AMC 8 · 2013 · #8
쉬운 모드 학년 7문제
공정한 동전을 3번 연속해서 던지고, 결과를 H(앞면)와 T(뒷면)로 적는다고 생각해봅시다. 그러면 HTH나 HHT 같은 세 글자의 결과가 나옵니다.
우리는 그 세 글자 안에 H가 두 번 바로 붙어서 나올 확률을 구하려고 해요. "TTH"는 해당되지 않아요 (H 두 개가 나란히 있지 않음). "HHT"는 해당돼요 (앞의 두 글자가 모두 H).
세 번의 결과 안에 H가 두 번 연속으로 나올 확률은 얼마일까요?
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AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 공정한 동전을 연속으로 $3$ 번 던집니다. $3$ 번 던지는 동안 어딘가에서 앞면이 두 번 연달아 나올(즉, 결과 수열 안에 "$HH$" 가 포함될) 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 동전은 공정하므로 각 던지기는 독립적으로 $H$ 또는 $T$ 가 확률 $\tfrac{1}{2}$ 로 나옵니다; 동전을 정확히 $3$ 번 던지므로, 각 결과는 $H$ 와 $T$ 로 이루어진 길이 $3$ 의 순서 있는 문자열입니다; "앞면 두 번 연속" 은 수열 안에 부분 문자열 $HH$ 가 들어있다는 뜻입니다 ($HHH, HHT, THH$ 모두 해당); 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{3}{8}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
구하는 것: $3$ 번 던진 결과 수열에 앞면 두 개가 이웃한 위치에 나타날 확률
이해
문제 재정리: 공정한 동전을 연속으로 $3$ 번 던집니다. $3$ 번 던지는 동안 어딘가에서 앞면이 두 번 연달아 나올(즉, 결과 수열 안에 "$HH$" 가 포함될) 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 동전은 공정하므로 각 던지기는 독립적으로 $H$ 또는 $T$ 가 확률 $\tfrac{1}{2}$ 로 나옵니다; 동전을 정확히 $3$ 번 던지므로, 각 결과는 $H$ 와 $T$ 로 이루어진 길이 $3$ 의 순서 있는 문자열입니다; "앞면 두 번 연속" 은 수열 안에 부분 문자열 $HH$ 가 들어있다는 뜻입니다 ($HHH, HHT, THH$ 모두 해당); 선택지: (A) $\tfrac{1}{8}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{3}{8}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{3}{4}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건 세기
결과가 $2^3 = 8$ 가지밖에 안 되므로 표본 공간 전체를 한 줄에 적을 수 있습니다 — 가장 깔끔한 길은 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 입니다. 정해진 순서로 $3$ 번 던진 결과를 모두 적은 뒤 $HH$ 가 들어있는 것에만 표시하면 끝납니다. 도구 #16(여사건 세기) 은 검토 단계에서 교차 확인용으로 남겨 둡니다 — $HH$ 가 들어있지 "않은" 결과의 수를 세는 것도 짧고, 두 개수의 합이 정확히 $8$ 이 되는지로 검증할 수 있습니다.
실행 — 정답: C
7.SP.C.8 단계 1 - 같은 확률을 가지는 전체 결과의 수를 구합니다.
- $3$ 번 던지는 각 시행이 $2$ 가지 결과를 가지고 시행이 서로 독립이므로 표본 공간의 크기는 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 가지입니다.
💡 복합 사건의 균등한 표본 공간을 세우는 것은 7학년 "복합 사건을 위한 조직적인 목록" 의 기본 동작입니다.
7.SP.C.8 단계 2 - 모든 결과를 정해진 순서로 적어, 빠뜨리거나 중복 세지 않도록 합니다.
- 간단한 규칙: 각 수열을 $T = 0$, $H = 1$ 인 $3$ 자리 이진수로 보고 $000$ 부터 $111$ 까지 순서대로 적습니다.
💡 도구 #2 의 핵심 규칙: 순서를 정한 뒤 그 순서를 지키는 것. $000$ 부터 $111$ 까지 세면 $8$ 가지 수열이 정확히 한 번씩 등장합니다.
