AMC 8 · 2013 · #16
쉬운 모드 학년 6문제
피보나치 중학교에서 6학년, 7학년, 8학년 학생 몇 명이 함께 봉사 활동을 하고 있어요.
각 학년의 학생 수는 두 가지 규칙을 따릅니다:
- 8학년 학생 5명마다 6학년 학생이 정확히 3명 있습니다.
- 8학년 학생 8명마다 7학년 학생이 정확히 5명 있습니다.
실제 학생 수는 자연수여야 하고요 (사람을 쪼갤 순 없으니까요). 학교는 두 규칙을 모두 지키면서 전체 인원이 가능한 한 작도록 하려고 합니다.
이 봉사 활동에 참여하는 학생의 최소 인원수는 몇 명일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 피보나치 중학교에서 $8$학년, $7$학년, $6$학년 학생들이 함께 봉사 프로젝트에 참여합니다. $8$학년 대 $6$학년 비는 $5 : 3$, $8$학년 대 $7$학년 비는 $8 : 5$입니다. 두 비가 동시에 성립하는 가장 작은 학생 수 합계는 얼마일까요?
주어진 것: 비 $8$학년 $: 6$학년 $= 5 : 3$; 비 $8$학년 $: 7$학년 $= 8 : 5$; 세 학년 모두 학생 수는 자연수; 선택지: (A) $16$, (B) $40$, (C) $55$, (D) $79$, (E) $89$
구하는 것: 조건을 만족하는 가장 작은 전체 학생 수 $= 8$학년 $+ 7$학년 $+ 6$학년
이해
문제 재정리: 피보나치 중학교에서 $8$학년, $7$학년, $6$학년 학생들이 함께 봉사 프로젝트에 참여합니다. $8$학년 대 $6$학년 비는 $5 : 3$, $8$학년 대 $7$학년 비는 $8 : 5$입니다. 두 비가 동시에 성립하는 가장 작은 학생 수 합계는 얼마일까요?
주어진 것: 비 $8$학년 $: 6$학년 $= 5 : 3$; 비 $8$학년 $: 7$학년 $= 8 : 5$; 세 학년 모두 학생 수는 자연수; 선택지: (A) $16$, (B) $40$, (C) $55$, (D) $79$, (E) $89$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
두 비가 공통 항($8$학년)을 가지고 있지만 값이 서로 다릅니다($5$와 $8$). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 두 비의 $8$학년 값이 같아지도록 비를 다시 맞추는 부분 문제와 (2) 맞춰진 비를 하나의 세 항 비로 합쳐 더하는 부분 문제로 깔끔하게 나눌 수 있습니다. 두 부분 문제를 잇는 다리는 $8$학년 자리에 공통으로 들어갈 수 — 즉 $\text{lcm}(5, 8)$ — 입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 검토 단계에서 작은 선택지($16, 40, 55, 79$)를 빠르게 배제할 때 사용합니다.
실행 — 정답: E
6.NS.B.4 단계 1 - 부분 문제 $1$: 두 비의 $8$학년 값을 같게 만듭니다.
- 현재 $8$학년 자리는 $5$와 $8$이므로, 둘 다 나누어떨어지게 하는 가장 작은 수는 $\text{lcm}(5, 8) = 40$입니다.
💡 작은 두 수의 최소공배수 구하기는 6학년 수 체계 표준 내용입니다.
6.RP.A.3 단계 2 비 $1$($8$학년 $: 6$학년 $= 5 : 3$) 양쪽에 $8$을 곱해 $8$학년 자리를 $40$으로 맞춥니다.
💡 비의 두 항에 같은 수를 곱하면 동치 비가 되는 6학년 비율 추론의 기본 동작입니다.
6.RP.A.3 단계 3 비 $2$($8$학년 $: 7$학년 $= 8 : 5$) 양쪽에 $5$를 곱해 $8$학년 자리를 똑같이 $40$으로 맞춥니다.
💡 다른 비에도 같은 6학년 동작을 적용해 두 비가 $8$학년에 대해 같은 언어로 말하게 만듭니다.
6.RP.A.1 단계 4 - 부분 문제 $2$: 두 비를 하나의 세 항 비로 합칩니다.
- $8$학년 자리가 모두 $40$으로 같아졌으므로 그대로 끼워 맞춰집니다.
- 더 줄일 수 있는지 확인하면 $\gcd(40, 25, 24) = 1$이라 $40 : 25 : 24$가 이미 가장 작은 자연수 비입니다.
💡 두 항 비를 공통 항으로 맞춰 세 항 비로 확장하는 것은 6학년 비율 언어의 기본기입니다.
6.RP.A.3 단계 5 가장 작은 자연수 비의 각 항을 그대로 학생 수로 보고 모두 더하면 최소 합계가 나옵니다.
💡 비가 더 줄지 않는 형태가 됐을 때 각 항을 더한 값이 가능한 최소 전체 학생 수입니다.
6.NS.B.4 부분 문제 $1$: 두 비의 $8$학년 값을 같게 만듭니다. 현재 $8$학년 자리는 $5$와 $8$이므로, 둘 다 나누어떨어지게 하는 가장 작은 6.RP.A.3 비 $1$($8$학년 $: 6$학년 $= 5 : 3$) 양쪽에 $8$을 곱해 $8$학년 자리를 $40$으로 맞춥니다. 6.RP.A.3 비 $2$($8$학년 $: 7$학년 $= 8 : 5$) 양쪽에 $5$를 곱해 $8$학년 자리를 똑같이 $40$으로 맞춥니다. 6.RP.A.1 부분 문제 $2$: 두 비를 하나의 세 항 비로 합칩니다. $8$학년 자리가 모두 $40$으로 같아졌으므로 그대로 끼워 맞춰집니다. 더 줄일 수 6.RP.A.3 가장 작은 자연수 비의 각 항을 그대로 학생 수로 보고 모두 더하면 최소 합계가 나옵니다. 검토
합리성 확인: $40 : 25 : 24$가 정말 원래 두 비를 모두 만족하는지 확인합니다. $40 : 24 = 5 : 3$($8$로 나눔) ✓, $40 : 25 = 8 : 5$($5$로 나눔) ✓. $\gcd(40, 25, 24) = 1$이라 비를 더 줄일 수 없으므로 합계 $89$가 진짜 최솟값입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 직접 점검합니다. 전체 학생 수는 비 $40 : 25 : 24$로 나뉘어야 하므로 $89$의 배수여야 합니다. 선택지 (A) $16$, (B) $40$, (C) $55$, (D) $79$는 모두 $89$보다 작아 불가능합니다. 따라서 (E) $89$만 남습니다 — 한 번에 오답을 전부 솎아낼 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.NS.B.4두 자연수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (두 비를 같은 $8$학년 값으로 다시 쓰기 위해 $\text{lcm}(5, 8) = 40$을 계산.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비를 나타내는 언어 사용 (다시 맞춰진 두 비를 하나의 세 항 비 $8$학년 $: 7$학년 $: 6$학년 $= 40 : 25 : 24$로 합치는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (비의 양쪽에 같은 수를 곱해 동치 비를 만들고, 마지막에 각 항을 더해 최소 전체 학생 수를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만으로 풀려요 — $\text{lcm}$으로 공통 항을 맞춘 다음 각 항을 더하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만으로 풀려요 — $\text{lcm}$으로 공통 항을 맞춘 다음 각 항을 더하면 끝!
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