AMC 8 · 2013 · #18
쉬운 모드 학년 5문제
이사벨라는 한 변이 1피트인 정육면체 블록으로 직사각형 모양의 요새를 짓고 있어요. (블록 하나는 가로 1피트, 세로 1피트, 높이 1피트입니다.)
밖에서 본 요새의 크기는 가로 12피트, 세로 10피트, 높이 5피트예요.
요새에는 단단한 바닥과 단단한 네 개의 벽이 있습니다. 바닥은 두께가 1피트, 네 벽도 각각 두께가 1피트입니다. 요새 안쪽은 비어 있고, 천장은 없어서 위가 뚫려 있어요.
이 요새에 사용된 정육면체 블록은 모두 몇 개일까요?
그림
바깥 상자(12 × 10 × 5)와 점선으로 표시한 안쪽 빈 방; 벽과 바닥은 두께 1피트이고 위는 뚫려 있어요.
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AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이사벨라는 한 변이 $1$ 피트인 정육면체 블록을 쌓아, 바깥 치수가 가로 $12$ 피트, 세로 $10$ 피트, 높이 $5$ 피트인 직육면체 모양의 요새를 만들었습니다. 바닥과 네 면의 벽은 모두 두께가 $1$ 피트이고, 천장은 없이 위가 뚫려 있습니다. 사용한 블록의 총 개수는 몇 개일까요?
주어진 것: 바깥 치수: $12 \text{ ft} \times 10 \text{ ft} \times 5 \text{ ft}$; 블록 하나는 $1 \times 1 \times 1$ 피트 정육면체 (즉, 블록 $1$ 개 $= 1 \text{ ft}^3$); 바닥 두께 $1$ 피트, 네 면의 벽도 각각 두께 $1$ 피트; 천장은 없음 (위가 뚫려 있음); 선택지: (A) $204$, (B) $280$, (C) $320$, (D) $340$, (E) $600$
구하는 것: 요새를 만드는 데 사용된 $1$ 피트 정육면체 블록의 총 개수
이해
문제 재정리: 이사벨라는 한 변이 $1$ 피트인 정육면체 블록을 쌓아, 바깥 치수가 가로 $12$ 피트, 세로 $10$ 피트, 높이 $5$ 피트인 직육면체 모양의 요새를 만들었습니다. 바닥과 네 면의 벽은 모두 두께가 $1$ 피트이고, 천장은 없이 위가 뚫려 있습니다. 사용한 블록의 총 개수는 몇 개일까요?
주어진 것: 바깥 치수: $12 \text{ ft} \times 10 \text{ ft} \times 5 \text{ ft}$; 블록 하나는 $1 \times 1 \times 1$ 피트 정육면체 (즉, 블록 $1$ 개 $= 1 \text{ ft}^3$); 바닥 두께 $1$ 피트, 네 면의 벽도 각각 두께 $1$ 피트; 천장은 없음 (위가 뚫려 있음); 선택지: (A) $204$, (B) $280$, (C) $320$, (D) $340$, (E) $600$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #7 작은 문제로 쪼개기
벽을 면별로 하나씩 세려고 하면 모서리의 블록이 두 벽에 동시에 속하고, 바닥 블록과 벽 블록이 아래 모서리에서 겹쳐서 중복으로 세기 쉽습니다. 도구 #16(여집합 세기)으로 질문을 뒤집어 봅시다 — "채워진 블록은 몇 개?" 대신 "$12 \times 10 \times 5$ 전체 박스를 꽉 채우려면 몇 개?" 와 "안쪽 빈 방을 채우려면 몇 개?"를 구해서 빼면 됩니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 안쪽 방이 긴 변 양쪽에서 $1$ 피트씩, 짧은 변 양쪽에서 $1$ 피트씩, 그리고 바닥에서만 $1$ 피트(천장은 없음) 줄어든다는 점을 보는 데 필요합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 바깥 부피·안쪽 부피·뺄셈, 이 세 계산을 깔끔하게 나눠 줍니다.
실행 — 정답: B
5.MD.C.5 단계 1 - 요새가 속이 꽉 찬 직육면체라면 블록이 몇 개일지 셉니다.
- 블록 하나가 정확히 $1 \text{ ft}^3$ 를 채우므로, 꽉 찬 경우의 블록 수 $=$ 바깥 부피 $=$ 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이 입니다.
💡 직육면체를 단위 정육면체로 채우고 세 변의 길이를 곱해서 부피를 구하는 것은 5학년 "부피 $=$ 곱셈" 개념 그대로입니다.
5.MD.C.3 단계 2 - 안쪽 빈 방을 머릿속으로 그려 봅니다.
- 위에서 내려다보면 양옆 벽이 가로 길이를 $1$ 피트씩 깎아 내므로 $12 - 2 = 10$ 피트, 앞뒤 벽이 세로 길이를 $1$ 피트씩 깎아 내므로 $10 - 2 = 8$ 피트가 됩니다.
💡 평면도를 그려 벽 두께만큼 양쪽에서 $1$ 피트씩 잘라 내는 것은 단위 정육면체 배치를 머릿속에 그리는 5학년식 공간 추론입니다.
