AMC 8 · 2013 · #13
쉬운 모드 학년 5문제
클라라는 점수 목록을 더하고 있었어요. 각 점수는 52나 74 같은 두 자리 수입니다.
그런데 그중 한 점수를 적을 때, 실수로 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꿔 적었어요. 예를 들면 52를 25로, 또는 74를 47로 적은 거예요.
그래서 그녀가 구한 합계는 틀린 값이 되었습니다. 정답 합계와 비교해서, 틀린 합계가 어떤 양만큼 차이가 나요 (더 크거나 더 작거나).
다음 중 그 차이의 크기로 가능한 값은 무엇일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 클라라는 시험 점수들을 합산하다가 어떤 한 점수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 실수로 바꿔 적었습니다 (예: $72$ 를 $27$ 로). 이 한 번의 자리 바꿈 때문에 잘못된 합과 정확한 합이 달라졌습니다. 다섯 개의 선택지 중 이 차이가 될 수 있는 값은 무엇일까요?
주어진 것: 두 자리 점수 하나에서 십의 자리와 일의 자리가 서로 바뀜; 나머지 점수들은 모두 정확히 더해짐; 선택지: (A) $45$, (B) $46$, (C) $47$, (D) $48$, (E) $49$
구하는 것: 한 번의 자리 바꿈으로 실제로 나올 수 있는 차이가 다섯 개 중 어느 것인지
이해
문제 재정리: 클라라는 시험 점수들을 합산하다가 어떤 한 점수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 실수로 바꿔 적었습니다 (예: $72$ 를 $27$ 로). 이 한 번의 자리 바꿈 때문에 잘못된 합과 정확한 합이 달라졌습니다. 다섯 개의 선택지 중 이 차이가 될 수 있는 값은 무엇일까요?
주어진 것: 두 자리 점수 하나에서 십의 자리와 일의 자리가 서로 바뀜; 나머지 점수들은 모두 정확히 더해짐; 선택지: (A) $45$, (B) $46$, (C) $47$, (D) $48$, (E) $49$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
대수부터 끌어오지 말고 작은 실제 예부터 시도해 봅시다(도구 #9). 두 자리 수 몇 개의 자리를 직접 바꿔 보고 — $72 \to 27$, $63 \to 36$, $41 \to 14$ — 차이를 적습니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 보면 모든 차이가 $9$ 의 배수임이 드러납니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 선택지를 훑어 $9$ 의 배수만 남기면 됩니다. 6학년 대수가 아니라 4학년 "배수" · "자릿값" 으로 풀 수 있는 길입니다.
실행 — 정답: A
4.NBT.B.4 단계 1 - 쉬운 예를 직접 몇 개 계산해 봅니다.
- 두 자리 점수를 골라 자리를 뒤집고 차이를 구합니다.
- 세 개 정도면 패턴을 찾기에 충분합니다.
💡 더 작고 구체적인 예부터 풀어 보는 것은 4학년 "여러 자리 수의 덧셈·뺄셈" 그대로 — 아직 대수는 필요 없습니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 세 차이 $45,\ 27,\ 27$ 을 살펴봅니다.
- 모두 $9$ 의 배수입니다 — $45 = 9 \times 5$, $27 = 9 \times 3$.
- 확인을 위해 한 번 더 시도: $85 - 58 = 27 = 9 \times 3$.
- 패턴은 일관됩니다 — 자리 바꿈 차이는 항상 $9$ 의 배수입니다.
💡 모든 결과가 $9$ 의 배수임을 알아차리는 것은 4학년 "인수와 배수" 개념을 수의 패턴에 적용한 것입니다.
5.NBT.A.1 단계 3 - 이 패턴이 *왜* 성립하는지 자릿값으로 설명합니다.
- 십의 자리가 $t$, 일의 자리가 $u$ 인 두 자리 수는 $10t + u$ 의 값을 갖습니다.
- 자리를 바꾸면 $10u + t$ 가 되고, 두 값을 빼면 $(10t + u) - (10u + t) = 9t - 9u = 9(t - u)$ — 어떤 자릿값을 쓰든 항상 $9$ 의 배수입니다.
💡 두 자리 수를 $10t + u$ 로 읽는 것은 "한 자리는 바로 오른쪽 자리보다 $10$ 배 의 크기를 나타낸다" 는 5학년 자릿값 규칙입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - 이제 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 거릅니다 — $9$ 의 배수만 남깁니다.
