AMC 8 · 2007 · #12

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesratio-proportionsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

A unit hexagram is composed of a regular hexagon of side length $1$ and its $6$
equilateral triangular extensions, as shown in the diagram. What is the ratio of
the area of the extensions to the area of the original hexagon?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:1

(B)

6:5

(C)

3:2

(D)

2:1

(E)

3:1

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $1$ 인 정육각형의 각 변마다 정삼각형 하나씩, 총 $6$ 개의 정삼각형이 바깥쪽에 붙어 별 모양(헥사그램)을 이룹니다. 바깥쪽 $6$ 개 삼각형의 전체 넓이와 가운데 정육각형 넓이의 비를 구하세요.

주어진 것: 중앙 도형은 한 변의 길이가 $1$ 인 정육각형; 정육각형의 각 변마다 정삼각형 하나씩, 총 $6$ 개가 바깥에 붙어 있다; 각 바깥 삼각형은 정육각형의 한 변을 그대로 밑변으로 공유한다; 선택지: (A) $1{:}1$, (B) $6{:}5$, (C) $3{:}2$, (D) $2{:}1$, (E) $3{:}1$

구하는 것: ($6$ 개 돌출부의 넓이) $:$ (정육각형의 넓이)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #5 패턴 찾기

도구 #1(그림 그리기) 이 핵심입니다. 정육각형의 긴 대각선 세 개를 그어 합동인 정삼각형 $6$ 개로 자르면, 모두 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형이 됩니다. 그림이 그려진 뒤에는 도구 #5(패턴 찾기) 가 마무리합니다 — 바깥쪽 $6$ 개의 돌출부도 한 변의 길이가 $1$ 인 정삼각형이므로 안쪽 조각과 정확히 합동입니다. 합동인 조각의 개수를 세는 것으로 넓이 공식이 필요 없게 됩니다. 넓이 공식도, $\sqrt{3}$ 도, 대수도 쓰지 않습니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

정육각형을 조각냅니다.
정육각형의 긴 대각선 세 개를 그으면 중심에서 만나고, 정육각형은 정삼각형 $6$ 개로 나뉩니다.
정육각형의 한 변이 $1$ 이므로 이 $6$ 개 조각은 모두 한 변이 $1$ 인 합동인 정삼각형입니다.

$$\text{정육각형} = 6 \text{ 개의 합동인 정삼각형, 각 한 변} = 1$$

💡 정육각형은 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 한 변의 길이와 같기 때문에, 여섯 조각이 각각 정삼각형이 됩니다.

#5 패턴 찾기 6.G.A.1 단계 2

바깥쪽 돌출부를 살펴봅니다.
각 돌출부는 정삼각형이며 정육각형의 한 변을 그대로 밑변으로 갖습니다.
그 밑변의 길이가 $1$ 이므로 각 돌출부도 한 변이 $1$ 인 정삼각형 — 안쪽 조각과 똑같은 삼각형입니다.

$$\text{각 돌출부} = \text{한 변이 } 1 \text{ 인 정삼각형} \;\Rightarrow\; \text{안쪽 조각과 합동}$$

💡 한 변의 길이가 같은 두 정삼각형은 항상 합동이므로 넓이도 같습니다.

#5 패턴 찾기 6.G.A.1 단계 3

한 변이 $1$ 인 정삼각형 하나의 넓이를 $T$ 라 합시다.
정육각형은 이런 삼각형 $6$ 개로, 바깥 돌출부도 이런 삼각형 $6$ 개로 이루어집니다.
따라서 양쪽 모두 넓이는 $6T$.

$$\text{정육각형 넓이} = 6T,\;\; 6 \text{ 개 돌출부의 넓이} = 6T$$

💡 같은 조각의 개수를 세면 $T$ 의 실제 값을 구하지 않고도 두 넓이를 비교할 수 있습니다.

#5 패턴 찾기 6.RP.A.1 단계 4

비를 구합니다.
두 넓이가 같으므로 비는 $1{:}1$ 입니다.

$$\dfrac{\text{돌출부}}{\text{정육각형}} = \dfrac{6T}{6T} = 1 \;\Rightarrow\; 1{:}1 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 합동 조각의 개수가 같으면 넓이도 같고, 비는 $1{:}1$ 입니다.

[1] #1 6.G.A.1 정육각형을 조각냅니다. 정육각형의 긴 대각선 세 개를 그으면 중심에서 만나고, 정육각형은 정삼각형 $6$ 개로 나뉩니다. 정육각형의 한 변이 $

[2] #5 6.G.A.1 바깥쪽 돌출부를 살펴봅니다. 각 돌출부는 정삼각형이며 정육각형의 한 변을 그대로 밑변으로 갖습니다. 그 밑변의 길이가 $1$ 이므로 각 돌출부도

[3] #5 6.G.A.1 한 변이 $1$ 인 정삼각형 하나의 넓이를 $T$ 라 합시다. 정육각형은 이런 삼각형 $6$ 개로, 바깥 돌출부도 이런 삼각형 $6$ 개로 이루

[4] #5 6.RP.A.1 비를 구합니다. 두 넓이가 같으므로 비는 $1{:}1$ 입니다.

검토

합리성 확인: 접어서 확인해 봅니다. 별의 바깥 꼭지를 각각 정육각형 변을 따라 안쪽으로 접는다고 상상하면, 접힌 삼각형이 안쪽 $6$ 개 조각 중 하나에 빈틈 없이, 겹침 없이 정확히 포개집니다. 두 삼각형이 합동이 아니면 불가능한 일이므로 넓이가 같다는 결론이 다시 확인됩니다. 또한 $6$ 개의 바깥 삼각형과 $6$ 개의 안쪽 삼각형이 모두 같은 크기라는 대칭과도 잘 맞습니다. (B)~(E) 는 돌출부 넓이가 정육각형 넓이보다 크다고 주장하는데, 접기 논증이 그 가능성을 배제합니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 관련 문제로 바꾸기): 넓이 대신 개수를 비교합니다. 정육각형과 별의 바깥 꼭지 모두 같은 기본 조각인 한 변이 $1$ 인 정삼각형으로 만들어집니다. 정육각형은 $6$ 개, 돌출부는 $6$ 개를 쓰므로 비는 $6{:}6 = 1{:}1$. 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 직각삼각형·일반 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해 구하기 (정육각형을 한 변이 $1$ 인 합동 정삼각형 $6$ 개로 분해하고, 바깥 돌출부 각각도 같은 기본 조각의 복제임을 인식하는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 두 양 사이의 비의 관계를 비의 언어로 설명하기 (두 넓이를 같은 조각의 개수로 비교하여 결과를 $6{:}6 = 1{:}1$ 의 비로 표현하는 데 사용.)

⭐ 정육각형을 정삼각형 $6$ 개로 자르면 별의 $6$ 꼭지가 똑같은 삼각형 — 합동인 조각을 세는 것만으로 공식 없이 넓이비가 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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