AMC 8 · 2013 · #3
쉬운 모드 학년 4문제
1부터 1000까지의 수를 한 줄로 쭉 늘어놓았다고 생각해봅시다.
이 수들을 일정한 규칙으로 더하고 뺄 거예요. 홀수(1,3,5,…,999)에는 모두 빼기 부호를 붙입니다. 짝수(2,4,6,…,1000)에는 모두 더하기 부호를 붙입니다.
그래서 괄호 안의 식은 이렇게 생겼습니다:
−1+2−3+4−5+6−7+⋯+1000
그리고 이 합 전체에 4를 곱합니다.
4⋅(−1+2−3+4−5+6−7+⋯+1000)의 값은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + \cdots + 1000)$ 의 값을 구하세요. 괄호 안의 부호는 $1$ 부터 $1000$ 까지 $-, +, -, +, \ldots$ 로 번갈아 나타납니다.
주어진 것: 교대합 $S = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \cdots - 999 + 1000$; 홀수($1, 3, 5, \ldots, 999$) 는 모두 빼고, 짝수($2, 4, 6, \ldots, 1000$) 는 모두 더함; 전체 합 $S$ 에 $4$ 가 곱해져 있음; 선택지: (A) $-10$, (B) $0$, (C) $1$, (D) $500$, (E) $2000$
구하는 것: $4 \cdot S$ 의 값
이해
문제 재정리: $4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + \cdots + 1000)$ 의 값을 구하세요. 괄호 안의 부호는 $1$ 부터 $1000$ 까지 $-, +, -, +, \ldots$ 로 번갈아 나타납니다.
주어진 것: 교대합 $S = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \cdots - 999 + 1000$; 홀수($1, 3, 5, \ldots, 999$) 는 모두 빼고, 짝수($2, 4, 6, \ldots, 1000$) 는 모두 더함; 전체 합 $S$ 에 $4$ 가 곱해져 있음; 선택지: (A) $-10$, (B) $0$, (C) $1$, (D) $500$, (E) $2000$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
$1000$ 개 항을 하나씩 더해 가는 건 불가능합니다 — 구조를 봐야 합니다. 부호가 $-, +, -, +, \ldots$ 로 두 칸씩 깔끔하게 반복되니, 도구 #5(패턴 찾기) 가 딱 맞습니다. 즉, 두 항씩 묶으면 같은 값이 반복될 가능성이 큽니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 그 아이디어를 구체화 — $S$ 를 $500$ 개의 작은 부분 문제(각각 "음의 홀수 $+$ 다음 짝수" 쌍)로 나누고, 하나만 풀어서 나머지에 그대로 재사용합니다. $S$ 가 정해지면 마지막 $4 \cdot S$ 는 한 줄짜리 곱셈입니다.
실행 — 정답: E
4.OA.A.3 단계 1 - 괄호 안의 $1000$ 개 항을 두 개씩 연속 쌍으로 묶습니다.
- 부호가 $-, +$ 로 반복되므로 각 쌍은 (음의 홀수) $+$ (다음 짝수) 모양이 됩니다.
💡 거대한 합 하나를 두 수씩의 작은 합 여러 개로 쪼개는 건 도구 #7 의 전형적인 동작이고, 부호 패턴이 쌍과 정확히 맞아떨어져서 가능합니다.
4.OA.C.5 단계 2 - 처음 몇 쌍을 직접 계산해 각 부분 문제의 값을 확인합니다.
- 모든 쌍은 $-(2k-1) + 2k = 1$ 모양입니다.
💡 몇 개를 계산해 같은 값이 반복되는 걸 확인하는 건 4학년 "패턴을 만들고 분석하기" 그 자체입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 쌍의 개수를 셉니다.
- 항이 $1000$ 개고 한 쌍이 $2$ 개씩 쓰니, 쌍의 수(즉 $1$ 이 더해지는 횟수) 는 $1000 \div 2 = 500$ 입니다.
💡 반복되는 덩어리가 전체에 몇 번 들어가는지 세는 게 패턴 추론의 나머지 절반입니다.
4.NBT.B.5 단계 4 $1$ 을 $500$ 번 더해 $S$ 를 구하고, 괄호 밖의 $4$ 를 마지막에 곱합니다.
💡 패턴 덕분에 합이 $500$ 으로 정리되고 나면, 남은 일은 4학년 수준의 여러 자릿수 곱셈 한 번뿐입니다.
4.OA.A.3 괄호 안의 $1000$ 개 항을 두 개씩 연속 쌍으로 묶습니다. 부호가 $-, +$ 로 반복되므로 각 쌍은 (음의 홀수) $+$ (다음 짝수) 4.OA.C.5 처음 몇 쌍을 직접 계산해 각 부분 문제의 값을 확인합니다. 모든 쌍은 $-(2k-1) + 2k = 1$ 모양입니다. 4.OA.A.3 쌍의 개수를 셉니다. 항이 $1000$ 개고 한 쌍이 $2$ 개씩 쓰니, 쌍의 수(즉 $1$ 이 더해지는 횟수) 는 $1000 \div 2 = 4.NBT.B.5 $1$ 을 $500$ 번 더해 $S$ 를 구하고, 괄호 밖의 $4$ 를 마지막에 곱합니다. 검토
합리성 확인: 확인: $1000$ 개 항이 $500$ 개의 쌍으로 나뉘고 각 쌍이 $+1$ 이므로 $S = 500$, 거기에 $4$ 를 곱하면 $2000$ — 선택지 (E) 와 일치합니다. 모든 쌍이 양수였으니 답이 양수인 점도 자연스럽고, $500$ 개 쌍의 합을 $4$ 배로 키운 값이라 답이 선택지 중 가장 큰 $2000$ 이 되는 것도 합당합니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 항을 짝수와 홀수로 나눠 따로 더해 봅니다. 짝수의 합 $2 + 4 + \cdots + 1000 = 2(1 + 2 + \cdots + 500) = 2 \cdot \tfrac{500 \cdot 501}{2} = 250{,}500$, 홀수의 합 $1 + 3 + 5 + \cdots + 999 = 500^2 = 250{,}000$. 따라서 $S = (\text{짝수 합}) - (\text{홀수 합}) = 250{,}500 - 250{,}000 = 500$, $4 \cdot 500 = 2000$ — 똑같이 (E) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3사칙연산을 사용한 자연수 다단계 문장제 해결 ($1000$ 개 항짜리 식을 $500$ 개의 쌍 부분 문제로 쪼개고 그 쌍 개수를 ($1000 \div 2 = 500$) 세는, 정확히 이 표준이 말하는 다단계 자연수 추론.)4.OA.C.5패턴을 만들고 분석하기 (연속된 쌍 $(-1+2), (-3+4), (-5+6), \ldots$ 가 모두 같은 값 $1$ 임을 알아채고 사용 — 즉 반복되는 수치 패턴 인식·활용.)4.NBT.B.5최대 네 자릿수 자연수와 한 자릿수 자연수의 곱셈 ($500 \times 1 = 500$ ($1$ 을 $500$ 개 더한 값) 과 마지막의 $4 \times 500 = 2000$ 계산에 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 "패턴 찾기" 만으로 풀려요 — 두 개씩 묶어서 각 쌍이 $1$ 인 걸 알아내고, 마지막에 곱하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 "패턴 찾기" 만으로 풀려요 — 두 개씩 묶어서 각 쌍이 $1$ 인 걸 알아내고, 마지막에 곱하면 끝!
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