AMC 8 · 2013 · #6

쉬운 모드 학년 4

문제

세 줄로 쌓인 상자 피라미드를 떠올려봅시다. 각 상자에는 숫자가 하나씩 들어가요.

규칙은 이래요. 맨 위 줄을 뺀 모든 상자에 들어가는 숫자는, 그 상자 바로 위에 닿은 두 상자 숫자의 곱입니다. 예를 들어, $30$ 이 들어있는 상자는 위쪽으로 $6$ 과 $5$ 에 닿아 있고, $6 \times 5 = 30$ 이에요.

대부분의 숫자는 이미 채워져 있어요. 맨 위 줄의 왼쪽 상자는 $6$ , 가운데는 $5$ , 오른쪽은 비어 있습니다. 가운데 줄의 왼쪽 상자는 $30$ 이에요. 맨 아래 상자는 $600$ 입니다.

맨 위 줄 오른쪽의 빈 상자에는 어떤 숫자가 들어갈까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 줄짜리 상자 피라미드에서 "각 상자는 그 위에서 닿는 두 상자의 곱" 이라는 규칙이 주어집니다. 맨 위 줄은 $6, 5, ?$, 가운데 줄은 $30, ?$, 맨 아래 줄은 $600$ 입니다. 맨 위 줄의 빠진 숫자를 구하세요.

주어진 것: 맨 위 줄 왼쪽부터: $6, 5, y$ ($y$ 가 구해야 할 값); 가운데 줄 왼쪽부터: $30, x$ ($x$ 는 가운데 줄의 비어 있는 다른 상자); 맨 아래 줄: $600$; 피라미드 규칙: 각 상자 $= $ 위에서 닿는 두 상자의 곱; 예시로 주어진 식: $30 = 6 \times 5$; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 맨 위 줄의 빠진 수 $y$ (오른쪽 끝 상자)

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

규칙은 위에서 아래로 곱셈을 통해 정보가 흘러갑니다(맨 위 $\to$ 가운데 $\to$ 맨 아래). 우리는 맨 아래 값 $600$ 과 가운데 한 값 $30$ 을 알고 있으므로, 가장 곧장 가는 길은 도구 #11(거꾸로 풀기) 입니다 — 곱셈을 나눗셈으로 되돌리면서 아래에서 위로 한 칸씩 올라갑니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 그 등반을 두 개의 독립된 한-단계 소문제로 나눠 줍니다: 먼저 $600 \div 30$ 으로 가운데 빈 상자를 복원하고, 그다음 그 결과를 $\div 5$ 해서 맨 위 빈 상자를 복원합니다. 미지수를 세울 필요 없이, 두 번의 나눗셈만 순서대로 하면 됩니다.

실행 — 정답: C

#11 거꾸로 풀기 3.OA.B.6 단계 1

소문제 1 — 맨 아래 줄에서 가운데 줄로 올라갑니다.
맨 아래 상자 $600$ 은 가운데 두 상자 $30$ 과 $x$ (가운데 빈 상자) 의 곱입니다.
거꾸로 풀어 곱셈을 나눗셈으로 되돌립니다: $x = 600 \div 30$.

$$30 \times x = 600 \;\Longrightarrow\; x = 600 \div 30 = 20$$

💡 "$30$ 곱하기 얼마가 $600$ 일까?" 라고 묻는 것은 3학년의 "나눗셈 = 모르는 인수 찾기" 관점 그대로입니다 — 나눗셈은 곱셈의 역연산이라는 사실의 직접 적용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.B.6 단계 2

소문제 2 — 가운데 줄에서 맨 위 줄로 올라갑니다.
방금 구한 가운데 값 $x = 20$ 은 위에서 닿는 두 상자 $5$ (이미 아는 값) 과 $y$ (우리가 구할 답) 의 곱입니다.
다시 곱셈을 거꾸로 풀어 나눗셈으로 바꿉니다: $y = 20 \div 5$.

$$5 \times y = 20 \;\Longrightarrow\; y = 20 \div 5 = 4$$

💡 피라미드를 두 개의 한-단계 "곱셈 되돌리기" 조각으로 나누는 것이 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작이고, 각 조각은 다시 3학년 "모르는 인수 찾기" 나눗셈입니다.

#11 거꾸로 풀기 4.OA.A.3 단계 3

답을 읽어 냅니다.
맨 위 줄의 빠진 수는 $y = 4$ 이고, 이는 선택지 (C) 에 해당합니다.

$$y = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 번의 "곱셈 되돌리기" 를 순서대로 이어 붙여 문제를 푸는 것은 4학년의 "여러 단계 문장제 해결" 기대 수준입니다.

[1] #11 3.OA.B.6 소문제 1 — 맨 아래 줄에서 가운데 줄로 올라갑니다. 맨 아래 상자 $600$ 은 가운데 두 상자 $30$ 과 $x$ (가운데 빈 상자) 의

[2] #7 3.OA.B.6 소문제 2 — 가운데 줄에서 맨 위 줄로 올라갑니다. 방금 구한 가운데 값 $x = 20$ 은 위에서 닿는 두 상자 $5$ (이미 아는 값) 과

[3] #11 4.OA.A.3 답을 읽어 냅니다. 맨 위 줄의 빠진 수는 $y = 4$ 이고, 이는 선택지 (C) 에 해당합니다.

검토

합리성 확인: 우리가 구한 값으로 피라미드를 위에서 아래로 다시 만들어 모든 상자를 확인합니다. 맨 위 줄: $6, 5, 4$. 가운데 줄: $6 \times 5 = 30$ (주어진 값과 일치) 과 $5 \times 4 = 20$. 맨 아래 줄: $30 \times 20 = 600$ (주어진 값과 일치). 모든 규칙이 만족되므로 $y = 4$ 는 일관적입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 다섯 선택지를 직접 대입해 봅니다. 후보 $y$ 마다 오른쪽 가운데 상자는 $5 \times y$, 맨 아래 상자는 $30 \times (5 \times y) = 150 y$ 가 됩니다. $150 y = 600$ 을 만들어 주는 값은 $y = 4$ 뿐: $y=2 \to 300$, $y=3 \to 450$, $y=4 \to 600$ ✓, $y=5 \to 750$, $y=6 \to 900$. (C) 만 정답입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.B.6 나눗셈을 모르는 인수를 찾는 문제로 이해하기 (곱셈을 한 단계씩 되돌리는 데 사용: "$30 \times \;? = 600$" 에서 $? = 600 \div 30 = 20$, "$5 \times \;? = 20$" 에서 $? = 20 \div 5 = 4$.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용한 여러 단계 문장제 해결 (두 개의 곱셈-되돌리기 소문제를 올바른 순서(아래 $\to$ 가운데, 그다음 가운데 $\to$ 위) 로 이어 붙여 최종 답에 도달.)

⭐ 피라미드는 위에서 곱해서 내려왔으니, 답을 구할 땐 나누면서 거꾸로 올라가면 돼요 — 결국 3학년 때 배운 "$30$ 곱하기 얼마가 $600$?" 와 똑같은 생각입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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