AMC 8 · 2015 · #2
쉬운 모드 학년 6문제
정팔각형을 떠올려봅시다. 모든 변의 길이가 같은 8각형이에요. 꼭짓점을 한 바퀴 돌면서 A,B,C,D,E,F,G,H라고 부르고, O는 정팔각형의 정확한 중심입니다.
이제 변 AB의 한가운데 지점에 점 X를 표시합니다.
팔각형의 일부가 색칠되어 있어요(그림을 보세요). 색칠된 부분은 팔각형 전체 넓이의 몇 분의 몇일까요?
그림
중심 O에서 그은 살이 정팔각형을 똑같은 8조각으로 나누고, 색칠된 부분은 3조각과 OAB 절반을 합한 영역이에요.
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정팔각형 $ABCDEFGH$의 중심이 $O$ 이고, $X$ 는 변 $\overline{AB}$ 의 중점입니다. 색칠된 영역은 다각형 $XBCDEO$ 입니다 ($X$ 에서 출발해 팔각형 둘레를 따라 $B, C, D, E$ 를 지나고, 안쪽 중심 $O$ 로 들어왔다가 다시 $X$ 로 돌아오는 영역). 이 색칠된 영역이 정팔각형 전체 넓이의 몇 분의 몇인지 구하세요.
주어진 것: 팔각형 $ABCDEFGH$ 는 정팔각형 (모든 변과 모든 각이 같음); $O$ 는 정팔각형의 중심; $X$ 는 변 $\overline{AB}$ 의 중점; 색칠된 영역의 경계는 $X \to B \to C \to D \to E \to O \to X$; 선택지: (A) $\tfrac{11}{32}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{13}{32}$, (D) $\tfrac{7}{16}$, (E) $\tfrac{15}{32}$
구하는 것: 전체 팔각형 넓이에 대한 색칠된 부분의 비율
이해
문제 재정리: 정팔각형 $ABCDEFGH$의 중심이 $O$ 이고, $X$ 는 변 $\overline{AB}$ 의 중점입니다. 색칠된 영역은 다각형 $XBCDEO$ 입니다 ($X$ 에서 출발해 팔각형 둘레를 따라 $B, C, D, E$ 를 지나고, 안쪽 중심 $O$ 로 들어왔다가 다시 $X$ 로 돌아오는 영역). 이 색칠된 영역이 정팔각형 전체 넓이의 몇 분의 몇인지 구하세요.
주어진 것: 팔각형 $ABCDEFGH$ 는 정팔각형 (모든 변과 모든 각이 같음); $O$ 는 정팔각형의 중심; $X$ 는 변 $\overline{AB}$ 의 중점; 색칠된 영역의 경계는 $X \to B \to C \to D \to E \to O \to X$; 선택지: (A) $\tfrac{11}{32}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{13}{32}$, (D) $\tfrac{7}{16}$, (E) $\tfrac{15}{32}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 그림이 이미 주어져 있지만, 핵심 동작(도구 #1)은 그 그림에 "덧칠"하는 것입니다 — 중심 $O$ 에서 각 꼭짓점으로 가는 보조선(스포크)을 모두 긋기. 이 한 번의 추가로 정팔각형이 합동인 $8$ 개의 삼각형으로 나뉘고, 그 결과 $6$ 변으로 된 어색한 색칠 영역이 표준 조각들의 합으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 색칠 영역 $XBCDEO$ 를 그 조각들에 정확히 맞춰 나눠 줍니다 — 중심삼각형 $3$ 개($\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODE$) 더하기 반쪽 삼각형 $\triangle OXB$. 작은 문제들이 풀리고 나면 비율은 간단한 덧셈으로 끝납니다.
실행 — 정답: D
3.G.A.2 단계 1 - 그림에 보조선을 덧그립니다.
- 중심 $O$ 에서 여덟 꼭짓점 $A, B, C, D, E, F, G, H$ 각각으로 선을 긋습니다.
- 정팔각형이므로 이 보조선들은 팔각형을 $8$ 개의 합동인 이등변삼각형($\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\ldots$, $\triangle OHA$)으로 나눕니다.
- 한 삼각형의 넓이를 $T$ 라고 하면 전체 팔각형의 넓이는 $8T$ 입니다.
💡 정도형을 중심을 기준으로 같은 크기 조각으로 나눠 한 조각을 전체의 단위분수 $\tfrac{1}{8}$ 로 보는 것은 3학년 도형 분할의 그대로입니다.
6.G.A.1 단계 2 - 색칠 경계 $X \to B \to C \to D \to E \to O \to X$ 를 보조선에 맞춰 조각냅니다.
- $B$ 에서 둘레를 따라 $E$ 까지 갔다가 $O$ 로 들어가는 경로는 정확히 중심삼각형 $3$ 개 — $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODE$ — 를 덮습니다.
- 남는 부분은 $\triangle OAB$ 안에 있는 작은 삼각형 $\triangle OXB$ 하나뿐입니다.
💡 도구 #7: $6$ 변으로 된 까다로운 영역을 이미 알고 있는 조각들의 합 — 표준 $T$-삼각형 $3$ 개 더하기 추가 한 조각 — 으로 바꾸기.
