C.7 단계 4 - 앤지 의 맞은편은 "아래" 자리이므로, 카를로스 가 가운데 자리("아래")에 오는 경우만 유리합니다.
- 위 목록에서 가운데가 $C$(카를로스)인 것은 $(B,C,D)$ 와 $(D,C,B)$ — 두 가지입니다.
💡 동등한 표본 공간에서 확률을 유리한 경우 $\div$ 전체 경우 로 구하는 것은 7학년 확률의 기본 정의입니다.
4.G.A.2 정사각형 식탁을 그리고 네 변을 위, 오른쪽, 아래, 왼쪽 으로 표시합니다. 핵심 성질: 위와 아래가 마주 보고, 왼쪽과 오른쪽이 마주 봅니다. 7.SP.C.7 정사각형의 대칭을 이용해 문제를 줄입니다. 식탁을 회전시켜도 누가 누구와 마주 보는지는 변하지 않으니, 앤지 를 "위" 자리에 고정해도 손해가 7.SP.C.8 (브리짓, 카를로스, 디에고) 를 (오른쪽, 아래, 왼쪽) 의 세 자리에 앉히는 $6$ 가지 방법을, 영어 이름의 알파벳 순(B = Bridge 7.SP.C.7 앤지 의 맞은편은 "아래" 자리이므로, 카를로스 가 가운데 자리("아래")에 오는 경우만 유리합니다. 위 목록에서 가운데가 $C$(카를로스)인 검토
합리성 확인: 직관으로 한 번 더 확인합니다. 앤지 가 어느 변에 앉든, 카를로스 는 남은 $3$ 개 변 중 하나에 동등한 확률로 앉습니다. 그 셋 중 앤지 의 맞은편은 정확히 $1$ 자리이므로 $P = \tfrac{1}{3}$. 목록으로 센 $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}$ 과 정확히 일치하고, 답 (B) 입니다. 감각적으로도 합리적입니다 — 카를로스 가 갈 수 있는 위치는 "맞은편", "앤지 의 왼쪽", "앤지 의 오른쪽" 세 가지인데 그중 "맞은편" 은 가장 까다로운 한 자리이므로 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작은 $\tfrac{1}{3}$ 이 나오는 것이 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): $24$ 가지 전체 배치를 일일이 보지 말고 카를로스 의 자리에만 주목합니다. 앤지 가 앉고 나면 카를로스 의 자리는 남은 $3$ 개 변 — 아래, 왼쪽, 오른쪽 — 중에서 동등하게 뽑힙니다. 그중 앤지 의 맞은편("아래") 은 단 하나뿐이므로 곧바로 $P = \tfrac{1}{3}$ — 같은 답 (B) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.G.A.2변과 각의 성질로 평면도형 분류하기 ("서로 마주 본다" 의 기하적 의미 — 정사각형 식탁의 마주 보는 변 짝 — 을 식별하는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모형을 세우고 그것을 이용해 사건의 확률 구하기 (앤지 의 자리를 고정한 뒤 동등하게 가능한 $6$ 가지 배치 위에 균등 확률 모형을 세우고 $P = \tfrac{\text{유리한 경우}}{\text{전체 경우}} = \tfrac{2}{6}$ 을 계산하는 데 사용.)7.SP.C.8조직적 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (브리짓, 카를로스, 디에고 의 자리 배치 $3! = 6$ 가지를 체계적으로 나열하고 앤지 와 마주 보는 경우를 세는 데 사용.)
⭐ 앤지 를 한 변에 고정한 뒤 나머지 세 사람의 자리만 나열해서 세면, 이 AMC 8 확률 문제는 7학년의 "유리한 경우 ÷ 전체 경우" 계산으로 깔끔하게 풀려요.
⭐ 앤지 를 한 변에 고정한 뒤 나머지 세 사람의 자리만 나열해서 세면, 이 AMC 8 확률 문제는 7학년의 "유리한 경우 ÷ 전체 경우" 계산으로 깔끔하게 풀려요.
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