AMC 8 · 2003 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basicdivisibility-rulesprime-factorizationcomplementary-countingsystematic-enumeration systematic-enumerationcaseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicdivisibility-rulesfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

When a fair six-sided dice is tossed on a table top, the bottom face cannot be seen. What is the probability that the product of the faces that can be seen is divisible by $6$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1/3

(B)

1/2

(C)

2/3

(D)

5/6

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 정육면체 주사위를 식탁 위에 던집니다. 바닥면 하나는 보이지 않고 나머지 다섯 면이 보입니다. 보이는 다섯 면의 곱이 $6$ 의 배수가 될 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 표준 주사위의 면은 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; 한 번 던지면 정확히 한 면(바닥면)만 가려진다; 나머지 다섯 면은 모두 보인다; 주사위가 공정하므로 각 면이 바닥이 될 가능성은 같다; 선택지: (A) $1/3$, (B) $1/2$, (C) $2/3$, (D) $5/6$, (E) $1$

구하는 것: 보이는 다섯 면의 곱이 $6$ 의 배수가 될 확률

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

가능한 경우의 수는 어떤 면이 바닥인지에 따라 $6$ 가지뿐이라서 일일이 확인할 수도 있지만, 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)을 쓰면 더 짧게 끝납니다. "$6$ 의 배수인가?" 라는 성질이 어떤 면이 가려져도 항상 유지되는지 물어보면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "$6$ 의 배수"를 "$2$ 의 배수?" 와 "$3$ 의 배수?" 두 개의 독립적인 질문으로 나눕니다. 두 답이 항상 "예" 라면 확률은 자동으로 $1$ 입니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

도구 #7 로 목표를 쪼갭니다.
곱이 $6$ 의 배수라는 말은 정확히 "$2$ 의 배수이면서 $3$ 의 배수"라는 뜻이므로, 어려운 질문 하나 대신 더 쉬운 질문 두 개로 바꿉니다.

$$\text{곱이 } 6 \text{ 의 배수} \iff 2 \text{ 의 배수 AND } 3 \text{ 의 배수}$$

💡 4학년 인수쌍 사고: $6 = 2 \times 3$, 두 소수는 서로 독립된 인수입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 4.OA.B.4 단계 2

작은 문제 A — 곱은 항상 $2$ 의 배수일까요?
주사위의 짝수 면은 $\{2, 4, 6\}$ 으로 세 개입니다.
가려지는 면은 한 개뿐이라 짝수는 많아야 한 개만 사라집니다.
따라서 짝수가 최소 두 개는 보이므로 곱은 항상 $2$ 의 인수를 가집니다.

$$|\{2, 4, 6\}| = 3 \;\Rightarrow\; \text{보이는 짝수} \geq 3 - 1 = 2 \text{ 개}$$

💡 면 하나를 가려서 세 개를 통째로 없앨 수는 없습니다 — 짝수의 개수가 $2$ 의 인수를 지켜 주는 불변량입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 4.OA.B.4 단계 3

작은 문제 B — 곱은 항상 $3$ 의 배수일까요?
주사위에서 $3$ 의 배수는 $\{3, 6\}$ 으로 두 개입니다.
가려지는 면은 한 개뿐이라 $3$ 이나 $6$ 중 많아야 한 개만 사라집니다.
적어도 하나는 보이므로 곱은 항상 $3$ 의 인수를 가집니다.

$$|\{3, 6\}| = 2 \;\Rightarrow\; \text{보이는 } 3 \text{ 의 배수} \geq 2 - 1 = 1 \text{ 개}$$

💡 같은 논리: 바닥 자리 하나로 두 면을 동시에 가릴 수 없으니 $3$ 의 배수가 항상 살아남습니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 7.SP.C.5 단계 4

작은 문제들을 합칩니다.
어떤 경우에도 곱이 $2$ 의 인수와 $3$ 의 인수를 모두 유지하므로 곱은 항상 $6$ 의 배수입니다.
유리한 경우의 수와 전체 경우의 수가 같으므로 확률은 $1$ 입니다.

$$P = \dfrac{\text{유리한 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \dfrac{6}{6} = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 7학년 확률: 반드시 일어나는 사건의 확률은 $1$. 두 작은 문제 모두 "항상" 이라 합쳐도 "항상" 입니다.

[1] #7 4.OA.B.4 도구 #7 로 목표를 쪼갭니다. 곱이 $6$ 의 배수라는 말은 정확히 "$2$ 의 배수이면서 $3$ 의 배수"라는 뜻이므로, 어려운 질문 하나

[2] #11 4.OA.B.4 작은 문제 A — 곱은 항상 $2$ 의 배수일까요? 주사위의 짝수 면은 $\{2, 4, 6\}$ 으로 세 개입니다. 가려지는 면은 한 개뿐이라

[3] #11 4.OA.B.4 작은 문제 B — 곱은 항상 $3$ 의 배수일까요? 주사위에서 $3$ 의 배수는 $\{3, 6\}$ 으로 두 개입니다. 가려지는 면은 한 개뿐이

[4] #11 7.SP.C.5 작은 문제들을 합칩니다. 어떤 경우에도 곱이 $2$ 의 인수와 $3$ 의 인수를 모두 유지하므로 곱은 항상 $6$ 의 배수입니다. 유리한 경우의

검토

합리성 확인: 필요한 소수를 잃을 위험이 가장 큰 두 경우를 확인해 봅니다. $6$ 을 가리면 보이는 면이 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 이고 곱은 $120 = 6 \times 20$. $3$ 을 가리면 $\{1, 2, 4, 5, 6\}$ 이고 곱은 $240 = 6 \times 40$. 둘 다 통과합니다. 나머지 네 경우는 $3$ 과 $6$ 이 모두 보이므로 더 안전합니다. 여섯 경우 모두 성립하니 $P = 1$ 로 (E) 와 일치합니다. 함정 선택지 $1/3, 1/2, 2/3, 5/6$ 은 "바닥 한 면으로 짝수 세 개나 $3$ 의 배수 두 개를 통째로 못 가린다"는 사실을 놓쳤을 때 나오는 값들입니다.

대안 접근: 도구 #2(목록 만들기): 여섯 경우를 모두 직접 적어 봅니다. $1$ 을 가리면 곱 $720$, $2$ 를 가리면 $360$, $3$ 을 가리면 $240$, $4$ 를 가리면 $180$, $5$ 를 가리면 $144$, $6$ 을 가리면 $120$. 모두 $6$ 의 배수라서 $P = 6/6 = 1$. 불변량 논증 대신 무식한 나열로도 같은 답 (E) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.B.4 자연수의 모든 인수쌍을 구하고 인수와 배수를 식별하기 ($6 = 2 \times 3$ 을 인식하고 주사위에서 짝수 면 $\{2, 4, 6\}$ 과 $3$ 의 배수 $\{3, 6\}$ 을 찾아내는 데 사용.)
7.SP.C.5 확률은 $0$ 과 $1$ 사이의 수이며 $1$ 은 반드시 일어나는 사건을 뜻함을 이해하기 (여섯 경우 모두 곱이 $6$ 의 배수라는 사실로부터 사건이 반드시 일어남, 즉 확률이 $1$ 임을 결론짓는 데 사용.)

⭐ 가려지는 면은 단 하나, 그런데 주사위에는 짝수가 세 개, $3$ 의 배수가 두 개 있습니다. 한 면으로는 그걸 다 가릴 수 없으니 곱은 항상 $6$ 의 배수이고, 확률은 $1$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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