AMC 8 · 2018 · #10

쉬운 모드 학년 5

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문제

"조화평균"이라는 새로운 말이 나옵니다. 어렵게 들리지만, 사실은 작은 세 단계로 이루어진 계산이에요.

1단계: 각 수를 뒤집어 줍니다. 수를 뒤집는다는 건 $1$ 을 그 수 위에 올리는 거예요. 그러면 $2$ 는 $\frac{1}{2}$ 가 되고, $5$ 는 $\frac{1}{5}$ 이 됩니다.

2단계: 뒤집은 수들의 평균을 구합니다. (평균은 모두 더한 다음, 개수로 나누는 거예요.)

3단계: 그 평균을 다시 한 번 뒤집습니다. 이렇게 나온 값이 바로 조화평균입니다.

$1$ , $2$ , $4$ 의 조화평균은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{7}$

(B)

$\frac{7}{12}$

(C)

$\frac{12}{7}$

(D)

$\frac{7}{4}$

(E)

$\frac{7}{3}$

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 문제는 0이 아닌 수들의 "조화 평균"을 새로 정의해 줍니다 — 각 수의 역수를 구해 그 평균을 낸 다음, 그 평균의 역수를 다시 취한 값입니다. 이 정의를 그대로 $\{1, 2, 4\}$ 에 적용해서 (A)~(E) 중 맞는 분수를 골라야 합니다.

주어진 것: 주어진 수의 모음: $\{1, 2, 4\}$; 조화 평균의 정의 $=$ (역수들의 평균)의 역수; 선택지: (A) $\frac{3}{7}$, (B) $\frac{7}{12}$, (C) $\frac{12}{7}$, (D) $\frac{7}{4}$, (E) $\frac{7}{3}$

구하는 것: $1$, $2$, $4$ 의 조화 평균 값 (선택지 중 하나의 분수)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

조화 평균의 정의는 한 문장 안에 작은 연산 세 개가 줄줄이 묶여 있습니다 — (1) 각 수를 역수로 바꾸고, (2) 그 역수들의 평균을 내고, (3) 그 평균의 역수를 다시 취하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞는 도구라, 세 개의 쉬운 소문제로 따로 떼어서 차례로 처리하면 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)는 마지막에 든든한 안전장치 역할을 합니다: 입력값이 모두 $1$ 이상이므로 조화 평균은 $1$ 보다 크고, 산술 평균 $\frac{7}{3}$ 보다는 작아야 하니, 이 사실만으로도 (A) 와 (B) 는 바로 지워집니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NF.A.1 단계 1

소문제 1 — $\{1, 2, 4\}$ 의 각 수를 역수로 바꿉니다.
수 $x$ 의 역수는 $\frac{1}{x}$ 이므로 역수의 모음은 $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ 가 됩니다.

$$\left\{\frac{1}{1},\; \frac{1}{2},\; \frac{1}{4}\right\} = \left\{1,\; \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{4}\right\}$$

💡 역수 $\frac{1}{x}$ 는 "전체를 $x$ 등분 한 것 중 한 조각" 이라는 3학년 단위 분수 개념 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 2

소문제 2-① — 세 역수를 더합니다.
공통분모 $4$ 를 잡아서 $1 = \frac{4}{4}$, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ 로 바꾼 뒤 분자만 더하면 됩니다.

$$1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{4}{4} + \tfrac{2}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}$$

💡 분모가 서로 다른 분수의 덧셈을 공통분모로 통분해서 푸는 것은 5학년 분수 단원의 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.7 단계 3

소문제 2-② — 이 합을 수의 개수 $3$ 으로 나눠 평균을 구합니다.
분수를 자연수로 나누는 것은 그 자연수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\text{평균} = \dfrac{\tfrac{7}{4}}{3} = \tfrac{7}{4} \times \tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{12}$$

💡 분수를 자연수로 나누는 계산은 5학년 "역수를 곱해서 나눗셈을 하기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NF.A.1 단계 4

소문제 3 — 정의대로 마지막에 평균의 역수를 한 번 더 취합니다.
$\frac{7}{12}$ 의 분자와 분모를 뒤집기만 하면 됩니다.

$$\text{조화 평균} = \dfrac{1}{\tfrac{7}{12}} = \tfrac{12}{7}$$

💡 분수의 역수를 "위아래 뒤집기" 로 이해하는 것은 3학년 단위 분수 감각의 자연스러운 연장입니다.

