AMC 8 · 2011 · #13

쉬운 모드 학년 6

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문제

한 변의 길이가 $15$ 인 정사각형 두 개를 떠올려봅시다. 두 정사각형은 서로 겹쳐 있고, 합치면 정확히 $15 \times 25$ 짜리 직사각형 $AQRD$ 를 이루어요.

왼쪽 정사각형은 $ABCD$ , 오른쪽 정사각형은 $PQRS$ 입니다. 가운데 색칠된 띠 부분이 두 정사각형이 겹치는 부분이에요.

직사각형 $AQRD$ 의 넓이 중에서 색칠된 부분이 차지하는 비율은 몇 퍼센트일까요?

그림

한 변이 15인 두 정사각형이 15×25 직사각형 AQRD 안에서 겹치며, 가운데 띠가 겹치는 부분입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $15$ 인 합동인 두 정사각형 $ABCD$ 와 $PQRS$ 가 겹쳐서 $15 \times 25$ 크기의 직사각형 $AQRD$ 를 이룹니다. 색칠된 부분은 두 정사각형이 겹친 영역입니다. 직사각형 $AQRD$ 의 넓이 중 몇 퍼센트가 색칠되어 있나요?

주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 의 한 변 $= 15$; 정사각형 $PQRS$ 의 한 변 $= 15$; 두 정사각형이 겹쳐서 $15 \times 25$ 의 직사각형 $AQRD$ 를 만든다; 색칠 영역은 두 정사각형이 겹치는 부분; 선택지: (A) $15$, (B) $18$, (C) $20$, (D) $24$, (E) $25$ (퍼센트)

구하는 것: 직사각형 $AQRD$ 의 넓이에 대해 겹친 영역의 넓이가 차지하는 비율(퍼센트)

이해

계획

주요 도구: #5 그림 그리기

보조 도구: #11 대칭·구조 찾기

이 문제는 그림 자체가 핵심입니다. 한 변 $15$ 인 정사각형 두 개를 가로로 슬라이드하여 합한 모양이 $15 \times 25$ 직사각형이 됩니다. 도구 #5(그림 그리기) — 또는 주어진 Asymptote 다이어그램을 꼼꼼히 읽기만 해도 — 겹친 부분이 높이는 정사각형 변과 같은 $15$, 가로는 미지수 $w$ 인 직사각형임이 한눈에 잡힙니다. 도구 #11(대칭·구조 찾기)은 긴 변에 대한 포함·배제 아이디어를 깔끔하게 주는데, 두 정사각형이 가로로 합해서 $15 + 15 = 30$ 을 차지해야 하지만 실제로는 $25$ 만 덮으므로 차이 $5$ 가 바로 두 번 덮인 겹친 가로 길이가 됩니다.

실행 — 정답: C

#5 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

주어진 크기 $15 \times 25$ 로 직사각형 $AQRD$ 의 넓이를 구합니다.

$$\text{넓이}(AQRD) = 25 \times 15 = 375$$

💡 직사각형의 넓이 $= $ 가로 $\times$ 세로 는 3학년 표준입니다.

#5 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 2

겹친 영역의 모양을 파악합니다.
두 정사각형 모두 직사각형의 전체 높이 $15$ 를 차지하므로, 겹친 부분은 높이 $15$, 가로 $w$ 인 직사각형입니다.
여기서 $w$ 는 두 정사각형이 가로로 공유하는 길이입니다.

$$\text{겹친 넓이} = w \times 15$$

💡 그림을 그리거나 주어진 그림을 보면 겹친 부분은 정사각형과 같은 높이를 가지는 세로 띠임을 바로 알 수 있습니다.

#11 대칭·구조 찾기 4.OA.A.3 단계 3

긴 변을 따라 포함·배제 원리로 $w$ 를 구합니다.
두 정사각형이 겹치지 않게 나란히 놓이면 가로 총합은 $15 + 15 = 30$ 이지만, 실제 전체 가로는 $25$ 이므로 차이 $5$ 가 두 번 덮인 부분, 즉 겹친 가로입니다.

$$15 + 15 - w = 25 \;\Rightarrow\; w = 30 - 25 = 5$$

💡 총합 $30$ 짜리 두 길이가 $25$ 짜리 구간 안에 들어가면 초과분 $5$ 가 곧 겹친 길이 — 4학년 여러 단계 문장제 추론입니다.

#5 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 4

색칠된 겹친 직사각형의 넓이를 계산합니다.

$$\text{겹친 넓이} = 5 \times 15 = 75$$

💡 1단계와 같은 직사각형 넓이 공식을 작은 직사각형에 적용한 것입니다.

#11 대칭·구조 찾기 6.RP.A.3 단계 5

넓이 비를 퍼센트로 바꿉니다.

$$\dfrac{75}{375} = \dfrac{1}{5} = 20\% \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 부분 대 전체 비를 퍼센트로 나타내는 것은 6학년 비율 추론입니다.

[1] #5 3.MD.C.7 주어진 크기 $15 \times 25$ 로 직사각형 $AQRD$ 의 넓이를 구합니다.

[2] #5 3.MD.C.7 겹친 영역의 모양을 파악합니다. 두 정사각형 모두 직사각형의 전체 높이 $15$ 를 차지하므로, 겹친 부분은 높이 $15$, 가로 $w$ 인 직

[3] #11 4.OA.A.3 긴 변을 따라 포함·배제 원리로 $w$ 를 구합니다. 두 정사각형이 겹치지 않게 나란히 놓이면 가로 총합은 $15 + 15 = 30$ 이지만,

[4] #5 3.MD.C.7 색칠된 겹친 직사각형의 넓이를 계산합니다.

[5] #11 6.RP.A.3 넓이 비를 퍼센트로 바꿉니다.

검토

합리성 확인: 정합성 확인: 정사각형 하나의 넓이는 $15 \times 15 = 225$ 입니다. 두 정사각형의 합집합 넓이는 $2 \times 225 - 75 = 375$ 로 $AQRD$ 의 넓이와 정확히 같습니다. 포함·배제 계산이 일관됩니다. 겹친 부분 $75$ 가 전체 $375$ 의 $\tfrac{1}{5}$ 이고, 답 (C) $= 20\%$ 와 일치하며 (B) $18$ 과 (D) $24$ 는 배제됩니다.

대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기) — 넓이 대신 비율로만 풀어 봅니다. 겹친 부분과 전체 직사각형은 높이 $15$ 가 같으므로 넓이 비는 가로 비와 같습니다: $\dfrac{w}{25} = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = 20\%$. 높이가 약분되므로, 답은 사실 정사각형 한 변의 실제 길이 $15$ 와 전혀 상관없이 결정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 넓이와 곱셈의 관계; 변의 길이를 곱하여 직사각형의 넓이 구하기 (직사각형 $AQRD$ 의 넓이($25 \times 15 = 375$) 와 색칠된 겹친 직사각형의 넓이($5 \times 15 = 75$) 계산에 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용해 여러 단계 문장제 풀기 (겹친 가로 $w$ 를 구하기 위해 포함·배제 식 $15 + 15 - w = 25$ 를 세우고 풀어 $w = 5$ 를 얻는 데 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (부분 대 전체 넓이 비 $\tfrac{75}{375} = \tfrac{1}{5}$ 을 퍼센트 $20\%$ 로 표현하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만 알면 풀려요: 겹친 가로를 구한 뒤, 부분 대 전체 비를 퍼센트로 바꾸기만 하면 됩니다.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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