AMC 8 · 2016 · #14
쉬운 모드 학년 5문제
칼의 자동차는 35마일을 달릴 때마다 가솔린 1갤런을 씁니다. 연료통이 가득 차면 14갤런이 들어가요.
어느 날 칼은 연료통을 가득 채우고 출발했습니다. 350마일을 달린 뒤, 멈춰서 가솔린 8갤런을 더 넣었어요. 그리고 다시 출발해 목적지까지 달렸습니다.
목적지에 도착했을 때, 연료통은 정확히 절반이 차 있었어요.
그날 칼이 운전한 총 거리는 몇 마일일까요?
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 칼의 차는 $1$ 갤런으로 $35$ 마일을 가고, 연료통은 가득 차면 $14$ 갤런입니다. 어느 날 칼은 가득 채운 상태로 출발해 $350$ 마일을 달린 뒤 $8$ 갤런을 더 넣고 계속 운전했고, 목적지에 도착했을 때 연료통은 반쯤 차 있었습니다. 이날 칼이 운전한 총 거리는 몇 마일인가요?
주어진 것: 연비: $1$ 갤런당 $35$ 마일; 연료통 용량: $14$ 갤런(가득일 때); 출발 시 연료통이 가득 차 있었음; 1구간: $350$ 마일 주행; 중간에 $8$ 갤런 주유; 도착 시 연료통이 반($7$ 갤런); 선택지: (A) $525$, (B) $560$, (C) $595$, (D) $665$, (E) $735$
구하는 것: 칼이 그날 운전한 총 거리(마일)
이해
문제 재정리: 칼의 차는 $1$ 갤런으로 $35$ 마일을 가고, 연료통은 가득 차면 $14$ 갤런입니다. 어느 날 칼은 가득 채운 상태로 출발해 $350$ 마일을 달린 뒤 $8$ 갤런을 더 넣고 계속 운전했고, 목적지에 도착했을 때 연료통은 반쯤 차 있었습니다. 이날 칼이 운전한 총 거리는 몇 마일인가요?
주어진 것: 연비: $1$ 갤런당 $35$ 마일; 연료통 용량: $14$ 갤런(가득일 때); 출발 시 연료통이 가득 차 있었음; 1구간: $350$ 마일 주행; 중간에 $8$ 갤런 주유; 도착 시 연료통이 반($7$ 갤런); 선택지: (A) $525$, (B) $560$, (C) $595$, (D) $665$, (E) $735$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기
여정이 주유소를 기준으로 두 구간으로 자연스럽게 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 출발·주유·도착 세 시점의 연료 상태를 차례로 적고, 각 구간 거리를 따로 구한 뒤 합치면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 환산을 깔끔하게 잡아 줍니다 — 마일을 $35 \text{ 마일/갤런}$ 으로 나누면 사용한 갤런이 나오고, 갤런에 $35 \text{ 마일/갤런}$ 을 곱하면 주행 거리가 나옵니다.
실행 — 정답: A
5.NBT.B.6 단계 1 - 1구간에서 쓴 연료를 구합니다.
- $350$ 마일을 $1$ 갤런당 $35$ 마일 연비로 달렸으므로, 사용한 갤런 = 마일 $\div$ (마일/갤런).
💡 마일을 "마일/갤런" 으로 나누면 "마일" 단위가 약분되고 "갤런" 만 남습니다 — 5학년 자연수 나눗셈 그대로.
4.OA.A.3 단계 2 - 1구간 후 연료 상태.
- $14$ 갤런으로 시작해 $10$ 갤런을 썼으니, 주유 직전 남은 양은 $4$ 갤런입니다.
💡 단계별로 변하는 양을 따라가는 것은 4학년 여러 단계 문장제 기술입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 주유 후 연료 상태.
- 남은 $4$ 갤런에 $8$ 갤런을 더하면 $12$ 갤런이 됩니다(여전히 $14$ 갤런 한도 안).
💡 주유 직후의 체크포인트를 명확히 두면 2구간 계산이 깔끔해집니다.
5.NF.B.4 단계 4 - 2구간에서 쓴 연료를 구합니다.
