AMC 8 · 1999 · #3

학년 7 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

fraction-arithmeticsystematic-enumerationmental-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Which triplet of numbers has a sum NOT equal to 1?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(1/2,1/3,1/6)

(B)

(2,-2,1)

(C)

(0.1,0.3,0.6)

(D)

(1.1,-2.1,1.0)

(E)

(-3/2,-5/2,5)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수 묶음(세 수씩)이 주어집니다. 그중 네 개는 합이 $1$ 이고, 한 개만 합이 $1$ 이 아닙니다. 합이 $1$ 이 아닌 묶음을 찾으세요.

주어진 것: 묶음 (A): $\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{6}\right)$; 묶음 (B): $(2, -2, 1)$; 묶음 (C): $(0.1, 0.3, 0.6)$; 묶음 (D): $(1.1, -2.1, 1.0)$; 묶음 (E): $\left(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{5}{2}, 5\right)$

구하는 것: 다섯 묶음 중 합이 $1$ 이 아닌 묶음

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

문제는 (A)~(E)라는 다섯 개의 후보를 주고, 그중 한 가지 쉬운 성질(합이 $1$ 인가?)만 검사하라고 합니다. 이것이 바로 도구 #3(가능성 지우기)의 전형입니다 — 후보를 하나씩 검사하면서 "합 $= 1$" 이 맞는 묶음은 지워 나가요. 마지막까지 살아남는 묶음이 정답입니다. 대수도, 패턴 찾기도 필요 없이 묶음마다 세 수를 더하기만 하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 5.NF.A.1 단계 1

(A) 검사.
분모를 $6$ 으로 통분해서 더합니다.

$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{6}{6} = 1$. 합 $= 1$ 이므로 (A) 는 지웁니다.

💡 분모가 다른 분수를 공통분모로 바꿔 더하는 것은 5학년 분수 덧셈 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.1 단계 2

(B) 검사.
부호 있는 정수를 왼쪽부터 더합니다.

$2 + (-2) + 1 = 0 + 1 = 1$. 합 $= 1$ 이므로 (B) 도 지웁니다.

💡 어떤 수와 그 반대 수를 더하면 $0$ — 7학년 "덧셈의 역원" 아이디어입니다.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 3

(C) 검사.
소수(셋 다 소수 첫째 자리) 를 더합니다.

$0.1 + 0.3 + 0.6 = 1.0$. 합 $= 1$ 이므로 (C) 도 지웁니다.

💡 소수 둘째 자리까지의 소수 덧셈은 5학년 표준입니다. 여기서는 세 수 모두 소수 첫째 자리에서 자리가 맞아요.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.1 단계 4

(D) 검사.
부호 있는 소수를 더합니다.

$1.1 + (-2.1) + 1.0 = -1.0 + 1.0 = 0$. 합 $= 0$, $1$ 이 아닙니다. (D) 는 지워지지 않고 살아남습니다.

💡 $1.1$ 과 $-2.1$ 의 크기 차이가 정확히 $1.0$ 이라서 더하면 $-1.0$ 이 되고, 그게 마지막 $+1.0$ 과 상쇄돼 $0$ 이 됩니다.

#3 가능성 지우기 7.NS.A.1 단계 5

(E) 도 확인합니다.
정답이 유일한 "생존자" 이려면 (E) 의 합도 $1$ 이어야 합니다.

$-\tfrac{3}{2} + \left(-\tfrac{5}{2}\right) + 5 = -\tfrac{8}{2} + 5 = -4 + 5 = 1$. 합 $= 1$ 이므로 (E) 도 지웁니다. 남은 묶음은 $\textbf{(D)}$ 뿐입니다.

💡 두 분수가 같은 분모 $2$ 를 공유하므로 바로 $-4$ 로 합쳐지고, $-4 + 5 = 1$.

[1] #3 5.NF.A.1 (A) 검사. 분모를 $6$ 으로 통분해서 더합니다.

[2] #3 7.NS.A.1 (B) 검사. 부호 있는 정수를 왼쪽부터 더합니다.

[3] #3 5.NBT.B.7 (C) 검사. 소수(셋 다 소수 첫째 자리) 를 더합니다.

[4] #3 7.NS.A.1 (D) 검사. 부호 있는 소수를 더합니다.

[5] #3 7.NS.A.1 (E) 도 확인합니다. 정답이 유일한 "생존자" 이려면 (E) 의 합도 $1$ 이어야 합니다.

검토

합리성 확인: 다섯 묶음 중 네 묶음의 합이 정확히 $1$ 이고, 한 묶음의 합이 $0$ 으로 나왔습니다. 문제도 "정확히 한 묶음만 합이 $1$ 이 아니다" 라고 약속했으니 정확히 한 개만 검사를 통과하지 못한 것은 자연스럽습니다. (D) 를 다시 확인해도 $1.1 + 1.0 = 2.1$, $2.1 + (-2.1) = 0$ — 어느 순서로 더해도 결과는 같아요. 유일한 "불합격" 은 (D) 입니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 매번 처음부터 더하지 말고 묶음 안에서 "서로 상쇄되는 짝" 을 먼저 찾아보세요. (B) 는 $2$ 와 $-2$ 가 상쇄, (E) 는 $-\tfrac{3}{2} - \tfrac{5}{2} = -4$ 가 $+5$ 와 상쇄돼 $1$ 이 남습니다. (D) 는 $1.1$ 과 $-2.1$ 이 $-1.0$ 을 남기는데, 마지막 수가 $+1.0$ 이라 또 상쇄되어 $0$ 이 되고 $1$ 이 못 됩니다. 그래서 (D) 만 "남는 값" 이 어긋나요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ((A) 의 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6}$ 을 분모 $6$ 으로 통분해서 더하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 소수 둘째 자리까지의 소수 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 ((C) 의 $0.1 + 0.3 + 0.6$ 을 소수 첫째 자리에서 자리 맞춰 더하는 데 사용.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈·뺄셈으로 이전 이해 확장하기 ((B), (D), (E) 의 부호 있는 수 — 음수 소수 $-2.1$ 과 음수 분수 $-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{5}{2}$ — 를 포함한 덧셈에 사용.)

⭐ "하나만 다른 건 누구?" 라고 물으면 후보를 하나씩 검사해서 통과하는 건 지워 가세요. 마지막에 남는 게 정답이에요 — 여기서는 (D) 의 합이 $1$ 이 아니라 $0$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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