AMC 8 · 2012 · #13
쉬운 모드 학년 6문제
학교 서점에서 연필을 팔고 있습니다. 연필 한 자루의 가격은 모두 같고, 그 가격은 정수 센트(¢)예요. 그리고 한 자루의 가격은 1 센트보다 비쌉니다.
자마는 이 연필을 몇 자루 사서 정확히 \textdollar1.43 을 냈습니다. 샤로나도 같은 연필을 몇 자루 사서 정확히 \textdollar1.87 을 냈습니다.
샤로나는 자마보다 연필을 몇 자루 더 샀을까요?
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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 같은 학교 서점에서 자마(Jamar)는 연필 몇 자루를 사고 $\$1.43$ 을, 샤로나(Sharona)는 같은 종류의 연필을 사고 $\$1.87$ 을 냈습니다. 연필 한 자루의 가격은 $1$ 센트보다 비싼 정수(센트)입니다. 샤로나는 자마보다 연필을 몇 자루 더 샀을까요?
주어진 것: 자마가 낸 금액 $= \$1.43 = 143$ 센트; 샤로나가 낸 금액 $= \$1.87 = 187$ 센트; 두 사람 모두 같은 종류의 연필을 삼 (한 자루 가격이 고정); 연필 한 자루는 $1$ 센트보다 비쌈; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$
구하는 것: 샤로나가 산 연필 수와 자마가 산 연필 수의 차
이해
문제 재정리: 같은 학교 서점에서 자마(Jamar)는 연필 몇 자루를 사고 $\$1.43$ 을, 샤로나(Sharona)는 같은 종류의 연필을 사고 $\$1.87$ 을 냈습니다. 연필 한 자루의 가격은 $1$ 센트보다 비싼 정수(센트)입니다. 샤로나는 자마보다 연필을 몇 자루 더 샀을까요?
주어진 것: 자마가 낸 금액 $= \$1.43 = 143$ 센트; 샤로나가 낸 금액 $= \$1.87 = 187$ 센트; 두 사람 모두 같은 종류의 연필을 삼 (한 자루 가격이 고정); 연필 한 자루는 $1$ 센트보다 비쌈; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
연필 한 자루 가격 $c$ 는 $143$ 과 $187$ 을 모두 나누어떨어져야 하고, 문제에서 $c > 1$ 이라고 못 박았습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)로 $j \cdot c = 143$, $s \cdot c = 187$ 의 간단한 두 식을 세우면 "$c$ 는 공약수"라는 사실이 한눈에 보입니다. 그다음에는 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 가장 가벼운 길 — 작은 소수($2, 3, 5, 7, 11, \ldots$)를 차례로 $143$ 에 대입해서 맞는 걸 찾고, 그게 $187$ 도 나누는지 확인하면 끝입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "$c$ 찾기 → $j, s$ 찾기 → 차 구하기" 의 세 조각으로 풀이를 깔끔하게 나눠 줍니다.
실행 — 정답: C
6.EE.B.6 단계 1 - 모든 값을 정수로 다루기 위해 금액을 센트로 바꾸고, 미지수에 이름을 붙입니다.
- $c$ 를 연필 한 자루 가격(센트), $j$ 를 자마가 산 자루 수, $s$ 를 샤로나가 산 자루 수라 하겠습니다.
💡 미지수에 문자 이름을 붙이고 "개수 $\times$ 가격 $=$ 총액" 식을 세우는 것은 6학년 "문자를 사용해 수를 표현" 단계 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - $j \cdot c = 143$ 과 $s \cdot c = 187$ 둘 다 정수해를 가져야 하므로, $c$ 는 $143$ 과 $187$ 의 공약수입니다.
- 먼저 $143$ 의 약수를 작은 소수부터 대입해 찾아봅니다.
💡 $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$ 을 순서대로 대입해 맞을 때까지 시도하는 것은 4학년 "약수 쌍 찾기" 의 표준 절차입니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 이제 같은 소수 $11$ 이 $187$ 도 나누는지 확인합니다.
- 만약 그렇다면 $11$ 은 $1$ 보다 큰 공약수이므로 우리가 찾는 $c$ 의 후보가 됩니다.
💡 두 수의 공통 약수가 있는지 확인하는 것은 6학년 "최대공약수" 개념 그 자체입니다.
6.NS.B.4 단계 4 - $c$ 가 $11$ 말고 다른 값일 수도 있을까요?
