AMC 8 · 2016 · #2
쉬운 모드 학년 6문제
직사각형 ABCD를 떠올려봅시다. 짧은 변 AB의 길이는 6, 긴 변 AD의 길이는 8이에요.
점 M은 변 AD의 정확히 한가운데에 있습니다. 이제 세 꼭짓점 A, M, C를 이어 삼각형 하나를 만듭니다.
삼각형 AMC의 넓이는 얼마일까요?
그림
직사각형 ABCD에서 점 M은 변 AD의 중점이고, 삼각형 AMC를 칠한 뒤 밑변 AM = 4와 수직 높이 CD = 6을 표시했어요.
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 에서 $AB = 6$, $AD = 8$ 입니다. 점 $M$ 은 변 $\overline{AD}$ 의 중점입니다. 삼각형 $\triangle AMC$ 의 넓이를 구하세요.
주어진 것: $ABCD$ 는 $AB = 6$, $AD = 8$ 인 직사각형; $M$ 은 $\overline{AD}$ 의 중점, 따라서 $AM = MD = 4$; 직사각형의 마주 보는 변은 같으므로 $CD = AB = 6$, $BC = AD = 8$; 직사각형의 이웃한 변은 서로 수직; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$
구하는 것: $\triangle AMC$ 의 넓이
이해
문제 재정리: 직사각형 $ABCD$ 에서 $AB = 6$, $AD = 8$ 입니다. 점 $M$ 은 변 $\overline{AD}$ 의 중점입니다. 삼각형 $\triangle AMC$ 의 넓이를 구하세요.
주어진 것: $ABCD$ 는 $AB = 6$, $AD = 8$ 인 직사각형; $M$ 은 $\overline{AD}$ 의 중점, 따라서 $AM = MD = 4$; 직사각형의 마주 보는 변은 같으므로 $CD = AB = 6$, $BC = AD = 8$; 직사각형의 이웃한 변은 서로 수직; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이름 붙은 점들이 등장하는 평면도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 씁니다. 직사각형을 그리고, $\overline{AD}$ 의 중점에 $M$ 을 표시한 뒤 $\triangle AMC$ 를 그려 보면 핵심 사실이 보입니다 — 변 $\overline{AM}$ 이 직사각형의 변 $\overline{AD}$ 위에 놓이고, 이 변은 $\overline{DC}$ 와 수직입니다. 그래서 $\overline{AM}$ 을 밑변으로 잡으면 높이는 자동으로 $\overline{DC}$ 의 길이가 됩니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이 계산을 (a) 밑변 $AM$ 구하기, (b) 수직 높이 구하기, (c) 삼각형 넓이 공식 적용, 세 단계로 깔끔히 나눕니다.
실행 — 정답: A
3.G.A.1 단계 1 - 직사각형 $ABCD$ 를 그립니다 — $A$ 는 왼쪽 아래, $B$ 는 오른쪽 아래($AB = 6$), $C$ 는 오른쪽 위, $D$ 는 왼쪽 위($AD = 8$).
- 변 $\overline{AD}$ 위 $A$ 와 $D$ 의 한가운데에 $M$ 을 찍습니다.
- 그런 다음 $\overline{AM}$, $\overline{MC}$, $\overline{AC}$ 를 긋습니다.
- 그림을 보면 $\triangle AMC$ 의 한 변 $\overline{AM}$ 이 직사각형 왼쪽 변과 겹쳐 있습니다.
💡 그린 도형에서 직사각형의 성질(마주 보는 변이 같고, 이웃한 변이 수직)을 알아보는 것은 3학년의 도형 속성 학습 그대로입니다.
4.NF.B.4 단계 2 - 작은 문제 1 — 밑변 구하기.
- $\overline{AM}$ 을 밑변으로 정합니다.
- $M$ 은 $\overline{AD}$ 의 중점이고 $AD = 8$ 이므로, 밑변 $AM$ 은 $8$ 의 절반입니다.
