AMC 8 · 2013 · #17
쉬운 모드 학년 6문제
자연수 여섯 개가 한 줄로 늘어서 있다고 생각해봅시다. 각 수는 바로 앞 수보다 정확히 1만큼 큽니다. 그러니까 어떤 시작 수 n에 대해 n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5의 모양이에요.
이 여섯 수를 모두 더했더니 합이 2013이 되었습니다.
여섯 수 중에서 가장 큰 수는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 양의 정수 $6$ 개가 연속해서(앞 수보다 $1$ 씩 큰 수로) 나열돼 있고, 그 합이 $2013$ 입니다. 이 여섯 수 중 가장 큰 수를 구하세요.
주어진 것: 여섯 개의 연속된 양의 정수 (예: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$); 여섯 수의 합 $= 2013$; 선택지: (A) $335$, (B) $338$, (C) $340$, (D) $345$, (E) $350$
구하는 것: 여섯 개 연속 정수 중 가장 큰 수
이해
문제 재정리: 양의 정수 $6$ 개가 연속해서(앞 수보다 $1$ 씩 큰 수로) 나열돼 있고, 그 합이 $2013$ 입니다. 이 여섯 수 중 가장 큰 수를 구하세요.
주어진 것: 여섯 개의 연속된 양의 정수 (예: $n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5$); 여섯 수의 합 $= 2013$; 선택지: (A) $335$, (B) $338$, (C) $340$, (D) $345$, (E) $350$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
연속된 정수의 합에는 깔끔한 패턴이 있습니다 — 합은 항상 (개수) $\times$ (평균) 이고, 평균은 목록의 정확히 한가운데에 있습니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 합을 바로 평균으로 바꿔서 대수 없이 풀 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 작업을 두 조각 — "평균 구하기" 와 "가장 큰 수까지 세어 올라가기" — 로 나눠 줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 일부러 피했습니다. 패턴 덕분에 어린 풀이자도 나눗셈과 작은 덧셈만으로 마무리할 수 있기 때문입니다.
실행 — 정답: B
6.SP.B.5 단계 1 - 연속 정수의 합을 쉽게 만들어 주는 패턴에 주목합니다.
- 어떤 연속 정수 목록이든 $\text{합} = (\text{개수}) \times (\text{평균})$ 이므로 $\text{평균} = \text{합} \div \text{개수}$ 입니다.
- 여섯 수의 합이 $2013$ 이므로 $6$ 으로 나눠 평균을 구합니다.
💡 합을 $6 \times \text{평균}$ 으로 보는 것은 평균을 자료의 "균형점" 으로 다루는 6학년 개념입니다.
5.NBT.B.7 단계 2 - 평균이 목록 안에서 어디에 위치하는지 찾습니다.
- 연속 정수가 짝수 개($6$ 개)일 때 평균은 가운데 두 수($3$ 번째와 $4$ 번째) 의 정확히 한가운데에 있습니다.
- 따라서 $335.5$ 라는 평균은 $3$ 번째 수가 $335$, $4$ 번째 수가 $336$ 임을 알려 줍니다.
💡 $.5$ 라는 소수가 두 정수의 한가운데를 가리킨다는 것은 5학년 소수의 "중간값" 읽기입니다.
3.OA.A.3 단계 3 - 목표를 작은 문제로 쪼갭니다.
- $3$ 번째 수를 알았으니, 가장 큰 수는 그저 세어 올라가면 됩니다.
- 가장 큰 수는 $6$ 번째 수이고, $3$ 번째 수에서 $3$ 칸 떨어져 있습니다.
💡 $3$ 번째 수에서 $3$ 을 더해 $6$ 번째 수에 이르는 것은 3학년 다단계 문장제 덧셈입니다.
3.OA.A.3 단계 4 가장 큰 수 $338$ 을 선택지와 맞춰서 마무리합니다.
💡 구한 값을 선택지 목록과 대조하는 마지막 작은 문제 한 조각은 3학년 다단계 문장제의 마무리 동작입니다.
6.SP.B.5 연속 정수의 합을 쉽게 만들어 주는 패턴에 주목합니다. 어떤 연속 정수 목록이든 $\text{합} = (\text{개수}) \times (\te 5.NBT.B.7 평균이 목록 안에서 어디에 위치하는지 찾습니다. 연속 정수가 짝수 개($6$ 개)일 때 평균은 가운데 두 수($3$ 번째와 $4$ 번째) 의 정 3.OA.A.3 목표를 작은 문제로 쪼갭니다. $3$ 번째 수를 알았으니, 가장 큰 수는 그저 세어 올라가면 됩니다. 가장 큰 수는 $6$ 번째 수이고, $3$ 3.OA.A.3 가장 큰 수 $338$ 을 선택지와 맞춰서 마무리합니다. 검토
합리성 확인: 여섯 수를 직접 써서 더해 봅니다 — $333 + 334 + 335 + 336 + 337 + 338$. 양 끝을 짝지어 보면 $333 + 338 = 671$, $334 + 337 = 671$, $335 + 336 = 671$. $671$ 짜리 짝이 세 쌍이므로 $3 \times 671 = 2013$ 으로 합이 정확히 맞고, 가장 큰 수는 $338$ — 답은 (B).
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅니다. 가장 큰 수가 $335$ (A) 라면 여섯 수는 $330$~$335$ 로 합이 $6 \times 332.5 = 1995$ — 너무 작음. 가장 큰 수가 $340$ (C) 이면 합은 $6 \times 337.5 = 2025$ — 너무 큼. 오직 (B) $338$ 만 $6 \times 335.5 = 2013$ 을 만듭니다. 도구 #3(가능성 지우기) 로 (B) 가 유일한 해임을 확인할 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.OA.A.3100 이내의 곱셈과 나눗셈을 이용한 문장제 해결 ($335 + 3 = 338$ 로 $6$ 번째 수를 구하고 그 값을 선택지와 비교해 마무리하는 단계는 3학년 다단계 자연수 추론.)5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 ($335.5$ 를 $335$ 와 $336$ 의 한가운데로 읽는 것은 5학년 소수 (소수점 첫째 자리) 유창성.)6.SP.B.5평균을 포함한 수치 자료의 요약 ($\text{합} = \text{개수} \times \text{평균}$ 을 써서 $\text{평균} = 2013 \div 6 = 335.5$ 를 구하는 것은 여섯 수 목록에 적용된 6학년 평균 개념.)
⭐ 연속된 여섯 수의 합은 평균의 $6$ 배 — 평균($2013 \div 6 = 335.5$) 만 찾으면, 가장 큰 수는 한가운데서 세 칸만 올라가면 돼요.
⭐ 연속된 여섯 수의 합은 평균의 $6$ 배 — 평균($2013 \div 6 = 335.5$) 만 찾으면, 가장 큰 수는 한가운데서 세 칸만 올라가면 돼요.
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