- $143$ 의 약수는 $\{1, 11, 13, 143\}$, $187$ 의 약수는 $\{1, 11, 17, 187\}$ 이고, 두 집합의 공통 원소는 $1$ 과 $11$ 뿐입니다.
- $c > 1$ 조건이 $1$ 을 제거하므로 $c = 11$ 센트로 확정됩니다.
💡 약수 전체 목록을 만들어 비교하면 짐작이 아니라 확인이 됩니다.
4.NBT.B.6 단계 5 $c = 11$ 을 각 식에 대입해 두 사람이 산 연필 수를 구하고, 문제가 묻는 차를 계산합니다.
💡 세 자리 수를 $11$ 로 나누는 것은 4학년 다자리 나눗셈, 마지막 뺄셈은 쪼개 둔 마지막 작은 문제입니다.
6.EE.B.6 모든 값을 정수로 다루기 위해 금액을 센트로 바꾸고, 미지수에 이름을 붙입니다. $c$ 를 연필 한 자루 가격(센트), $j$ 를 자마가 산 자 4.OA.B.4 $j \cdot c = 143$ 과 $s \cdot c = 187$ 둘 다 정수해를 가져야 하므로, $c$ 는 $143$ 과 $187$ 의 공약 6.NS.B.4 이제 같은 소수 $11$ 이 $187$ 도 나누는지 확인합니다. 만약 그렇다면 $11$ 은 $1$ 보다 큰 공약수이므로 우리가 찾는 $c$ 의 6.NS.B.4 $c$ 가 $11$ 말고 다른 값일 수도 있을까요? $143$ 의 약수는 $\{1, 11, 13, 143\}$, $187$ 의 약수는 ${1, 4.NBT.B.6 $c = 11$ 을 각 식에 대입해 두 사람이 산 연필 수를 구하고, 문제가 묻는 차를 계산합니다. 검토
합리성 확인: 단위와 답의 크기를 점검합니다. 한 자루 $11$ 센트일 때 $13$ 자루는 $13 \times 11 = 143$ 센트 $= \$1.43$, $17$ 자루는 $17 \times 11 = 187$ 센트 $= \$1.87$ 로 두 총액이 정확히 맞습니다. 차 $17 - 13 = 4$ 도 선택지 안에 있는 작은 양의 정수입니다. 만약 $c = 1$ 페니였다면 차는 $187 - 143 = 44$ 가 되어 어떤 선택지와도 맞지 않으니, 문제의 "$c > 1$" 단서가 정말 핵심 조건이었음을 확인할 수 있습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅니다. $s - j = k$ 라 두면 $sc - jc = kc$ 이므로 $kc = 187 - 143 = 44$, 즉 $c = 44 / k$ 여야 합니다. 각 선택지를 시험해 봅시다: $k = 2 \Rightarrow c = 22$, 그런데 $22$ 는 $143$ 을 나누지 못함; $k = 3 \Rightarrow c = 44/3$, 정수가 아님; $k = 4 \Rightarrow c = 11$, $11$ 은 $143$ 과 $187$ 모두 나눔 — 통과; $k = 5 \Rightarrow c = 8.8$, 정수가 아님; $k = 6 \Rightarrow c = 44/6$, 정수가 아님. 살아남는 후보는 $k = 4$ 뿐이므로 답은 $\textbf{(C)}$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4약수 쌍 모두 찾기, 배수 인식, 소수·합성수 판별 (작은 소수를 대입해 $143 = 11 \times 13$ 으로 인수분해하는 4학년 약수 쌍 절차.)4.NBT.B.6최대 네 자리 수의 정수 몫과 나머지 구하기 ($143 \div 11 = 13$, $187 \div 11 = 17$ 로 연필 자루 수 계산.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($c$ 가 $143$ 과 $187$ 의 공약수임을 인식하고, $c > 1$ 조건 아래 유일한 값 $11$ (실제로 $\gcd(143, 187) = 11$) 을 확정.)6.EE.B.6문자를 사용해 수를 나타내고 식을 세워 문제 해결 ($c, j, s$ 를 가격과 두 사람의 자루 수로 두고 $j \cdot c = 143$, $s \cdot c = 187$ 을 세움.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 최대공약수만 알면 풀려요 — $1$ 센트보다 큰 공통 약수 하나를 찾고, 나눠서 자루 수를 구하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 최대공약수만 알면 풀려요 — $1$ 센트보다 큰 공통 약수 하나를 찾고, 나눠서 자루 수를 구하면 끝!
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