💡 자연수의 절반을 구하는 것(중점은 선분을 두 동일한 부분으로 나눔)은 4학년 분수 $\times$ 자연수 계산입니다.
4.G.A.1 단계 3 - 작은 문제 2 — 높이 구하기.
- 밑변 $\overline{AM}$ 은 변 $\overline{AD}$ 위에 놓여 있습니다.
- $C$ 에서 직선 $\overleftrightarrow{AD}$ 까지의 수직 거리는 곧 변 $\overline{DC}$ 의 길이입니다 — 직사각형에서 $\overline{DC} \perp \overline{AD}$ 이기 때문입니다.
- 따라서 높이는 $DC = AB = 6$.
💡 직사각형의 직각($D$ 모서리)을 그대로 읽어 수직 거리를 얻는 것은 4학년 수직선 개념입니다.
6.G.A.1 단계 4 작은 문제 3 — 삼각형 넓이 공식 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 에 $b = 4$, $h = 6$ 을 대입합니다.
💡 밑변과 수직 높이로 삼각형 넓이를 구하는 것은 6학년 삼각형 넓이 표준 그대로입니다.
3.G.A.1 직사각형 $ABCD$ 를 그립니다 — $A$ 는 왼쪽 아래, $B$ 는 오른쪽 아래($AB = 6$), $C$ 는 오른쪽 위, $D$ 는 왼쪽 4.NF.B.4 작은 문제 1 — 밑변 구하기. $\overline{AM}$ 을 밑변으로 정합니다. $M$ 은 $\overline{AD}$ 의 중점이고 $AD 4.G.A.1 작은 문제 2 — 높이 구하기. 밑변 $\overline{AM}$ 은 변 $\overline{AD}$ 위에 놓여 있습니다. $C$ 에서 직선 $ 6.G.A.1 작은 문제 3 — 삼각형 넓이 공식 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 검토
합리성 확인: 직사각형 전체와 비교해 봅니다. 직사각형 넓이 $= 6 \times 8 = 48$. 대각선 $\overline{AC}$ 는 직사각형을 같은 두 삼각형으로 나누므로 $\triangle ACD$ 넓이 $= 24$. $\triangle AMC$ 는 $\triangle ACD$ 와 꼭짓점 $C$ 를 공유하지만 밑변은 $AD$ 의 절반($AM = \tfrac{1}{2}AD$)만 사용하므로 넓이는 $24$ 의 절반인 $12$ 가 되어야 합니다. 정확히 (A) 와 일치.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): $\triangle AMC$ 를 직접 구하지 말고 나머지 부분을 구합니다. $\triangle MDC$ 는 밑변 $MD = 4$, 높이 $DC = 6$ 이므로 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$. 그러면 $\triangle AMC = \triangle ACD - \triangle MDC = 24 - 12 = 12$. 같은 답.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.G.A.1여러 범주의 도형이 공통 속성을 가짐을 이해하기 ($ABCD$ 가 직사각형(마주 보는 변이 같고 모든 각이 직각)임을 인지해 $CD = AB = 6$, $\overline{CD} \perp \overline{AD}$ 를 얻는 데 사용.)4.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈 이해와 적용 ($\overline{AD}$ 의 중점 조건으로부터 $AM = \tfrac{1}{2} \times 8 = 4$ 를 계산하는 데 사용.)4.G.A.1점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직·평행선 그리기와 판별 ($\overline{DC}$ 가 $\overline{AD}$ 와 수직임을 알아채서 그 길이를 삼각형의 높이로 사용.)6.G.A.1삼각형과 특수 사각형의 넓이를 분해·합성으로 구하기 (밑변 $4$ 와 수직 높이 $6$ 으로 $\triangle AMC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12$ 로 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 삼각형 넓이 공식 하나면 끝나요 — 높이가 이미 그려져 있는 똑똑한 밑변을 고르면 한 줄에 답이 나옵니다.
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 삼각형 넓이 공식 하나면 끝나요 — 높이가 이미 그려져 있는 똑똑한 밑변을 고르면 한 줄에 답이 나옵니다.
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