AMC 8 · 2011 · #7
쉬운 모드 학년 6문제
크기가 같은 큰 정사각형 4개가 나란히 놓여 있다고 생각해봅시다. 각 정사각형은 크기가 똑같은 작은 삼각형이나 직사각형으로 나뉘어 있고, 그중 일부 영역이 굵은 선으로 표시되어 있어요.
네 정사각형에서 굵게 표시된 부분의 넓이를 모두 더해봅시다.
네 정사각형의 전체 넓이 중에서 굵게 표시된 부분이 차지하는 비율은 몇 퍼센트일까요?
그림
똑같은 정사각형 네 개를 같은 크기로 나누고, 굵게 표시된 부분을 색칠했어요.
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 합동인 큰 정사각형 $4$ 개가 각각 합동인 삼각형이나 직사각형으로 잘려 있고, 각 정사각형 안의 일부 조각이 굵은 선으로 그려져 있습니다. 네 정사각형 전체를 한 덩어리로 봤을 때, 굵게 표시된 부분은 전체 넓이의 몇 퍼센트일까요?
주어진 것: 큰 합동 정사각형이 $4$ 개 있으므로 전체 넓이는 한 정사각형 넓이의 $4$ 배; 왼쪽 위 정사각형: 같은 크기의 세로 직사각형 $4$ 개로 나뉘고, $1$ 개가 굵게 표시됨; 오른쪽 위 정사각형: $4$ 개의 같은 사분면으로 나뉘고, 오른쪽 위 사분면을 대각선으로 자른 두 삼각형 중 $1$ 개가 굵게 표시됨; 왼쪽 아래 정사각형: $4$ 개의 사분면으로 나뉘고, 굵게 표시된 영역은 왼쪽 아래 사분면 + 그 위에 얹힌 직각삼각형(두 변의 길이가 큰 정사각형 변의 절반); 오른쪽 아래 정사각형: $4$ 개의 사분면으로 나뉘고, 왼쪽 아래 사분면 $1$ 개가 굵게 표시됨; 선택지: (A) $12\tfrac{1}{2}$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $33\tfrac{1}{3}$, (E) $37\tfrac{1}{2}$ (퍼센트)
구하는 것: 굵게 표시된 부분의 총 넓이를 네 큰 정사각형 전체 넓이에 대한 퍼센트로 표현한 값
이해
문제 재정리: 합동인 큰 정사각형 $4$ 개가 각각 합동인 삼각형이나 직사각형으로 잘려 있고, 각 정사각형 안의 일부 조각이 굵은 선으로 그려져 있습니다. 네 정사각형 전체를 한 덩어리로 봤을 때, 굵게 표시된 부분은 전체 넓이의 몇 퍼센트일까요?
주어진 것: 큰 합동 정사각형이 $4$ 개 있으므로 전체 넓이는 한 정사각형 넓이의 $4$ 배; 왼쪽 위 정사각형: 같은 크기의 세로 직사각형 $4$ 개로 나뉘고, $1$ 개가 굵게 표시됨; 오른쪽 위 정사각형: $4$ 개의 같은 사분면으로 나뉘고, 오른쪽 위 사분면을 대각선으로 자른 두 삼각형 중 $1$ 개가 굵게 표시됨; 왼쪽 아래 정사각형: $4$ 개의 사분면으로 나뉘고, 굵게 표시된 영역은 왼쪽 아래 사분면 + 그 위에 얹힌 직각삼각형(두 변의 길이가 큰 정사각형 변의 절반); 오른쪽 아래 정사각형: $4$ 개의 사분면으로 나뉘고, 왼쪽 아래 사분면 $1$ 개가 굵게 표시됨; 선택지: (A) $12\tfrac{1}{2}$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $33\tfrac{1}{3}$, (E) $37\tfrac{1}{2}$ (퍼센트)
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
문제 자체가 시각적이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 선두입니다 — 정사각형을 하나씩 다시 그려 분할선을 표시하고 굵게 표시된 조각을 색칠하면 그것이 차지하는 분수가 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 네 정사각형을 한꺼번에 다루는 대신 하나씩 처리하게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 정리용 트릭으로, 한 큰 정사각형의 변을 $1$ 로 두면 정사각형 하나의 넓이는 $1$, 전체 넓이는 $4$ 가 되어 변수 없이 모든 굵은 조각이 간단한 분수로 표현됩니다.
