AMC 8 · 2015 · #13
쉬운 모드 학년 7문제
수의 집합 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}에서 시작해봅시다.
이 중에서 아무 두 개의 수를 골라 빼내요. 그러면 9개의 수가 남습니다. 남은 9개의 평균을 구해봐요.
우리는 그 평균이 정확히 6이 되기를 원합니다.
남은 수들의 평균이 6이 되도록 두 수를 골라 빼내는 방법은 모두 몇 가지일까요?
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 집합 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ 에서 원소 두 개로 이루어진 부분집합 $\{a, b\}$ 를 하나 빼냅니다. 남은 $9$ 개 수의 평균이 $6$ 이 되도록 하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?
주어진 것: 원래 집합 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ (연속된 $11$ 개의 정수); 정확히 서로 다른 원소 $2$ 개를 제거; 남은 $9$ 개 수의 평균이 $6$ 이 되어야 함; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $6$
구하는 것: 제거할 수 있는 두 원소짜리 부분집합의 개수
이해
문제 재정리: 집합 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ 에서 원소 두 개로 이루어진 부분집합 $\{a, b\}$ 를 하나 빼냅니다. 남은 $9$ 개 수의 평균이 $6$ 이 되도록 하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?
주어진 것: 원래 집합 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ (연속된 $11$ 개의 정수); 정확히 서로 다른 원소 $2$ 개를 제거; 남은 $9$ 개 수의 평균이 $6$ 이 되어야 함; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $5$, (E) $6$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #13 거꾸로 풀어보기, #6 체계적인 목록 만들기
모든 쌍을 일일이 시험할 필요는 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 단계 — (1) $S$ 의 합, (2) 남길 $9$ 개 수의 합, (3) 제거할 두 수의 합 — 로 나눕니다. 도구 #13(거꾸로 풀어보기)이 3단계의 엔진입니다: 목표 평균을 알면 남아야 할 합이 정해지고, 그것이 제거할 두 수의 합을 강제합니다. 마지막으로 도구 #6(체계적인 목록 만들기)으로, $S$ 안에서 그 합이 되는 서로 다른 두 원소의 쌍을 모두 나열하면 됩니다.
실행 — 정답: D
4.OA.B.4 단계 1 - 원래 집합의 합을 구합니다.
- 연속된 정수 $1, 2, \dots, 11$ 의 합은 등차수열 공식 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 에 $n = 11$ 을 넣어 계산합니다.
💡 $1+11, 2+10, \dots, 5+7$ 의 다섯 쌍이 각각 $12$ 이고 가운데 $6$ 이 남으므로 $5 \cdot 12 + 6 = 66$ — 4학년 수의 규칙성 그대로입니다.
6.SP.B.5 단계 2 - 남길 $9$ 개 수의 합을 구합니다.
- 평균은 합을 개수로 나눈 값이므로, 합은 평균 곱하기 개수입니다.
💡 "수 $9$ 개의 평균이 $6$" 으로부터 합을 거꾸로 구하는 것은 6학년 통계의 평균 정의 그대로입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 전체 합에서 남길 합을 빼서 제거할 두 수의 합을 구합니다.
- 빠져나가는 양은 정확히 그 차이여야 합니다.
💡 전체 = 남긴 부분 $+$ 제거된 부분 이므로, 제거된 부분 $= $ 전체 $-$ 남긴 부분. 4학년 한 단계 뺄셈 문장제입니다.
5.OA.B.3 단계 4 $S$ 의 서로 다른 두 원소 $\{a, b\}$ 중 $a + b = 12$ 인 쌍을 $a$ 를 $1$ 부터 올리며 모두 나열합니다.
💡 $a = 1, 2, 3, \dots$ 으로 늘리며 $b = 12 - a$ 를 읽어 내려가는 것은 5학년 "두 가지 규칙으로 수열 만들기" 그대로입니다.
7.SP.C.8 단계 5 - "서로 다른 원소" 규칙을 어기는 쌍은 제외하고 남은 쌍을 세어봅니다.
- $6 + 6 = 12$ 는 $6$ 을 두 번 써야 하므로 부분집합으로 쓸 수 없습니다.