- 도착했을 때 연료통이 반이었으므로 $\tfrac{1}{2} \times 14 = 7$ 갤런 남았고, 2구간에서 쓴 연료는 $12 - 7$ 갤런입니다.
💡 $14$ 의 절반을 구하는 것은 5학년 "분수 $\times$ 자연수" 계산입니다.
5.NBT.B.5 단계 5 - 2구간 연료를 거리로 환산합니다.
- 갤런에 마일/갤런을 곱하면 마일이 나옵니다.
💡 "갤런" 이 약분되어 "마일" 만 남고, 그게 바로 우리가 구해야 하는 단위입니다.
4.OA.A.3 단계 6 두 구간 거리를 더해 그날의 총 주행 거리를 구합니다.
💡 쪼개서 푼 결과를 모아 합치는 단계가 도구 #7 의 마지막 조립입니다.
5.NBT.B.6 1구간에서 쓴 연료를 구합니다. $350$ 마일을 $1$ 갤런당 $35$ 마일 연비로 달렸으므로, 사용한 갤런 = 마일 $\div$ (마일/갤런 4.OA.A.3 1구간 후 연료 상태. $14$ 갤런으로 시작해 $10$ 갤런을 썼으니, 주유 직전 남은 양은 $4$ 갤런입니다. 4.OA.A.3 주유 후 연료 상태. 남은 $4$ 갤런에 $8$ 갤런을 더하면 $12$ 갤런이 됩니다(여전히 $14$ 갤런 한도 안). 5.NF.B.4 2구간에서 쓴 연료를 구합니다. 도착했을 때 연료통이 반이었으므로 $\tfrac{1}{2} \times 14 = 7$ 갤런 남았고, 2구간에서 5.NBT.B.5 2구간 연료를 거리로 환산합니다. 갤런에 마일/갤런을 곱하면 마일이 나옵니다. 4.OA.A.3 두 구간 거리를 더해 그날의 총 주행 거리를 구합니다. 검토
합리성 확인: 연료 총량으로 검산해 봅시다. 사용한 갤런 합 = $10 + 5 = 15$ 갤런, 총 거리 = $15 \times 35 = 525$ 마일 — 답과 일치합니다. 또 어떤 시점에도 연료통이 넘치지 않았고(주유 후 $12$ 갤런 < $14$ 갤런 용량), $525$ 가 선택지 중 가장 작은 값이라는 점도 "2구간이 1구간보다 짧다" 는 직관과 맞습니다.
대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기) 도 가능합니다. 도착 시점 $7$ 갤런에서 출발해, 2구간 직전에는 $7 + (\text{2구간 사용 갤런})$ 갤런, 주유 전에는 그 값에서 $8$ 을 뺀 양, 그리고 출발할 때는 $14$ 갤런. 이렇게 거슬러 올라가면 1구간 사용량 $10$ 갤런 $\Rightarrow 350$ 마일(주어진 값과 일치), 2구간 사용량 $5$ 갤런 $\Rightarrow 175$ 마일. 합계 $525$ 마일로 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.A.3자연수를 사용한 여러 단계 문장제 해결 (출발·주유·도착 세 체크포인트에서 갤런 수를 단계별로 추적하고, 마지막에 두 구간의 거리를 더하는 데 사용.)5.NBT.B.5여러 자리 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행 (2구간 연료 $5$ 갤런을 거리로 환산할 때 $5 \times 35 = 175$ 의 곱셈에 사용.)5.NBT.B.6여러 자리 자연수의 나눗셈 (1구간 거리에서 연료를 구할 때 $350 \div 35 = 10$ 의 나눗셈에 사용.)5.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈 (도착 시 연료 $\tfrac{1}{2} \times 14 = 7$ 갤런을 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 5학년 곱셈·나눗셈과 "절반 구하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 체크포인트마다 연료 일기만 깔끔히 적으면 답이 저절로 나옵니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 5학년 곱셈·나눗셈과 "절반 구하기" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 체크포인트마다 연료 일기만 깔끔히 적으면 답이 저절로 나옵니다!
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