실행 — 정답: C
3.MD.C.7 단계 1 - 큰 정사각형 한 변의 길이를 $1$ 로 두면 넓이는 $1 \times 1 = 1$, 네 정사각형의 전체 넓이는 $4 \times 1 = 4$ 입니다.
- 미지의 변 길이를 비율을 유지한 채 가장 쉬운 수로 바꾸는 도구 #9 의 핵심 동작입니다.
💡 변 $\times$ 변으로 정사각형의 넓이를 구하는 것은 3학년 "곱셈으로 넓이 구하기" 그대로입니다.
3.G.A.2 단계 2 - 왼쪽 위 정사각형: 그림은 같은 크기의 세로 직사각형 $4$ 개로 나뉘고 그중 $1$ 개가 굵게 표시되어 있습니다.
- 각 띠는 단위 정사각형을 똑같이 $4$ 등분한 한 조각입니다.
💡 도형을 $4$ 등분하여 한 조각을 $\tfrac{1}{4}$ 로 부르는 것은 3학년 등분할 표준입니다.
3.G.A.2 단계 3 - 오른쪽 위 정사각형: 같은 크기의 사분면 $4$ 개(각각 큰 정사각형의 $\tfrac{1}{4}$)로 나뉘고, 오른쪽 위 사분면이 대각선으로 잘려 두 개의 같은 직각삼각형이 됩니다.
- 굵게 표시된 부분은 그 삼각형 중 하나이므로 $\tfrac{1}{4}$ 의 절반입니다.
💡 큰 정사각형을 $4$ 등분한 뒤 그중 하나를 다시 $2$ 등분 — 분수의 분수입니다.
6.G.A.1 단계 4 - 왼쪽 아래 정사각형: 굵은 윤곽을 두 조각이 붙어 있는 것으로 다시 봅니다 — 왼쪽 아래 사분면(넓이 $\tfrac{1}{4}$)과 그 위쪽 변에 얹힌 직각삼각형.
- 그 삼각형의 두 변은 각각 $\tfrac{1}{2}$(큰 변의 절반)이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{8}$ 입니다.
- 두 조각을 더합니다.
💡 도구 #7: 들쑥날쑥한 영역을 정사각형 $+$ 삼각형으로 쪼개면, 어려운 한 넓이가 쉬운 두 넓이가 됩니다.
3.G.A.2 단계 5 - 오른쪽 아래 정사각형: 같은 크기의 사분면 $4$ 개로 나뉘고, 그중 정확히 $1$ 개(왼쪽 아래)가 굵게 표시됩니다.
- 굵은 조각은 큰 정사각형의 $\tfrac{1}{4}$ 입니다.
💡 단위 정사각형을 $4$ 등분한 조각 하나의 넓이는 $\tfrac{1}{4}$ — 분할 그림을 그대로 읽으면 됩니다.
5.NF.A.1 단계 6 - 굵게 표시된 네 조각을 더합니다.
- 분모를 $8$ 로 통일하면 분모가 다른 분수들을 깔끔하게 합칠 수 있습니다.
💡 공통분모 $8$ 만 잡으면 네 개의 작은 문제가 한 번의 합으로 모입니다(5학년 분모가 다른 분수의 덧셈).
6.RP.A.3 단계 7 총 굵은 넓이 $1$ 을 전체 넓이 $4$ 와 비교한 뒤 그 비를 퍼센트로 바꿉니다.
💡 부분/전체 분수를 퍼센트로 바꾸는 것은 6학년 비율·비례 추론입니다.