- 빠르게 $9$ 의 배수 판정법(자릿수의 합이 $9$ 의 배수)을 적용: $4+5=9$ ✓, $4+6=10$, $4+7=11$, $4+8=12$, $4+9=13$.
- 살아남는 것은 $45$ 뿐입니다.
💡 각 선택지를 $9$ 의 배수 판정법으로 점검하는 것이 바로 4학년 "배수" 의 실전 사용입니다.
4.OA.B.4 단계 5 - 남은 값 $45$ 가 실제로 가능한지 확인합니다.
- 3단계에서 차이는 $9(t-u)$ 이므로 $9(t-u) = 45$ 이면 $|t - u| = 5$.
- 이를 만족하는 자릿값 쌍은 많습니다 (예: $7$ 과 $2$): $72 - 27 = 45$.
- 따라서 $45$ 는 실제로 만들어질 수 있는 차이입니다.
💡 구체적인 예를 만들어 보이는 것은 답이 패턴 검사와 실제 검사를 동시에 통과한다는 확인입니다.
4.NBT.B.4 쉬운 예를 직접 몇 개 계산해 봅니다. 두 자리 점수를 골라 자리를 뒤집고 차이를 구합니다. 세 개 정도면 패턴을 찾기에 충분합니다. 4.OA.B.4 세 차이 $45,\ 27,\ 27$ 을 살펴봅니다. 모두 $9$ 의 배수입니다 — $45 = 9 \times 5$, $27 = 9 \times 5.NBT.A.1 이 패턴이 *왜* 성립하는지 자릿값으로 설명합니다. 십의 자리가 $t$, 일의 자리가 $u$ 인 두 자리 수는 $10t + u$ 의 값을 갖습니 4.OA.B.4 이제 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 거릅니다 — $9$ 의 배수만 남깁니다. 빠르게 $9$ 의 배수 판정법(자릿수의 합이 $9$ 의 4.OA.B.4 남은 값 $45$ 가 실제로 가능한지 확인합니다. 3단계에서 차이는 $9(t-u)$ 이므로 $9(t-u) = 45$ 이면 $|t - u| = 5 검토
합리성 확인: 시도해 본 모든 예 — $72 \to 27$, $63 \to 36$, $41 \to 14$, $85 \to 58$ — 의 차이가 모두 $9$ 의 배수였습니다. 대수적인 정리 $9(t-u)$ 가 그 이유를 설명해 줍니다. 다섯 선택지 중 $9$ 의 배수는 $45$ 뿐이고, 실제 자리 바꿈 ($72 \leftrightarrow 27$) 으로도 정확히 $45$ 가 나옵니다. 추론과 실제 예 모두 (A) 를 가리킵니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 선택지에 적용해도 됩니다. 각 보기마다 "두 숫자 $t, u$ 로 $10t + u - (10u + t) = $ 그 보기 를 만들 수 있나?" 를 묻습니다. 식을 정리하면 $9(t-u)$ 이므로 결국 "그 보기가 $9$ 로 나누어떨어지나?" 와 같은 질문입니다. $9$ 의 배수는 $45$ 뿐이므로 패턴 풀이와 같은 결론입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.NBT.B.4여러 자리 수를 표준 알고리듬으로 정확히 더하고 빼기 (패턴 탐색의 출발이 되는 작은 구체 사례들 ($72 - 27 = 45$, $63 - 36 = 27$, $41 - 14 = 27$) 의 계산에 사용.)4.OA.B.4한 자연수의 인수쌍 모두 찾기; 자연수는 자신의 각 인수의 배수임을 인식 (모든 차이가 $9$ 의 배수임을 인식하고, 다섯 선택지를 $9$ 의 배수 판정법으로 거르는 데 사용.)5.NBT.A.1여러 자리 수에서 한 자리의 값은 바로 오른쪽 자리의 값의 $10$ 배 임을 이해 (두 자리 수를 $10t + u$, 자리 바뀐 수를 $10u + t$ 로 표현하여 차이가 항상 $9(t-u)$ 임을 설명하는 데 사용.)
⭐ 두 자리 수의 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 차이는 늘 $9$ 의 배수 — AMC 의 비밀이 아니라 5학년 자릿값 사실이에요!
⭐ 두 자리 수의 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 차이는 늘 $9$ 의 배수 — AMC 의 비밀이 아니라 5학년 자릿값 사실이에요!
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
