AMC 8 · 2018 · #16
쉬운 모드 학년 5문제
책장에 책 9권이 나란히 꽂혀 있다고 생각해 봅시다. 모두 서로 다른 책이에요.
이 중 2권은 아랍어 책, 3권은 독일어 책, 4권은 스페인어 책입니다.
장 교수님은 두 가지 규칙을 지키면서 책을 줄 세우려고 해요:
- 아랍어 책 2권은 바로 옆에 붙어 있어야 합니다. 그 사이에 다른 책이 들어가면 안 돼요.
- 스페인어 책 4권도 모두 줄줄이 붙어 있어야 합니다. 그 사이에도 다른 책이 끼면 안 돼요.
독일어 책 3권은 어디에 놓아도 괜찮습니다.
이렇게 9권의 책을 줄 세우는 방법은 모두 몇 가지일까요?
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 장 교수는 책장 한 줄에 서로 다른 어학 책 $9$ 권 — 아랍어 $2$ 권, 독일어 $3$ 권, 스페인어 $4$ 권 — 을 늘어놓으려 합니다. 단, 아랍어 책 $2$ 권은 서로 붙어 있어야 하고(한 덩어리), 스페인어 책 $4$ 권도 서로 붙어 있어야 합니다(또 한 덩어리). 독일어 책 $3$ 권에는 자리 제약이 없습니다. 이 두 "붙어 있어야 한다" 조건을 모두 지키는 책장 배열은 몇 가지일까요?
주어진 것: 서로 다른 책 총 $9$ 권; 서로 이웃해야 하는 아랍어 책 $2$ 권; 서로 이웃해야 하는 스페인어 책 $4$ 권; 자리 제약이 없는 독일어 책 $3$ 권; 선택지: (A) $1{,}440$, (B) $2{,}880$, (C) $5{,}760$, (D) $182{,}440$, (E) $362{,}880$
구하는 것: 두 가지 "붙어 있어야 한다" 조건을 모두 지키는 $9$ 권 책의 배열 수
이해
문제 재정리: 장 교수는 책장 한 줄에 서로 다른 어학 책 $9$ 권 — 아랍어 $2$ 권, 독일어 $3$ 권, 스페인어 $4$ 권 — 을 늘어놓으려 합니다. 단, 아랍어 책 $2$ 권은 서로 붙어 있어야 하고(한 덩어리), 스페인어 책 $4$ 권도 서로 붙어 있어야 합니다(또 한 덩어리). 독일어 책 $3$ 권에는 자리 제약이 없습니다. 이 두 "붙어 있어야 한다" 조건을 모두 지키는 책장 배열은 몇 가지일까요?
주어진 것: 서로 다른 책 총 $9$ 권; 서로 이웃해야 하는 아랍어 책 $2$ 권; 서로 이웃해야 하는 스페인어 책 $4$ 권; 자리 제약이 없는 독일어 책 $3$ 권; 선택지: (A) $1{,}440$, (B) $2{,}880$, (C) $5{,}760$, (D) $182{,}440$, (E) $362{,}880$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
$9!$ 가지 배열을 모두 늘어놓고 조건을 거르는 건 손으로 할 수 없으니, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 그림을 줄여 봅니다 — "붙어 있어야 하는" 그룹을 각각 한 권짜리 큰 책(블록)으로 묶어 배열할 단위 수를 확 줄이고, $3!=6$ 같은 작은 사례로 패턴을 먼저 눈에 익힙니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 개수를 세 조각 — 5개 단위의 바깥 배열, 아랍어 블록 내부 배열, 스페인어 블록 내부 배열 — 으로 나눠 곱의 법칙으로 합칩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 "식이 잘 와닿지 않을 때" 백업 — 아랍어 쌍의 $2$ 가지 순서, 스페인어 네 권의 $24$ 가지 순서를 직접 나열해 보면 내부 개수가 손에 잡힙니다.
실행 — 정답: C
3.OA.A.1 단계 1 - "붙어 있어야 하는" 그룹을 각각 "하나의 큰 책" 으로 묶습니다.
- 아랍어 $2$ 권은 블록 $\mathbf{A}$, 스페인어 $4$ 권은 블록 $\mathbf{S}$ 로 묶고, 독일어 $G_1, G_2, G_3$ 은 그대로 둡니다.
- 그러면 책장에 늘어놓을 "덩어리" 가 $9$ 개에서 $5$ 개로 확 줄어듭니다.
💡 함께 다녀야 하는 것들을 하나로 묶는 건 3학년 "$5$ 묶음씩 몇 개" 와 같은 발상 — 여러 개를 한 그룹으로 줄여서 세기 편하게 만듭니다.
5.NBT.B.5 단계 2 - $5$ 개 단위를 한 줄로 늘어놓는 가짓수를 셉니다.
- 도구 #9 의 미니 사례로 검증해 봅시다: $3$ 개 단위는 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — $3! = 6$ 가지.
- 같은 논리로 $5$ 개 단위는 $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ 가지입니다.
💡 $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ 의 계산은 5학년 다자릿수 곱셈; 작은 $3!$ 사례가 "왜 내림차순 곱이 되는지" 를 보여 줍니다.
3.OA.A.1 단계 3 - 이번엔 아랍어 블록 "안" 으로 들어가 봅시다.
- 블록 안에서 두 권 $a_1, a_2$ 가 들어설 수 있는 순서는 $a_1 a_2$, $a_2 a_1$ — 도구 #2(빠짐없이 나열) 로도 확인되는 딱 $2! = 2$ 가지입니다.
