AMC 8 · 2017 · #6
쉬운 모드 학년 8문제
삼각형 하나를 떠올려 봅시다. 그 안에는 세 각이 있어요.
이 세 각의 크기의 비가 3:3:4 예요. 즉, 세 각의 크기를 모두 합한 값을 3+3+4=10 등분했을 때, 각각의 각은 3 칸, 3 칸, 4 칸을 차지합니다.
삼각형 안의 세 각의 합은 언제나 180 도입니다.
가장 큰 각은 몇 도일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 어떤 삼각형의 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룹니다. 이 세 각 중 가장 큰 각의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.
주어진 것: 삼각형 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룬다; 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 이다; 선택지: (A) $18$, (B) $36$, (C) $60$, (D) $72$, (E) $90$ (단위: 도)
구하는 것: 세 각 중 가장 큰 각의 크기(도)
이해
문제 재정리: 어떤 삼각형의 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룹니다. 이 세 각 중 가장 큰 각의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.
주어진 것: 삼각형 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룬다; 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 이다; 선택지: (A) $18$, (B) $36$, (C) $60$, (D) $72$, (E) $90$ (단위: 도)
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다 — (a) "비례 한 칸" 이 몇 도인지 먼저 구하고, (b) 그 한 칸 값을 가지고 가장 큰 각의 크기를 만든다. $3:3:4$ 의 비에는 $3+3+4=10$ 개의 같은 칸이 들어 있고, 이 $10$ 칸이 삼각형의 $180^\circ$ 를 나눠 가지므로 한 칸은 $180^\circ \div 10$ 으로 바로 나옵니다. 한 칸 크기만 알면 가장 큰 각($4$ 칸)은 곱셈 한 번으로 끝납니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 보조 도구로, 정답이 "$4$ 칸짜리" 이려면 $4$ 의 배수에 가까운 값이어야 하고 세 각의 합이 $180^\circ$ 가 돼야 한다는 두 조건으로 다른 선택지를 빠르게 걸러 줍니다.
실행 — 정답: D
3.OA.D.8 단계 1 - 비를 이루는 부분들을 모두 더해서 $180^\circ$ 가 몇 개의 같은 칸으로 나눠지는지 확인합니다.
- 비 $3:3:4$ 는 $3+3+4=10$ 칸으로 이루어져 있습니다.
💡 비의 각 부분을 그대로 더해 칸 수를 세는 것은 3학년 한·두 단계 사칙연산 문장제 그대로입니다.
8.G.A.5 단계 2 - 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 라는 사실을 사용합니다.
- 그러면 $10$ 개의 같은 칸이 정확히 $180^\circ$ 안에 들어가므로, 한 칸 크기는 나눗셈 한 번으로 구할 수 있습니다.
💡 "삼각형의 세 내각의 합 $= 180^\circ$" 라는 사실 자체는 8학년에서 비형식적으로 정당화하는 각의 합 정리입니다.
4.OA.A.2 단계 3 비에서 가장 큰 각은 $4$ 칸짜리 부분이므로, 한 칸 크기에 $4$ 를 곱해서 도(°) 단위로 표현합니다.
💡 "한 칸의 $4$ 배" 라는 곱셈 비교는 4학년 곱셈적 비교 그대로입니다.
4.MD.C.7 단계 4 - 세 각을 다시 더해서 합이 정말 $180^\circ$ 가 되는지 확인합니다 — $3$ 칸 $+ 3$ 칸 $+ 4$ 칸.
- 이 한 번의 검증으로 다른 보기들은 모두 탈락합니다.
💡 각의 부분들을 더해 전체와 같은지 확인하는 것은 4학년 "각의 크기는 더할 수 있다" 개념 그대로입니다.
3.OA.D.8 비를 이루는 부분들을 모두 더해서 $180^\circ$ 가 몇 개의 같은 칸으로 나눠지는지 확인합니다. 비 $3:3:4$ 는 $3+3+4=10$ 8.G.A.5 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 라는 사실을 사용합니다. 그러면 $10$ 개의 같은 칸이 정확히 $180^\circ$ 4.OA.A.2 비에서 가장 큰 각은 $4$ 칸짜리 부분이므로, 한 칸 크기에 $4$ 를 곱해서 도(°) 단위로 표현합니다. 4.MD.C.7 세 각을 다시 더해서 합이 정말 $180^\circ$ 가 되는지 확인합니다 — $3$ 칸 $+ 3$ 칸 $+ 4$ 칸. 이 한 번의 검증으로 다 검토
합리성 확인: 세 각은 $54^\circ, 54^\circ, 72^\circ$ 로 나오는데, 모두 양수이고 모두 $180^\circ$ 보다 작으며 합이 정확히 $180^\circ$ 입니다. 작은 두 각이 같은 이등변삼각형이고, 가장 큰 각이 다른 두 각보다 살짝만 더 크다는 점은 $3:3:4$ 라는 "균형 잡힌" 비와 잘 맞습니다. 가장 큰 각 $72^\circ$ 가 $90^\circ$ 보다 작으니 예각삼각형이며, 이는 $3:3:4$ 라는 완만한 비가 만들어 내는 모양으로 자연스럽습니다. 정답 (D) $72^\circ$ 는 크기가 적절합니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 가장 큰 각은 $180^\circ$ 의 정확히 $\tfrac{4}{10} = \tfrac{2}{5}$ 여야 하므로 $\tfrac{2}{5} \times 180 = 72$ — (D) 만 일치합니다. 또는 각 보기를 $4$ 로 나눠서 "한 칸" 후보를 구하고, $10$ 칸의 합이 $180^\circ$ 가 되는지 확인해도 됩니다 — $72 \div 4 = 18$, $10 \times 18 = 180$ 으로 (D) 만 통과합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
3.OA.D.8사칙연산을 활용한 두 단계 문장제 해결 (100 이내) (비의 각 부분을 더해 총 칸 수 $3+3+4=10$ 을 구하는 데 사용.)8.G.A.5각의 합 및 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 설명 (삼각형 세 내각의 합이 $180^\circ$ 라는 사실을 적용해 $10$ 개의 비례 칸이 전체 $180^\circ$ 에 맞춰지도록 함.)4.OA.A.2곱셈적 비교를 포함한 문장제를 곱하기 또는 나누기로 해결 (가장 큰 각의 크기를 "한 칸의 $4$ 배" 인 $4 \times 18^\circ = 72^\circ$ 로 계산.)4.MD.C.7각의 크기는 더할 수 있다는 성질로 덧셈·뺄셈 문제 해결 (세 각의 합 $54^\circ + 54^\circ + 72^\circ = 180^\circ$ 를 더해서 비례 분할이 전체와 맞는지 검증.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "삼각형 세 내각의 합 = $180^\circ$" 한 가지 사실만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "삼각형 세 내각의 합 = $180^\circ$" 한 가지 사실만 알면 풀 수 있어요!
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