AMC 8 · 2013 · #13

학년 5 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-decompositionplace-valuemultiples convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

클라라(Clara)는 점수들을 합산하다가 한 점수의 일의 자리 숫자와 십의 자리 숫자를 실수로 바꿔 적었습니다. 다음 중 그녀가 구한 잘못된 합과 정확한 합의 차이가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 클라라는 시험 점수들을 합산하다가 어떤 한 점수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 실수로 바꿔 적었습니다 (예: $72$ 를 $27$ 로). 이 한 번의 자리 바꿈 때문에 잘못된 합과 정확한 합이 달라졌습니다. 다섯 개의 선택지 중 이 차이가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

주어진 것: 두 자리 점수 하나에서 십의 자리와 일의 자리가 서로 바뀜; 나머지 점수들은 모두 정확히 더해짐; 선택지: (A) $45$, (B) $46$, (C) $47$, (D) $48$, (E) $49$

구하는 것: 한 번의 자리 바꿈으로 실제로 나올 수 있는 차이가 다섯 개 중 어느 것인지

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

대수부터 끌어오지 말고 작은 실제 예부터 시도해 봅시다(도구 #9). 두 자리 수 몇 개의 자리를 직접 바꿔 보고 — $72 \to 27$, $63 \to 36$, $41 \to 14$ — 차이를 적습니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 보면 모든 차이가 $9$ 의 배수임이 드러납니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 선택지를 훑어 $9$ 의 배수만 남기면 됩니다. 6학년 대수가 아니라 4학년 "배수" · "자릿값" 으로 풀 수 있는 길입니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 1

쉬운 예를 직접 몇 개 계산해 봅니다.
두 자리 점수를 골라 자리를 뒤집고 차이를 구합니다.
세 개 정도면 패턴을 찾기에 충분합니다.

$$72 - 27 = 45,\quad 63 - 36 = 27,\quad 41 - 14 = 27$$

💡 더 작고 구체적인 예부터 풀어 보는 것은 4학년 "여러 자리 수의 덧셈·뺄셈" 그대로 — 아직 대수는 필요 없습니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

세 차이 $45,\ 27,\ 27$ 을 살펴봅니다.
모두 $9$ 의 배수입니다 — $45 = 9 \times 5$, $27 = 9 \times 3$.
확인을 위해 한 번 더 시도: $85 - 58 = 27 = 9 \times 3$.
패턴은 일관됩니다 — 자리 바꿈 차이는 항상 $9$ 의 배수입니다.

$$45 = 9 \times 5,\ \ 27 = 9 \times 3,\ \ 85 - 58 = 27 = 9 \times 3$$

💡 모든 결과가 $9$ 의 배수임을 알아차리는 것은 4학년 "인수와 배수" 개념을 수의 패턴에 적용한 것입니다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.A.1 단계 3

이 패턴이 *왜* 성립하는지 자릿값으로 설명합니다.
십의 자리가 $t$, 일의 자리가 $u$ 인 두 자리 수는 $10t + u$ 의 값을 갖습니다.
자리를 바꾸면 $10u + t$ 가 되고, 두 값을 빼면 $(10t + u) - (10u + t) = 9t - 9u = 9(t - u)$ — 어떤 자릿값을 쓰든 항상 $9$ 의 배수입니다.

$$(10t + u) - (10u + t) = 9t - 9u = 9(t - u)$$

💡 두 자리 수를 $10t + u$ 로 읽는 것은 "한 자리는 바로 오른쪽 자리보다 $10$ 배 의 크기를 나타낸다" 는 5학년 자릿값 규칙입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

이제 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 거릅니다 — $9$ 의 배수만 남깁니다.
빠르게 $9$ 의 배수 판정법(자릿수의 합이 $9$ 의 배수)을 적용: $4+5=9$ ✓, $4+6=10$, $4+7=11$, $4+8=12$, $4+9=13$.
살아남는 것은 $45$ 뿐입니다.