5.MD.C.3 단계 3 - 높이는 조심해야 합니다.
- 바닥은 $1$ 피트 두께이지만 천장이 없으므로, 안쪽 방은 위까지 그대로 뚫려 있습니다.
- 따라서 바닥 한 층만 빼서 $5 - 1 = 4$ 피트입니다.
💡 바닥에서만 $1$ 빼고 천장은 빼지 않는다는 비대칭을 알아채야 "속이 빈 상자" 류 문제에서 지나치게 빼는 실수를 막을 수 있습니다.
5.MD.C.5 단계 4 - 안쪽 빈 방에 블록이 몇 개나 들어가는지 — 즉 이사벨라가 "쓰지 않은" 블록 수 — 를 구합니다.
- 안쪽 세 변의 길이를 곱하면 됩니다.
💡 안쪽 방도 직육면체이므로 같은 "가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이" 규칙이 그대로 적용됩니다.
4.NBT.B.4 단계 5 - 도구 #16을 마무리합니다.
- 실제로 사용된 블록 수 $=$ 꽉 찬 경우의 블록 수 $-$ 빈 방의 블록 수.
💡 여집합(빈 공간)을 세서 빼는 것이, 모서리에서 겹치는 벽을 하나씩 세는 것보다 빠르고 안전합니다.
5.MD.C.5 요새가 속이 꽉 찬 직육면체라면 블록이 몇 개일지 셉니다. 블록 하나가 정확히 $1 \text{ ft}^3$ 를 채우므로, 꽉 찬 경우의 블록 5.MD.C.3 안쪽 빈 방을 머릿속으로 그려 봅니다. 위에서 내려다보면 양옆 벽이 가로 길이를 $1$ 피트씩 깎아 내므로 $12 - 2 = 10$ 피트, 앞뒤 5.MD.C.3 높이는 조심해야 합니다. 바닥은 $1$ 피트 두께이지만 천장이 없으므로, 안쪽 방은 위까지 그대로 뚫려 있습니다. 따라서 바닥 한 층만 빼서 $ 5.MD.C.5 안쪽 빈 방에 블록이 몇 개나 들어가는지 — 즉 이사벨라가 "쓰지 않은" 블록 수 — 를 구합니다. 안쪽 세 변의 길이를 곱하면 됩니다. 4.NBT.B.4 도구 #16을 마무리합니다. 실제로 사용된 블록 수 $=$ 꽉 찬 경우의 블록 수 $-$ 빈 방의 블록 수. 검토
합리성 확인: 꽉 찬 박스는 $600$ 개의 블록이고, 벽이 얇은 요새라면 그보다 훨씬 적게 써야 합니다. 안쪽 빈 방($10 \times 8 \times 4 = 320$)이 벽+바닥보다 더 크므로, 벽+바닥 블록 수는 $600$ 의 절반보다 작아야 합니다 — $280$ 은 절반보다 살짝 작아서 잘 맞습니다. 또 바닥 한 층이 $12 \times 10 = 120$ 개, 그 위의 네 층 벽이 한 층당 $40$ 개씩이라 대략 $120 + 160 = 280$ 정도라는 직관과도 일치합니다. 선택지 (C) $320$ 과 (E) $600$ 은 여집합 값(빈 방, 꽉 찬 박스) 그 자체로 흔한 함정 답이고, $600 - 320$ 과 정확히 같은 값은 오직 (B) $280$ 뿐입니다.
대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 만으로도 풀 수 있습니다. 층별로 셉니다. 맨 아래 한 층은 꽉 찬 바닥이므로 $12 \times 10 = 120$ 개. 그 위의 네 층은 속이 빈 액자 모양이라, 한 층당 바깥 $12 \times 10 = 120$ 에서 안쪽 $10 \times 8 = 80$ 을 뺀 $40$ 개의 벽 블록, 즉 $4 \times 40 = 160$ 개. 총합 $120 + 160 = 280$ 개로 같은 답 (B). 여집합 풀이가 맞다는 것을 중복 셈 없이 확인할 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (최종 단계의 뺄셈 $600 - 320 = 280$ 으로 블록 수를 구하는 데 사용.)5.MD.C.3부피를 입체도형의 속성으로 인식하고 부피 측정의 개념을 이해 ($1$ 피트 정육면체 블록 하나를 단위 부피로 보고, 요새와 안쪽 방을 단위 정육면체의 모음으로 시각화하는 데 사용.)5.MD.C.5부피를 곱셈과 덧셈의 연산으로 연결 (바깥 부피 $12 \times 10 \times 5 = 600$ 과 안쪽 방의 부피 $10 \times 8 \times 4 = 320$ 을 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이 로 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 "부피 $=$ 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이" 만 알면 풀 수 있어요 — 꽉 찬 박스에서 안쪽 빈 방을 빼면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 "부피 $=$ 가로 $\times$ 세로 $\times$ 높이" 만 알면 풀 수 있어요 — 꽉 찬 박스에서 안쪽 빈 방을 빼면 끝!
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