#3 가능성 지우기 4.NF.A.2 단계 5

선택지로 마지막 확인.
$\frac{12}{7} \approx 1.71$ 은 $1$ 과 산술 평균 $\frac{1+2+4}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ 사이에 깔끔하게 들어옵니다 — 조화 평균이 만족해야 하는 잘 알려진 부등식입니다.
(A) $\frac{3}{7}$ 와 (B) $\frac{7}{12}$ 는 $1$ 보다 작아 탈락, (E) $\frac{7}{3}$ 은 산술 평균이라 함정 선택지, 그래서 답은 (C).

$$\tfrac{12}{7} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\frac{12}{7}$ 과 $\frac{7}{3}$ 같은 분수들의 크기를 비교하는 것은 4학년 분수 비교 추론입니다.

[1] #7 3.NF.A.1 소문제 1 — $\{1, 2, 4\}$ 의 각 수를 역수로 바꿉니다. 수 $x$ 의 역수는 $\frac{1}{x}$ 이므로 역수의 모음은 $1$

[2] #7 5.NF.A.1 소문제 2-① — 세 역수를 더합니다. 공통분모 $4$ 를 잡아서 $1 = \frac{4}{4}$, $\frac{1}{2} = \frac{2}{

[3] #7 5.NF.B.7 소문제 2-② — 이 합을 수의 개수 $3$ 으로 나눠 평균을 구합니다. 분수를 자연수로 나누는 것은 그 자연수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

[4] #7 3.NF.A.1 소문제 3 — 정의대로 마지막에 평균의 역수를 한 번 더 취합니다. $\frac{7}{12}$ 의 분자와 분모를 뒤집기만 하면 됩니다.

[5] #3 4.NF.A.2 선택지로 마지막 확인. $\frac{12}{7} \approx 1.71$ 은 $1$ 과 산술 평균 $\frac{1+2+4}{3} = \frac{

검토

합리성 확인: 양수들의 조화 평균은 항상 "최솟값 이상, 산술 평균 이하" 라는 범위에 갇힙니다. 여기서는 최솟값이 $1$, 산술 평균이 $\frac{7}{3} \approx 2.33$ 이므로, 진짜 조화 평균은 $1 \le H \le \tfrac{7}{3}$ 사이여야 합니다. 우리의 답 $\frac{12}{7} \approx 1.71$ 은 이 범위 한가운데에 잘 들어옵니다. (A), (B) 는 $1$ 보다 작아서 불가능, (E) 는 산술 평균 그 자체라 함정, (D) $\frac{7}{4} = 1.75$ 는 크기는 그럴듯하지만 실제 계산을 통과하지 못합니다. 안전 범위와 정확한 계산, 두 검증을 모두 통과하는 건 (C) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 정의의 다른 형태에 직접 적용해 보면 더 빠릅니다. 조화 평균을 $H$ 라 두면 $\frac{1}{H} = \frac{1}{3}\!\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{7}{12}$ 이므로, 우리는 "역수가 $\frac{7}{12}$ 인 선택지" 만 찾으면 됩니다. 선택지를 뒤집어 보면 (A) $\frac{7}{3}$, (B) $\frac{12}{7}$, (C) $\frac{7}{12}$ ✓, (D) $\frac{4}{7}$, (E) $\frac{3}{7}$ 로, 일치하는 건 (C) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.NF.A.1 분수를 전체의 부분으로 이해하기 (각 수의 역수 $\frac{1}{x}$ 를 3학년 단위 분수 개념으로 구성하고, 마지막에 $\frac{7}{12}$ 를 뒤집어 $\frac{12}{7}$ 로 만드는 데 같은 개념을 적용.)
4.NF.A.2 분자와 분모가 모두 다른 두 분수의 크기 비교 (답을 선택지와 대조할 때 $\frac{12}{7}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{7}{4}$ 같은 분수의 크기를 비교하는 데 사용.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (각 항을 공통분모 $4$ 로 통분해서 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$ 를 계산하는 데 사용.)
5.NF.B.7 단위 분수를 자연수로 나누는 나눗셈으로 나눗셈 개념 확장 (조화 평균 정의의 두 번째 조각인 "역수들의 평균" 을 구하기 위해 합 $\frac{7}{4}$ 를 $3$ 으로 나누어 $\frac{7}{12}$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분수 덧셈" 과 "분수를 자연수로 나누기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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