💡 쌍의 내부 순서 $2$ 가지를 직접 나열하는 건 3학년에서 배우는 "$2$ 묶음에 $1$ 개씩" 수준의 가장 단순한 배열 세기입니다.
5.NBT.B.5 단계 4 - 스페인어 블록도 똑같이 안을 들여다봅니다.
- 서로 다른 네 권 $s_1, s_2, s_3, s_4$ 가 블록 안에서 늘어설 수 있는 순서는 $4! = 24$ 가지입니다.
- 도구 #2 로 "첫 자리에 $s_1$ 고정 → 나머지 세 권을 나열" 식으로 차근차근 적어 보면 $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ 가지가 나옵니다.
💡 $4 \times 3 \times 2 \times 1$ 은 5학년 다자릿수 곱셈; 빠짐없이 나열하면 "새 책 한 권이 들어올 때마다 그 자리 후보 수만큼 곱해진다" 가 눈에 보입니다.
5.OA.A.2 단계 5 - 이제 세 가지 독립적인 선택 — 바깥 $5$ 개 단위 배열, 아랍어 내부 배열, 스페인어 내부 배열 — 을 곱의 법칙으로 한꺼번에 합칩니다.
- 그 결과가 선택지 (C) 와 일치합니다.
💡 총 개수를 $5! \times 2! \times 4!$ 라는 한 줄 식으로 적어 두는 건 5학년 "계산을 식으로 기록하기" — 세 개의 독립 선택을 하나의 계산으로 묶어 줍니다.
3.OA.A.1 "붙어 있어야 하는" 그룹을 각각 "하나의 큰 책" 으로 묶습니다. 아랍어 $2$ 권은 블록 $\mathbf{A}$, 스페인어 $4$ 권은 블록 5.NBT.B.5 $5$ 개 단위를 한 줄로 늘어놓는 가짓수를 셉니다. 도구 #9 의 미니 사례로 검증해 봅시다: $3$ 개 단위는 ABC, ACB, BAC, B 3.OA.A.1 이번엔 아랍어 블록 "안" 으로 들어가 봅시다. 블록 안에서 두 권 $a_1, a_2$ 가 들어설 수 있는 순서는 $a_1 a_2$, $a_2 5.NBT.B.5 스페인어 블록도 똑같이 안을 들여다봅니다. 서로 다른 네 권 $s_1, s_2, s_3, s_4$ 가 블록 안에서 늘어설 수 있는 순서는 $4! 5.OA.A.2 이제 세 가지 독립적인 선택 — 바깥 $5$ 개 단위 배열, 아랍어 내부 배열, 스페인어 내부 배열 — 을 곱의 법칙으로 한꺼번에 합칩니다. 그 검토
합리성 확인: 조건 없이 $9$ 권을 늘어놓는 경우의 수는 $9! = 362{,}880$ (선택지 (E)) 입니다. "붙어 있어야 한다" 라는 제약은 이 수를 *줄여야* 하므로 답은 $9!$ 보다 훨씬 작아야 하고, $5{,}760$ 은 $9!$ 의 약 $\tfrac{1}{63}$ 로 충분히 줄어든 모습입니다. 거꾸로 추정해 봐도: $9!$ 중 아랍어 쌍이 이웃한 비율은 약 $\tfrac{2}{9}$, 스페인어 네 권이 한 덩어리인 비율은 약 $\tfrac{4! \cdot 6!}{9!} = \tfrac{1}{21}$ 이고, $9! \cdot \tfrac{2}{9} \cdot \tfrac{1}{21} \approx 3{,}840$ — $5{,}760$ 과 자릿수가 같은 안정적인 어림셈입니다. 반대로 (D) $182{,}440$, (E) $362{,}880$ 은 "제약이 거의 안 줄였다" 는 뜻이라 상식 검토를 통과하지 못합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 가지치기할 수도 있습니다. 답은 바깥 배열 $5! = 120$ 으로 나누어떨어져야 하므로 $120$ 의 배수가 아닌 (D) $182{,}440 \div 120 = 1520.33\ldots$ 은 탈락. 또 스페인어 내부 배열 $4! = 24$ 의 배수여야 하는데 (A) $1{,}440 = 60 \cdot 24$, (B) $2{,}880 = 120 \cdot 24$, (C) $5{,}760 = 240 \cdot 24$ 는 모두 통과, (E) $362{,}880 = 9!$ 는 "제약이 아무것도 줄이지 않은 값" 이라 모순. 마지막으로 $5! = 120$ 위에 아랍어 $\times 2$, 스페인어 $\times 24$ 가 함께 곱해져야 하므로 $120 \times 2 \times 24 = 5{,}760$ — 정확히 (C) 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
3.OA.A.1자연수의 곱을 "묶음 안 물건의 총 수" 로 해석하기 (아랍어 쌍과 스페인어 네 권을 "한 묶음" 으로 보고, 그 내부 배열 ($2!$, $4!$) 을 "묶음 안 물건 수" 로 읽는 데 사용.)5.NBT.B.5다자릿수 자연수의 능숙한 곱셈 ($5! = 120$, $4! = 24$, 그리고 최종 곱 $120 \times 2 \times 24 = 5{,}760$ 등 모든 다자릿수 곱셈에 사용.)5.OA.A.2계산을 단순한 식으로 기록하기 (곱의 법칙을 $5! \times 2! \times 4!$ 이라는 한 줄 식으로 적어, 세 개의 독립 선택을 하나의 계산으로 묶어 표현.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 그룹을 한 덩어리로 묶고 $5! \times 2! \times 4!$ 만 계산하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 그룹을 한 덩어리로 묶고 $5! \times 2! \times 4!$ 만 계산하면 끝!
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