$45 = 9 \times 5\ \checkmark;\ \ 46,\ 47,\ 48,\ 49$ 는 $9$ 의 배수 아님

💡 각 선택지를 $9$ 의 배수 판정법으로 점검하는 것이 바로 4학년 "배수" 의 실전 사용입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

남은 값 $45$ 가 실제로 가능한지 확인합니다.
3단계에서 차이는 $9(t-u)$ 이므로 $9(t-u) = 45$ 이면 $|t - u| = 5$.
이를 만족하는 자릿값 쌍은 많습니다 (예: $7$ 과 $2$): $72 - 27 = 45$.
따라서 $45$ 는 실제로 만들어질 수 있는 차이입니다.

$$9 \times |t - u| = 45 \;\Rightarrow\; |t - u| = 5;\ \ 72 - 27 = 45 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 구체적인 예를 만들어 보이는 것은 답이 패턴 검사와 실제 검사를 동시에 통과한다는 확인입니다.

[1] #9 4.NBT.B.4 쉬운 예를 직접 몇 개 계산해 봅니다. 두 자리 점수를 골라 자리를 뒤집고 차이를 구합니다. 세 개 정도면 패턴을 찾기에 충분합니다.

[2] #5 4.OA.B.4 세 차이 $45,\ 27,\ 27$ 을 살펴봅니다. 모두 $9$ 의 배수입니다 — $45 = 9 \times 5$, $27 = 9 \times

[3] #5 5.NBT.A.1 이 패턴이 *왜* 성립하는지 자릿값으로 설명합니다. 십의 자리가 $t$, 일의 자리가 $u$ 인 두 자리 수는 $10t + u$ 의 값을 갖습니

[4] #3 4.OA.B.4 이제 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 거릅니다 — $9$ 의 배수만 남깁니다. 빠르게 $9$ 의 배수 판정법(자릿수의 합이 $9$ 의

[5] #3 4.OA.B.4 남은 값 $45$ 가 실제로 가능한지 확인합니다. 3단계에서 차이는 $9(t-u)$ 이므로 $9(t-u) = 45$ 이면 $|t - u| = 5

검토

합리성 확인: 시도해 본 모든 예 — $72 \to 27$, $63 \to 36$, $41 \to 14$, $85 \to 58$ — 의 차이가 모두 $9$ 의 배수였습니다. 대수적인 정리 $9(t-u)$ 가 그 이유를 설명해 줍니다. 다섯 선택지 중 $9$ 의 배수는 $45$ 뿐이고, 실제 자리 바꿈 ($72 \leftrightarrow 27$) 으로도 정확히 $45$ 가 나옵니다. 추론과 실제 예 모두 (A) 를 가리킵니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 선택지에 적용해도 됩니다. 각 보기마다 "두 숫자 $t, u$ 로 $10t + u - (10u + t) = $ 그 보기 를 만들 수 있나?" 를 묻습니다. 식을 정리하면 $9(t-u)$ 이므로 결국 "그 보기가 $9$ 로 나누어떨어지나?" 와 같은 질문입니다. $9$ 의 배수는 $45$ 뿐이므로 패턴 풀이와 같은 결론입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NBT.B.4 여러 자리 수를 표준 알고리듬으로 정확히 더하고 빼기 (패턴 탐색의 출발이 되는 작은 구체 사례들 ($72 - 27 = 45$, $63 - 36 = 27$, $41 - 14 = 27$) 의 계산에 사용.)
4.OA.B.4 한 자연수의 인수쌍 모두 찾기; 자연수는 자신의 각 인수의 배수임을 인식 (모든 차이가 $9$ 의 배수임을 인식하고, 다섯 선택지를 $9$ 의 배수 판정법으로 거르는 데 사용.)
5.NBT.A.1 여러 자리 수에서 한 자리의 값은 바로 오른쪽 자리의 값의 $10$ 배 임을 이해 (두 자리 수를 $10t + u$, 자리 바뀐 수를 $10u + t$ 로 표현하여 차이가 항상 $9(t-u)$ 임을 설명하는 데 사용.)

⭐ 두 자리 수의 십의 자리와 일의 자리를 바꾸면 차이는 늘 $9$ 의 배수 — AMC 의 비밀이 아니라 5학년 자릿값 사실이에요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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