- $a \geq 7$ 이면 $b = 12 - a \leq 5 < a$ 가 되어 앞에서 이미 센 쌍을 반복하므로 빼고요.
💡 조건을 만족하는 "서로 다른 두 원소의 순서 없는 쌍" 을 세는 것은 7학년 복합사건·표본공간 사고와 같습니다.
4.OA.B.4 원래 집합의 합을 구합니다. 연속된 정수 $1, 2, \dots, 11$ 의 합은 등차수열 공식 $\tfrac{n(n+1)}{2}$ 에 $n = 6.SP.B.5 남길 $9$ 개 수의 합을 구합니다. 평균은 합을 개수로 나눈 값이므로, 합은 평균 곱하기 개수입니다. 4.OA.A.3 전체 합에서 남길 합을 빼서 제거할 두 수의 합을 구합니다. 빠져나가는 양은 정확히 그 차이여야 합니다. 5.OA.B.3 $S$ 의 서로 다른 두 원소 $\{a, b\}$ 중 $a + b = 12$ 인 쌍을 $a$ 를 $1$ 부터 올리며 모두 나열합니다. 7.SP.C.8 "서로 다른 원소" 규칙을 어기는 쌍은 제외하고 남은 쌍을 세어봅니다. $6 + 6 = 12$ 는 $6$ 을 두 번 써야 하므로 부분집합으로 쓸 검토
합리성 확인: $S$ 는 가운데 값 $6$ 을 중심으로 대칭이고, 남길 평균($6$) 도 정확히 그 가운데 값입니다. 따라서 제거하는 두 수의 평균도 $6$ 이어야 하고, 즉 합이 $12$ 가 되어야 합니다. $\{1,11\}, \{2,10\}, \{3,9\}, \{4,8\}, \{5,7\}$ 은 정확히 $6$ 을 중심으로 대칭인 다섯 쌍이고, $\{6, 6\}$ 은 부분집합 조건 때문에 올바르게 제외됩니다. 답 (D) $= 5$ 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #11(대칭성 찾기): 집합 $\{1, \dots, 11\}$ 은 $6$ 을 기준으로 대칭이라 평균이 $6$ 입니다. $6$ 을 중심으로 대칭인 쌍, 즉 $\{6-k,\ 6+k\}$ ($k = 1, 2, 3, 4, 5$) 형태의 쌍을 빼면 평균이 보존됩니다. 그래서 $k \in \{1,2,3,4,5\}$ 의 $5$ 가지 — 답 (D). $k = 0$ 은 $\{6, 6\}$ 이 되어 부분집합이 아니므로 제외됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 해결 (전체 합과 남길 합으로부터 $66 - 54 = 12$ 의 뺄셈으로 제거할 두 수의 합을 구하는 데 사용.)4.OA.B.4약수 쌍 찾기와 산술 규칙성 인식 ($1 + 2 + \cdots + 11 = \tfrac{11 \cdot 12}{2} = 66$ 을 쌍짓기 패턴으로 알아보는 데 사용.)5.OA.B.3주어진 규칙으로 두 가지 수의 규칙성 만들기 ($a = 1, 2, 3, \dots$ 으로 올리며 $b = 12 - a$ 를 짝지어 후보 쌍을 순서대로 나열.)6.SP.B.5평균 등 중심 측도로 수치 자료 요약 ($\text{평균} = \tfrac{\text{합}}{\text{개수}}$ 를 거꾸로 써서 남길 합 $= 6 \times 9 = 54$ 를 구하는 데 사용.)7.SP.C.8표본공간을 나열해 복합사건의 확률 구하기 (서로 다른 원소로 이루어진 순서 없는 쌍 $\{a, b\}$ 중 $a + b = 12$ 인 경우를 표본공간 전체에서 세는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 결국 6학년의 "평균 $=$ 합 $\div$ 개수" 한 가지와, 7학년에서 배운 쌍 세기만 잘 쓰면 풀려요.
⭐ 이 AMC 8 문제는 결국 6학년의 "평균 $=$ 합 $\div$ 개수" 한 가지와, 7학년에서 배운 쌍 세기만 잘 쓰면 풀려요.
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