AMC 8 · 2016 · #12

쉬운 모드 학년 6

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문제

제퍼슨 중학교에는 남학생 수와 여학생 수가 똑같아요. 두 그룹의 크기가 같다고 생각하면 됩니다.

현장학습 날, 여학생 중 $\frac{3}{4}$ 이 현장학습을 갔어요. 그리고 남학생 중 $\frac{2}{3}$ 이 현장학습을 갔습니다.

이제 실제로 현장학습을 간 학생들만 모아 봅시다. 그 학생들 중 여학생이 차지하는 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{2}$

(B)

$frac{9}{17}$

(C)

$frac{7}{13}$

(D)

$frac{2}{3}$

(E)

$frac{14}{15}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 제퍼슨 중학교는 남학생 수와 여학생 수가 같습니다. 여학생의 $\tfrac{3}{4}$ 과 남학생의 $\tfrac{2}{3}$ 이 현장학습을 갔습니다. 현장학습을 간 학생 중 여학생이 차지하는 비율은 얼마일까요?

주어진 것: 남학생 수 $=$ 여학생 수; 여학생의 $\tfrac{3}{4}$ 이 현장학습을 감; 남학생의 $\tfrac{2}{3}$ 이 현장학습을 감; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{9}{17}$, (C) $\tfrac{7}{13}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{14}{15}$

구하는 것: 현장학습을 간 학생 중 여학생이 차지하는 비율

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

학교 전체 인원수가 주어지지 않았다는 건 곧 "인원수가 답에 영향을 주지 않는다" 라는 신호입니다 — 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 에 딱 맞는 상황이죠. $\tfrac{3}{4}$ 와 $\tfrac{2}{3}$ 둘 다 정수인 학생 수를 만들도록, $4$ 와 $3$ 의 최소공배수인 $12$ 명씩(여학생 $12$, 남학생 $12$) 을 잡으면 "학생 $0.5$ 명" 같은 어색한 결과 없이 깔끔하게 떨어집니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 (a) 간 여학생 수, (b) 간 남학생 수, (c) 둘을 합쳐 비율 만들기 — 세 조각으로 나누어 풉니다. 도구 #13(대수) 까지 갈 필요가 없습니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 1

더 쉬운 문제로 바꿉니다.
여학생 $12$ 명, 남학생 $12$ 명으로 설정합니다(남녀 수가 같다는 조건 유지).
$12$ 를 고른 이유는 $4$ 와 $3$ 둘 다로 깔끔히 나누어떨어지는 가장 작은 수이기 때문입니다 — 그래야 $\tfrac{3}{4}$ 과 $\tfrac{2}{3}$ 가 모두 정수 명의 학생이 됩니다.

$$\text{여학생} = 12, \quad \text{남학생} = 12$$

💡 주어지지 않은 학교 인원수를 깔끔한 숫자로 대체하는 것이 도구 #9 의 핵심 동작입니다. 답이 "간 학생 중 여학생 비율" 이라 학교 크기는 어차피 약분되어 사라지므로, $12$ 든 $24$ 든 같은 답이 나옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.4 단계 2

작은 문제 1번: 간 여학생 수를 구합니다.
여학생 $12$ 명 중 $\tfrac{3}{4}$ 이 갑니다.

$$\tfrac{3}{4} \times 12 = 9 \text{ 명}$$

💡 전체에서 분수만큼을 떼어내는 4학년 분수 $\times$ 자연수 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.4 단계 3

작은 문제 2번: 간 남학생 수를 구합니다.
남학생 $12$ 명 중 $\tfrac{2}{3}$ 이 갑니다.

$$\tfrac{2}{3} \times 12 = 8 \text{ 명}$$

💡 방금과 같은 "전체의 분수만큼" 계산을 분수만 바꿔서 한 번 더 합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.4 단계 4

작은 문제 3번: 합칩니다.
현장학습 간 전체 학생 수는 여학생과 남학생을 더한 값입니다.