3.MD.C.7 큰 정사각형 한 변의 길이를 $1$ 로 두면 넓이는 $1 \times 1 = 1$, 네 정사각형의 전체 넓이는 $4 \times 1 = 4$ 입 3.G.A.2 왼쪽 위 정사각형: 그림은 같은 크기의 세로 직사각형 $4$ 개로 나뉘고 그중 $1$ 개가 굵게 표시되어 있습니다. 각 띠는 단위 정사각형을 똑 3.G.A.2 오른쪽 위 정사각형: 같은 크기의 사분면 $4$ 개(각각 큰 정사각형의 $\tfrac{1}{4}$)로 나뉘고, 오른쪽 위 사분면이 대각선으로 잘 6.G.A.1 왼쪽 아래 정사각형: 굵은 윤곽을 두 조각이 붙어 있는 것으로 다시 봅니다 — 왼쪽 아래 사분면(넓이 $\tfrac{1}{4}$)과 그 위쪽 변 3.G.A.2 오른쪽 아래 정사각형: 같은 크기의 사분면 $4$ 개로 나뉘고, 그중 정확히 $1$ 개(왼쪽 아래)가 굵게 표시됩니다. 굵은 조각은 큰 정사각형 5.NF.A.1 굵게 표시된 네 조각을 더합니다. 분모를 $8$ 로 통일하면 분모가 다른 분수들을 깔끔하게 합칠 수 있습니다. 6.RP.A.3 총 굵은 넓이 $1$ 을 전체 넓이 $4$ 와 비교한 뒤 그 비를 퍼센트로 바꿉니다. 검토
합리성 확인: 굵게 표시된 네 조각은 $\tfrac{1}{4}$, $\tfrac{1}{8}$, $\tfrac{3}{8}$, $\tfrac{1}{4}$ 로 어느 것도 반을 넘지 않으니, 합은 큰 정사각형 약 한 개 분량이어야 합니다. 실제로 합이 정확히 $1$ 이 나오고, 전체 $4$ 로 나누면 $\tfrac{1}{4} = 25\%$ 입니다. 이 값은 선택지 (B) $20\%$ 와 (D) $33\tfrac{1}{3}\%$ 사이에 자리하므로, "각 정사각형의 사분의 일 남짓" 이라는 그림의 인상과 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기): 각 정사각형에서 굵게 표시되지 않은 부분의 분수를 구해 빼는 방법도 있습니다. 좌상 $\tfrac{3}{4}$, 우상 $\tfrac{7}{8}$, 좌하 $\tfrac{5}{8}$, 우하 $\tfrac{3}{4}$. 굵지 않은 부분 합 $= \tfrac{6+7+5+6}{8} = \tfrac{24}{8} = 3$. 굵은 부분 합 $= 4 - 3 = 1$, 그래서 $\tfrac{1}{4} = 25\%$. 같은 답에 다른 정리 방식입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.C.7넓이를 곱셈과 덧셈으로 연관 짓기 (큰 정사각형 하나의 넓이를 변 $\times$ 변 $= 1 \times 1 = 1$ 로, 전체 넓이를 $4 \times 1 = 4$ 로 설정하는 데 사용.)3.G.A.2도형을 같은 넓이의 부분으로 나누고 각 부분을 단위분수로 표현 (좌상·우상·우하 정사각형의 분할에서 $\tfrac{1}{4}$, $\tfrac{1}{8}$, $\tfrac{1}{4}$ 을 그대로 읽어내는 데 사용.)6.G.A.1직사각형으로 구성하여 직각삼각형의 넓이 구하기 (좌하 정사각형의 사분면 위에 얹힌 직각삼각형의 넓이를 $\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2}\times\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8}$ 로 계산하는 데 사용.)5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{4}=1$ 을 공통분모 $8$ 로 통일해 더하는 데 사용.)6.RP.A.3퍼센트를 포함한 비율·비례 추론으로 문제 해결 (부분 대 전체 비율 $\tfrac{1}{4}$ 을 퍼센트 $25\%$ 로 변환하는 데 사용.)
⭐ 큰 정사각형 하나의 넓이를 $1$ 로 두고 굵은 조각을 분수로 읽어 더하면, 네 조각의 합이 $1$, 전체 $4$ 중 $\tfrac{1}{4}$, 즉 $25\%$ 입니다.
⭐ 큰 정사각형 하나의 넓이를 $1$ 로 두고 굵은 조각을 분수로 읽어 더하면, 네 조각의 합이 $1$, 전체 $4$ 중 $\tfrac{1}{4}$, 즉 $25\%$ 입니다.
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