AMC 8 · 2014 · #12
쉬운 모드 학년 7문제
한 잡지가 어른이 된 유명인 3명의 사진을 실었습니다.
그 옆에는 같은 3명의 아기 시절 사진 3장을 실었어요. 그런데 아기 사진에는 누구인지 적혀 있지 않아서, 어느 아기가 누구로 자랐는지 알 수 없습니다.
독자는 각 유명인을 자기 아기 사진과 짝지어야 합니다. 어떤 독자가 그냥 아무거나 골라서 짝지었다고 생각해봅시다.
이 독자가 3쌍을 모두 정답으로 맞힐 확률은 얼마일까요?
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 잡지에 연예인 $3$ 명의 사진과, 누구의 것인지 표시되지 않은 아기 시절 사진 $3$ 장이 실려 있습니다. 독자가 아무 정보 없이 추측만으로 각 연예인을 아기 사진 한 장과 짝짓는다면, 세 쌍을 모두 정확히 맞힐 확률은 얼마인가요?
주어진 것: 연예인 $3$ 명, 아기 사진 $3$ 장 — 각 사진은 정확히 한 연예인의 것임; 독자는 아무 정보 없이 무작위로 짝지음 (모든 짝짓기 경우가 똑같이 일어남); 선택지: (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
구하는 것: 무작위 추측으로 세 쌍을 모두 정확히 맞힐 확률
이해
문제 재정리: 잡지에 연예인 $3$ 명의 사진과, 누구의 것인지 표시되지 않은 아기 시절 사진 $3$ 장이 실려 있습니다. 독자가 아무 정보 없이 추측만으로 각 연예인을 아기 사진 한 장과 짝짓는다면, 세 쌍을 모두 정확히 맞힐 확률은 얼마인가요?
주어진 것: 연예인 $3$ 명, 아기 사진 $3$ 장 — 각 사진은 정확히 한 연예인의 것임; 독자는 아무 정보 없이 무작위로 짝지음 (모든 짝짓기 경우가 똑같이 일어남); 선택지: (A) $\tfrac{1}{9}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{2}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
가능한 짝짓기 수가 많지 않으므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모든 경우를 순서대로 적고 그냥 세면 됩니다. 세는 방법이 맞는지 확인하기 위해 먼저 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 연예인이 $2$ 명인 경우 — 손으로 다 적을 수 있을 만큼 작은 경우 — 를 풀어 보면, 짝짓기는 $2 \times 1 = 2$ 가지로 나옴이 확인됩니다. 같은 원리로 $3$ 명일 때는 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지가 되고, 그 중 모두 정답인 경우는 정확히 $1$ 가지이므로 확률은 $\tfrac{1}{6}$ 입니다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 - 먼저 더 쉬운 $2$ 명 짜리로 몸을 풉니다.
- 연예인을 $1, 2$, 정답 아기 사진을 $A, B$ 라 하면 ($1 \leftrightarrow A$, $2 \leftrightarrow B$ 가 정답입니다) 가능한 짝짓기는 $(1\!\to\!A,\, 2\!\to\!B)$ 와 $(1\!\to\!B,\, 2\!\to\!A)$ 의 $2$ 가지뿐 — $2 \times 1 = 2$ 와 일치합니다.
💡 작은 경우를 먼저 시도해 보면 "선택지 수를 곱한 값" 과 "실제로 적은 개수" 가 같다는 사실이 눈으로 확인됩니다.
7.SP.C.8 단계 2 - 이제 연예인 $1, 2, 3$ 과 정답 아기 사진 $A, B, C$ 에 대해 가능한 모든 짝짓기를 적습니다.
- 연예인 $1$ 이 받은 사진 → 연예인 $2$ 가 받은 사진 순서로 정렬하면 $ABC,\ ACB,\ BAC,\ BCA,\ CAB,\ CBA$ — 모두 $6$ 가지, 정확히 $3 \times 2 \times 1$ 입니다.
💡 정해진 순서대로 적으면 같은 경우를 두 번 적거나 빠뜨릴 일이 없습니다.
7.SP.C.8 단계 3 - 이 중 모두 정답인 짝짓기를 셉니다.
- 첫 번째 항목 $ABC$ 만이 모든 연예인을 자기 자신의 아기 사진과 정확히 맞춥니다.