$$9 + 8 = 17 \text{ 명}$$

💡 쪼개 둔 두 조각을 다시 모으는, 작은 문제 풀이의 마지막 합산 단계입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.1 단계 5

문제가 묻는 비율을 만듭니다 — 간 학생 전체 중 여학생이 차지하는 비율.

$$\dfrac{\text{간 여학생}}{\text{간 전체}} = \dfrac{9}{17} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 부분 $\div$ 전체로 비율을 쓰는 것이 6학년 비율 추론의 핵심입니다. $9$ 와 $17$ 은 공약수가 없어 $\tfrac{9}{17}$ 이 이미 기약분수입니다.

[1] #9 6.RP.A.3 더 쉬운 문제로 바꿉니다. 여학생 $12$ 명, 남학생 $12$ 명으로 설정합니다(남녀 수가 같다는 조건 유지). $12$ 를 고른 이유는 $4

[2] #7 4.NF.B.4 작은 문제 1번: 간 여학생 수를 구합니다. 여학생 $12$ 명 중 $\tfrac{3}{4}$ 이 갑니다.

[3] #7 4.NF.B.4 작은 문제 2번: 간 남학생 수를 구합니다. 남학생 $12$ 명 중 $\tfrac{2}{3}$ 이 갑니다.

[4] #7 4.NF.B.4 작은 문제 3번: 합칩니다. 현장학습 간 전체 학생 수는 여학생과 남학생을 더한 값입니다.

[5] #9 6.RP.A.1 문제가 묻는 비율을 만듭니다 — 간 학생 전체 중 여학생이 차지하는 비율.

검토

합리성 확인: 여학생은 $\tfrac{3}{4}$, 남학생은 $\tfrac{2}{3}$ 이 갔으니 간 사람 중 여학생이 남학생보다 "조금" 많아야 합니다. 즉, 여학생 비율은 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 큰 값이어야 자연스럽습니다. 실제로 $\tfrac{9}{17} \approx 0.529$ 로 $\tfrac{1}{2}$ 바로 위입니다. 선택지 (A) $\tfrac{1}{2}$ 은 "같다"는 뜻이고, (D) $\tfrac{2}{3}$ 은 "여학생이 남학생의 두 배"라는 뜻이라 둘 다 크기가 맞지 않습니다. 크기가 들어맞는 건 (B) $\tfrac{9}{17}$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #9 를 다른 크기로 한 번 더 적용해 봅니다 — 여학생 $24$, 남학생 $24$ 로 설정하면 간 여학생 $= \tfrac{3}{4} \times 24 = 18$, 간 남학생 $= \tfrac{2}{3} \times 24 = 16$, 합 $= 34$, 비율 $= \tfrac{18}{34} = \tfrac{9}{17}$. 같은 답이 나오므로 정답이 학교 크기와 무관함을 직접 확인한 셈입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NF.B.4 분수에 자연수를 곱하는 곱셈을 이해하고 적용하기 ($\tfrac{3}{4} \times 12 = 9$(간 여학생) 과 $\tfrac{2}{3} \times 12 = 8$(간 남학생) — 두 "전체의 분수만큼" 계산을 수행.)
6.RP.A.1 비(比) 의 개념을 이해하고 비의 언어로 관계를 기술 (정답을 부분 $\div$ 전체 형태의 비율 $\tfrac{9}{17}$(간 학생 중 여학생) 로 표현.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (정답(간 학생 중 여학생 비율) 이 학교 인원수와 무관하다는 점을 인식하고, 이를 근거로 미지의 인원수 대신 $12$ 라는 편한 숫자를 골라도 된다고 정당화.)

⭐ 전체 인원이 문제에 안 나오면 "마음에 드는 깔끔한 숫자"로 직접 정해 보세요 — 그러면 이 AMC 8 문제는 "전체 중 분수만큼" 계산만 남는 쉬운 문제로 바뀝니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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