AMC 8 · 2016 · #8
쉬운 모드 학년 5문제
다음과 같은 긴 식이 있어요:
100−98+96−94+92−90+⋯+8−6+4−2.
여기 쓰인 숫자는 2부터 100까지의 모든 짝수예요. 부호는 번갈아 나오는데, 두 수씩 짝을 지어 보면 큰 수에는 더하기 부호, 작은 수에는 빼기 부호가 붙어 있습니다.
두 수씩 짝을 지으면 한 짝씩 간단히 계산할 수 있어요.
이 식 전체의 값은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $+100$ 부터 시작해 부호가 $+,-,+,-,\dots$ 로 번갈아 가는 식 $100-98+96-94+92-90+\cdots+8-6+4-2$ 의 값을 구하는 문제입니다. 항은 $100$ 부터 $2$ 까지의 모든 짝수이고, 마지막 항은 $-2$ 입니다.
주어진 것: 식의 항은 $100$ 부터 $2$ 까지의 모든 짝수; 부호는 엄격히 번갈아 가며: $+100, -98, +96, -94, \dots, +4, -2$; 이웃한 짝수의 차이는 $2$; 선택지: (A) $20$, (B) $40$, (C) $50$, (D) $80$, (E) $100$
구하는 것: 이 부호가 번갈아 나오는 합의 정확한 값
이해
문제 재정리: $+100$ 부터 시작해 부호가 $+,-,+,-,\dots$ 로 번갈아 가는 식 $100-98+96-94+92-90+\cdots+8-6+4-2$ 의 값을 구하는 문제입니다. 항은 $100$ 부터 $2$ 까지의 모든 짝수이고, 마지막 항은 $-2$ 입니다.
주어진 것: 식의 항은 $100$ 부터 $2$ 까지의 모든 짝수; 부호는 엄격히 번갈아 가며: $+100, -98, +96, -94, \dots, +4, -2$; 이웃한 짝수의 차이는 $2$; 선택지: (A) $20$, (B) $40$, (C) $50$, (D) $80$, (E) $100$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
$50$ 개 항을 하나씩 더하고 빼면 시간도 오래 걸리고 실수도 나오기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 긴 식을 $(100-98)+(96-94)+\cdots+(4-2)$ 처럼 묶으면, 거대한 한 문제가 "같은 모양의 작은 문제 여러 개" 로 바뀝니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 로 모든 묶음이 똑같이 $2$ 라는 사실이 눈에 들어와 원래 식은 $2+2+\cdots+2$ 로 단순화됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 안전망으로 들고 갑니다 — 같은 방법을 $4-2$ 나 $8-6+4-2$ 같은 짧은 식에 먼저 시험해서 맞는지 확인하면 $50$ 항짜리에서도 안심하고 쓸 수 있습니다.
실행 — 정답: C
5.OA.A.1 단계 1 - 덧셈의 결합법칙을 써서 이웃한 두 항을 한 묶음으로 만듭니다.
- 부호가 $+,-,+,-,\dots$ 이므로 각 묶음은 "$+$ 짝수와 그 다음으로 작은 짝수($-$)" 의 짝이 됩니다.
💡 $+a-b$ 형태의 짝을 괄호로 묶는 것은 5학년 "수식에 괄호 쓰기" 표준 — 값은 같고 모양만 훨씬 쉬워집니다.
4.OA.C.5 단계 2 - 앞쪽 묶음 몇 개를 계산해서 규칙이 보이는지 확인합니다.
- 각 묶음은 어떤 짝수에서 그보다 $2$ 작은 짝수를 빼는 형태이므로, 모두 결과가 $2$ 입니다.
💡 모든 묶음이 같은 상수 $2$ 로 나오는 것을 알아채는 일은 4학년 "만들어진 패턴 분석" 표준 그대로입니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 묶음의 개수를 셉니다.
- 식에 등장하는 짝수는 $2$ 부터 $100$ 까지 총 $\tfrac{100}{2}=50$ 개입니다.
- 한 묶음에 짝수 $2$ 개씩 들어가므로 묶음 수는 $\tfrac{50}{2}=25$ 입니다.