- 다른 짝짓기는 적어도 한 쌍은 어긋나므로 "모두 정답" 이 될 수 없습니다.
💡 "전부 다 맞는" 방법은 단 하나뿐이지만, "일부만 맞는" 방법은 여러 가지입니다.
7.SP.C.7 단계 4 - 독자가 무작위로 추측하므로 $6$ 가지 짝짓기 모두 똑같이 일어납니다.
- 기본 확률 규칙 — 확률 $=\dfrac{\text{모두 정답인 경우}}{\text{전체 경우}}$ — 을 적용합니다.
💡 모든 경우가 똑같이 일어나면 확률은 "좋은 경우 ÷ 전체 경우" 일 뿐입니다.
4.OA.A.3 먼저 더 쉬운 $2$ 명 짜리로 몸을 풉니다. 연예인을 $1, 2$, 정답 아기 사진을 $A, B$ 라 하면 ($1 \leftrightarrow 7.SP.C.8 이제 연예인 $1, 2, 3$ 과 정답 아기 사진 $A, B, C$ 에 대해 가능한 모든 짝짓기를 적습니다. 연예인 $1$ 이 받은 사진 → 연 7.SP.C.8 이 중 모두 정답인 짝짓기를 셉니다. 첫 번째 항목 $ABC$ 만이 모든 연예인을 자기 자신의 아기 사진과 정확히 맞춥니다. 다른 짝짓기는 적어 7.SP.C.7 독자가 무작위로 추측하므로 $6$ 가지 짝짓기 모두 똑같이 일어납니다. 기본 확률 규칙 — 확률 $=\dfrac{\text{모두 정답인 경우}} 검토
합리성 확인: $\tfrac{1}{6} \approx 16.7\%$ 라는 값은 감각적으로 그럴듯합니다. 정보 없이 세 번을 연속으로 다 맞춰야 하니까요. $\tfrac{1}{2}$ (동전 던지기) 보다는 훨씬 작고, $\tfrac{1}{9}$ 보다는 큰데 — 만약 세 번의 추측이 서로 독립이라면 $\tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{27}$ 이 되어야 하지만, 실제로는 독립이 아닙니다. 연예인 $1$ 의 사진이 결정되면 연예인 $2$ 가 고를 사진은 $2$ 장뿐, 그 다음엔 $1$ 장뿐이라 짝짓기 수는 $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ 으로 줄어듭니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 대입해 봅니다. 만약 세 번의 추측이 독립이라면 $\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{27}$ 이 나오는데, 선택지에 없으므로 독립 모델은 틀렸음을 알 수 있습니다. 사진이 한 번 쓰이면 다시 쓰이지 않는 "비복원" 모델로 계산하면 $\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{1} = \tfrac{1}{6}$ — 정확히 (B). 나머지 선택지 $\tfrac{1}{9}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}$ 는 모두 $3! = 6$ 이라는 분모와 맞지 않습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (더 쉬운 $2$ 명 짜리 사례에서 "선택지 수를 곱하기" ($2 \times 1 = 2$) 의 결과가 손으로 적은 짝짓기 수와 같음을 확인.)7.SP.C.8정리된 목록·표·나무 그림으로 복합 사건의 확률 구하기 (연예인-아기사진 짝짓기 $6$ 가지를 순서대로 모두 나열하여 전체 경우($6$) 와 모두 정답인 경우($1$) 를 세는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률 구하기 (모든 짝짓기가 똑같이 일어난다는 균등 확률 모형에 따라 $P = \tfrac{\text{모두 정답}}{\text{전체}} = \tfrac{1}{6}$ 을 계산하는 데 사용.)
⭐ 연예인 $3$ 명과 아기 사진 $3$ 장의 모든 짝짓기 $6$ 가지를 적어 보면, 모두 정답인 경우는 $1$ 가지뿐 — 그래서 확률은 $\tfrac{1}{6}$ 이에요!
⭐ 연예인 $3$ 명과 아기 사진 $3$ 장의 모든 짝짓기 $6$ 가지를 적어 보면, 모두 정답인 경우는 $1$ 가지뿐 — 그래서 확률은 $\tfrac{1}{6}$ 이에요!
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