7.SP.C.7 단계 3 - 각 결과를 보면서 $HH$ 가 들어있으면 "해당", 아니면 "비해당" 으로 표시합니다.
- 즉, 각 문자열에서 이웃한 $H$ 두 개가 있는지 살펴봅니다.
💡 각 결과를 조건에 맞춰 분류하는 것은 7학년 "확률 모형 만들기" 와 같습니다 — 모든 결과에 yes/no 라벨을 붙이는 작업입니다.
7.SP.C.7 단계 4 - 해당 결과의 개수를 세서 확률을 구합니다.
- 해당 결과는 $THH, HHT, HHH$ 의 $3$ 가지이고, 전체는 $8$ 가지입니다.
💡 균등한 표본 공간에서 확률은 (해당 수) / (전체 수) — 7학년 확률의 기본 공식입니다.
7.SP.C.8 같은 확률을 가지는 전체 결과의 수를 구합니다. $3$ 번 던지는 각 시행이 $2$ 가지 결과를 가지고 시행이 서로 독립이므로 표본 공간의 크기 7.SP.C.8 모든 결과를 정해진 순서로 적어, 빠뜨리거나 중복 세지 않도록 합니다. 간단한 규칙: 각 수열을 $T = 0$, $H = 1$ 인 $3$ 자리 7.SP.C.7 각 결과를 보면서 $HH$ 가 들어있으면 "해당", 아니면 "비해당" 으로 표시합니다. 즉, 각 문자열에서 이웃한 $H$ 두 개가 있는지 살펴봅 7.SP.C.7 해당 결과의 개수를 세서 확률을 구합니다. 해당 결과는 $THH, HHT, HHH$ 의 $3$ 가지이고, 전체는 $8$ 가지입니다. 검토
합리성 확인: $\tfrac{3}{8}$ 은 $\tfrac{1}{4}$ 과 $\tfrac{1}{2}$ 사이의 값이라 직관적으로 자연스럽습니다 — 정확히 $HHH$ 가 나올 확률($\tfrac{1}{8}$) 보다는 크고, "앞면이 총 $2$ 개 이상" 인 사건(연속이 아니어도 되는 경우, $HTH$ 도 포함되어 $\tfrac{1}{2}$) 보다는 작아야 하기 때문입니다. 또한 $8$ 가지 결과 중 절반($4$ 가지) 은 $H$ 가 최대 하나뿐이라 $HH$ 가 들어갈 수 없어, 답이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작은 것도 맞습니다.
대안 접근: 도구 #16(여사건 세기) 으로 교차 검증해 봅시다. $HH$ 가 "들어있지 않은" 결과는 $H$ 들 사이에 적어도 하나의 $T$ 가 들어간 수열들입니다 — $TTT, TTH, THT, HTT, HTH$ 의 $5$ 가지. 따라서 $P(HH \text{ 없음}) = \tfrac{5}{8}$ 이고, $P(\text{적어도 한 번 } HH) = 1 - \tfrac{5}{8} = \tfrac{3}{8}$ 으로 (C) 가 다시 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.8조직적 목록, 표, 수형도, 시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($3$ 번의 동전 던지기에 대한 $8$ 가지 표본 공간 전체를 만들고, 모든 수열을 정해진 순서로 나열해 해당 결과를 추려내는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모형을 만들어 사건의 확률 구하기 ($8$ 가지 순서 있는 결과를 모두 같은 확률로 간주하고, 사건의 확률을 $\tfrac{\text{해당 수}}{\text{전체 수}} = \tfrac{3}{8}$ 로 계산하는 데 사용.)
⭐ 표본 공간이 작을 때는 모든 결과를 차근차근 나열하면 끝 — 7학년 확률은 결국 꼼꼼한 세기 작업이에요!
⭐ 표본 공간이 작을 때는 모든 결과를 차근차근 나열하면 끝 — 7학년 확률은 결국 꼼꼼한 세기 작업이에요!
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