AMC 8 · 2016 · #9
쉬운 모드 학년 5문제
수 2016을 소수(prime number)들의 곱으로 쪼개봅시다.
어떤 소수는 여러 번 나올 수도 있어요. 여러 번 나오는 것은 한 번만 세어, 서로 다른 소수만 모아봅시다.
이 서로 다른 소수들을 모두 더하면 얼마가 될까요?
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2016$의 서로 다른 소인수들의 합을 구하는 문제입니다. "서로 다른" 이라는 말은, 소인수분해에서 같은 소수가 여러 번 나오더라도 합에는 한 번만 더한다는 뜻입니다.
주어진 것: 대상 수는 $2016$; 모든 약수가 아니라 소수인 약수만 고려; 서로 다른 소수만 — 중복은 한 번만 셈; 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $16$, (D) $49$, (E) $63$
구하는 것: $2016$의 서로 다른 소인수들의 합
이해
문제 재정리: $2016$의 서로 다른 소인수들의 합을 구하는 문제입니다. "서로 다른" 이라는 말은, 소인수분해에서 같은 소수가 여러 번 나오더라도 합에는 한 번만 더한다는 뜻입니다.
주어진 것: 대상 수는 $2016$; 모든 약수가 아니라 소수인 약수만 고려; 서로 다른 소수만 — 중복은 한 번만 셈; 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $16$, (D) $49$, (E) $63$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 질문을 두 개의 깔끔한 작업으로 나눕니다: (a) $2016$을 소인수분해하기, (b) 서로 다른 소인수들을 더하기. 도구 #6(추측하고 확인하기)는 (a) 단계를 맡습니다 — 작은 소수 $2, 3, 5, 7, \ldots$ 을 순서대로 시도하면서 몫이 $1$이 될 때까지 나눠 봅니다. 도구 #13(대수)처럼 무거운 도구는 굳이 쓸 필요가 없습니다. 네 자리 수에 대한 시행 나눗셈이 가장 직접적인 길입니다.
실행 — 정답: B
5.NBT.B.6 단계 1 - 작은 문제 1: $2016$을 소인수분해합니다.
- 가장 작은 소수 $2$ 부터 나눠지지 않을 때까지 계속 나눕니다.
- $2016$이 짝수이므로 홀수가 나올 때까지 반씩 줄여 갑니다.
💡 $2$ 로 반복해서 나누는 것은 5학년 다자리수 나눗셈 그대로입니다 — 특별한 기법이 필요 없습니다.
4.OA.B.4 단계 2 - $63$은 홀수라 $2$ 는 더 이상 안 들어갑니다.
- 다음 소수 $3$ 을 시도합니다.
- $63$ 의 각 자리 수 합은 $6+3=9$ 로 $3$ 의 배수이므로 $3$ 이 $63$ 을 나눕니다.
- 더 이상 나눠지지 않을 때까지 $3$ 으로 나눕니다.
💡 $3$ 의 배수 판별을 위해 각 자리 수 합을 쓰는 것은 4학년 "약수와 배수" 표준 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 3 - 남은 몫 $7$ 은 그 자체로 소수이므로 소인수분해가 끝납니다.
- 같은 소수끼리 지수로 묶어 정리합니다.
💡 $7$ 이 소수임을 확인하고 분해를 멈추는 것은 4학년 소수·합성수 판별의 적용입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - 작은 문제 2: 서로 다른 소수의 밑(base)만 나열합니다.
- 지수는 각 소수가 몇 번 나오는지를 알려줄 뿐, 어떤 소수가 나오는지와는 무관하므로 무시합니다.
- 서로 다른 소수는 $2$, $3$, $7$ 입니다.
💡 "서로 다른" 이라는 말은 각 소수 밑을 한 번씩만 적는다는 뜻 — 계산이 아니라 문제를 꼼꼼히 읽는 일입니다.
2.NBT.B.5 단계 5 세 개의 서로 다른 소수를 더해서 선택지와 맞춰 봅니다.
💡 작은 자연수 세 개를 더하는 것은 2학년 덧셈 능숙도 수준입니다.
5.NBT.B.6 작은 문제 1: $2016$을 소인수분해합니다. 가장 작은 소수 $2$ 부터 나눠지지 않을 때까지 계속 나눕니다. $2016$이 짝수이므로 홀수 4.OA.B.4 $63$은 홀수라 $2$ 는 더 이상 안 들어갑니다. 다음 소수 $3$ 을 시도합니다. $63$ 의 각 자리 수 합은 $6+3=9$ 로 $3$ 4.OA.B.4 남은 몫 $7$ 은 그 자체로 소수이므로 소인수분해가 끝납니다. 같은 소수끼리 지수로 묶어 정리합니다. 4.OA.B.4 작은 문제 2: 서로 다른 소수의 밑(base)만 나열합니다. 지수는 각 소수가 몇 번 나오는지를 알려줄 뿐, 어떤 소수가 나오는지와는 무관하므 2.NBT.B.5 세 개의 서로 다른 소수를 더해서 선택지와 맞춰 봅니다. 검토
합리성 확인: 소인수분해를 다시 곱해 확인합니다: $2^5 = 32$, $3^2 = 9$, $32 \times 9 = 288$, 그리고 $288 \times 7 = 2016$. 분해가 정확하므로 서로 다른 소인수는 정말 $\{2, 3, 7\}$ 이고 그 합은 $12$. 선택지 (B) 는 작고 합리적인 값이며, 함정 선택지 (D) $49$ 와 (E) $63$ 은 각각 소수의 거듭제곱을 더하거나($2^5 + 3^2 + 7 = 32 + 9 + 7 = 48 \approx 49$) $7$ 을 분리하기 직전 단계 값 $63$ 을 그대로 쓴 흔한 실수에 대응합니다.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 비슷한 문제로 바꾸기)로 풀어도 됩니다: $2016$을 익숙한 조각으로 쪼개면 $2016 = 2000 + 16 = 16 \times 126 = 16 \times 2 \times 63 = 32 \times 63$. 여기서 $32 = 2^5$, $63 = 9 \times 7 = 3^2 \times 7$ 이므로 $2016 = 2^5 \times 3^2 \times 7$. 같은 서로 다른 소인수, 같은 합 $2+3+7 = 12$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
2.NBT.B.5100 이내의 덧셈과 뺄셈 능숙하게 수행 (세 개의 서로 다른 소수를 더해 $2 + 3 + 7 = 12$ 라는 최종 답을 얻는 데 사용.)4.OA.B.4약수쌍 찾기, 배수 인식, 소수와 합성수 판별 ($2$, $3$, $7$ 이 소인수임을 인식하고, $3$ 의 배수 판별에 각 자리 수 합 규칙을 사용.)5.NBT.B.6최대 네 자리 피제수에 대한 자연수 나눗셈의 몫 구하기 ($2016 \div 2 = 1008$, $1008 \div 2 = 504$, $\ldots$ 의 반복 나눗셈을 수행하여 소인수를 하나씩 떼어내는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 5학년 나눗셈과 4학년 소인수 개념만 알면 풀 수 있어요!
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