4.NF.B.4 단계 3 - $\triangle OXB$ 의 넓이를 구합니다.
- $X$ 가 $\overline{AB}$ 의 중점이므로, 선분 $\overline{OX}$ 는 $\triangle OAB$ 에서 꼭짓점 $O$ 에서 마주 보는 변으로 그은 중선입니다.
- 중선은 삼각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나눠 주므로, $\triangle OXB$ 는 $\triangle OAB$ 의 정확히 절반입니다.
💡 여덟 조각 중 한 $T$-조각을 반으로 자르면 $\tfrac{1}{2} T$ — 4학년 "분수 곱하기 전체" 계산입니다.
4.NF.B.4 단계 4 색칠 조각들을 $T$ 단위로 모두 더합니다.
💡 전체 셋과 절반 하나를 더하면 $3\tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2}$ — 평범한 대분수 덧셈입니다.
5.NF.B.3 단계 5 - 색칠 넓이를 전체 팔각형 넓이로 나눕니다.
- 비율을 묻고 있으므로 $T$ 가 약분되어 사라지고, 작은 정수들의 분수만 남습니다.
💡 $\tfrac{7}{2}$ 를 $8$ 로 나누는 것은 분수를 "나눗셈" 으로 보는 5학년 해석 — $\tfrac{7}{2} \div 8 = \tfrac{7}{16}$.
3.G.A.2 그림에 보조선을 덧그립니다. 중심 $O$ 에서 여덟 꼭짓점 $A, B, C, D, E, F, G, H$ 각각으로 선을 긋습니다. 정팔각형이므로 6.G.A.1 색칠 경계 $X \to B \to C \to D \to E \to O \to X$ 를 보조선에 맞춰 조각냅니다. $B$ 에서 둘레를 따라 $E$ 4.NF.B.4 $\triangle OXB$ 의 넓이를 구합니다. $X$ 가 $\overline{AB}$ 의 중점이므로, 선분 $\overline{OX}$ 는 4.NF.B.4 색칠 조각들을 $T$ 단위로 모두 더합니다. 5.NF.B.3 색칠 넓이를 전체 팔각형 넓이로 나눕니다. 비율을 묻고 있으므로 $T$ 가 약분되어 사라지고, 작은 정수들의 분수만 남습니다. 검토
합리성 확인: 색칠 영역은 팔각형의 절반보다 살짝 작아 보입니다 — 눈으로 보면 $8$ 조각 중 $4$ 조각을 덮지만 그중 한 조각($\triangle OAB$)은 절반만 칠해져 있죠. 따라서 답은 $\tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}$ 보다 약간 작아야 합니다. 우리 답 $\tfrac{7}{16} = 0.4375$ 는 $\tfrac{1}{2}$ 보다 정확히 $\tfrac{1}{16}$ 작고, 이는 누락된 반쪽 조각 $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{16}$ 과 정확히 일치합니다. 검산 통과.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 분모는 모두 $16$ 또는 $32$ 입니다. 자연스러운 분할로 얻는 조각 크기는 $\tfrac{1}{8}$ (전체 조각)과 $\tfrac{1}{16}$ (반쪽 조각) 뿐이므로 답은 십육분수 형태여야 하고, 32분수가 강제되지 않는 선택지는 (D) $\tfrac{7}{16}$ 뿐입니다. 다른 선택지 ($\tfrac{11}{32}$, $\tfrac{13}{32}$, $\tfrac{15}{32}$) 는 이 깔끔한 분할로는 나올 수 없고, $\tfrac{3}{8} = \tfrac{6}{16}$ 은 반쪽 조각 $\triangle OXB$ 를 무시하고 딱 세 조각만 셌을 때 나오는 값이라 틀립니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.G.A.2도형을 같은 넓이의 부분으로 나누고, 각 부분의 넓이를 전체의 단위분수로 나타내기 (정팔각형을 중심을 기준으로 $8$ 개의 합동 삼각형으로 잘라, 한 삼각형이 전체의 $\tfrac{1}{8}$ 임을 잡는 데 사용.)4.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈; 문장제에 적용 (중심삼각형의 $\tfrac{1}{2}$ 를 계산해 $\text{Area}(\triangle OXB) = \tfrac{1}{2} T$ 를 구하고, $T + T + T + \tfrac{1}{2} T = \tfrac{7}{2} T$ 합치는 데 사용.)5.NF.B.3분수를 분자 나누기 분모로 해석 (색칠 넓이 $\tfrac{7}{2} T$ 를 전체 넓이 $8T$ 로 나눠 비율 $\tfrac{7}{16}$ 을 얻는 데 사용.)6.G.A.1다각형을 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해서 넓이 구하기 (색칠 영역 $XBCDEO$ 를 중심삼각형 $3$ 개와 반쪽 삼각형 $\triangle OXB$ 로 분해하는 데 사용.)
⭐ 중심에서 보조선만 모두 그어 놓으면 이 AMC 8 문제는 5학년 "파이 조각 세기" 가 돼요 — 여덟 조각 중 세 조각과 반쪽 한 조각.
⭐ 중심에서 보조선만 모두 그어 놓으면 이 AMC 8 문제는 5학년 "파이 조각 세기" 가 돼요 — 여덟 조각 중 세 조각과 반쪽 한 조각.
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