💡 $2,4,6,\dots,100$ 은 $1,2,3,\dots,50$ 과 일대일로 짝지어지므로 개수도 $50$ 개 — 4학년 패턴 세기 논리입니다.
3.OA.A.1 단계 4 - 이제 합은 $2$ 가 $25$ 번 더해진 것입니다.
- 이것은 곧 "같은 수를 여러 번 더한다" 는 곱셈의 정의입니다.
💡 반복 합을 곱셈으로 바꾸는 것은 3학년 "같은 묶음의 곱" 정의 그대로입니다.
5.OA.A.1 덧셈의 결합법칙을 써서 이웃한 두 항을 한 묶음으로 만듭니다. 부호가 $+,-,+,-,\dots$ 이므로 각 묶음은 "$+$ 짝수와 그 다음으로 4.OA.C.5 앞쪽 묶음 몇 개를 계산해서 규칙이 보이는지 확인합니다. 각 묶음은 어떤 짝수에서 그보다 $2$ 작은 짝수를 빼는 형태이므로, 모두 결과가 $2 4.OA.C.5 묶음의 개수를 셉니다. 식에 등장하는 짝수는 $2$ 부터 $100$ 까지 총 $\tfrac{100}{2}=50$ 개입니다. 한 묶음에 짝수 $2 3.OA.A.1 이제 합은 $2$ 가 $25$ 번 더해진 것입니다. 이것은 곧 "같은 수를 여러 번 더한다" 는 곱셈의 정의입니다. 검토
합리성 확인: 어림셈으로도 답의 크기가 맞는지 확인할 수 있습니다. $+100$ 으로 시작하지만 곧바로 $-98$ 이 거의 다 깎아내고, $+96$ 은 $-94$ 가 깎아내는 식으로 양수 항이 매번 $2$ 정도만 남기고 사라집니다. 즉 묶음 하나당 합계가 $2$ 정도 늘어나므로 전체 결과는 수백이 아니라 $25 \times 2 = 50$ 근처여야 하며, 이는 정확히 (C) 와 일치합니다. $80$ 이나 $100$ 같은 선택지는 음수가 양수를 이렇게 강하게 상쇄하는 상황에서 나올 수 없습니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 짧은 식 $8-6+4-2$ 로 먼저 시험합니다. 직접 계산하면 $8-6=2,\; 4-2=2$, 합 $=4$. 항은 $4$ 개(짝수 $2,4,6,8$) 이므로 묶음은 $2$ 개, 묶음 값 $2$, 따라서 $2 \times 2 = 4$ 로 일치합니다. 같은 방식을 $50$ 개 항에 적용하면 $25 \times 2 = 50$ — (C) 확정.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.OA.A.1수식에 괄호, 대괄호, 중괄호 사용하기 (결합법칙을 이용해 $100-98+96-94+\cdots+4-2$ 를 $(100-98)+(96-94)+\cdots+(4-2)$ 형태로 묶는 데 사용 — 5학년 "수식에 괄호 쓰기" 표준.)4.OA.C.5수·도형 패턴 생성과 분석 (각 묶음 $(2k)-(2k-2)=2$ 가 같은 상수 값을 만든다는 패턴을 발견하고, 짝수 항의 개수를 $1,2,\dots,50$ 과의 일대일 대응으로 세는 데 사용.)4.NBT.B.4여러 자리 정수의 덧셈과 뺄셈 능숙하게 수행 (각 묶음 값을 확인할 때 $100-98=2$, $96-94=2$ 같은 두 자리 뺄셈을 수행하는 데 사용.)3.OA.A.1정수의 곱을 같은 묶음의 합으로 해석 (반복 합 $\underbrace{2+2+\cdots+2}_{25}$ 를 곱셈 $25 \times 2 = 50$ 으로 바꾸는 데 사용.)
⭐ $50$ 개의 수를 $25$ 쌍으로 묶으면 모든 쌍이 조용히 $2$ 가 되니, 전체 합은 그냥 $25 \times 2 = 50$ 이에요.
⭐ $50$ 개의 수를 $25$ 쌍으로 묶으면 모든 쌍이 조용히 $2$ 가 되니, 전체 합은 그냥 $25 \times 2 = 50$ 이에요.
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