AMC 8 · 2019 · #17
쉬운 모드 학년 5문제
아래는 분수들을 길게 곱한 식입니다. 패턴을 잘 살펴보세요.
(2⋅21⋅3)(3⋅32⋅4)(4⋅43⋅5)⋯(98⋅9897⋅99)(99⋅9998⋅100)
각 분수의 모양이 모두 비슷합니다. 분자는 두 수를 곱한 것이고, 분모도 두 수를 곱한 것입니다.
첫 번째 분수를 보면 분자는 1⋅3, 분모는 2⋅2 입니다. 두 번째 분수는 모든 수가 1씩 커집니다. 분자는 2⋅4, 분모는 3⋅3 이에요. 마지막 분수는 분자가 98⋅100, 분모가 99⋅99 입니다.
이 모든 분수를 다 곱하면 얼마가 될까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\frac{k \cdot (k+2)}{(k+1) \cdot (k+1)}$ 꼴의 분수를 $k = 1$ 부터 $k = 98$ 까지 총 $98$ 개 곱한 값을 구하는 문제입니다. 첫 항은 $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}$ 이고 마지막 항은 $\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}$ 입니다. 이 거대한 곱이 어떤 한 개의 분수로 정리될까요?
주어진 것: 각 항의 모양은 $\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}$; 첫 항은 $k = 1$ 일 때 $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}$; 마지막 항은 $k = 98$ 일 때 $\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}$; $k = 1$ 부터 $98$ 까지 총 $98$ 개의 항을 모두 곱함; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{50}{99}$, (C) $\tfrac{9800}{9801}$, (D) $\tfrac{100}{99}$, (E) $50$
구하는 것: $98$ 개 분수의 곱을 한 개의 분수로 정리한 정확한 값
이해
문제 재정리: $\frac{k \cdot (k+2)}{(k+1) \cdot (k+1)}$ 꼴의 분수를 $k = 1$ 부터 $k = 98$ 까지 총 $98$ 개 곱한 값을 구하는 문제입니다. 첫 항은 $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}$ 이고 마지막 항은 $\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}$ 입니다. 이 거대한 곱이 어떤 한 개의 분수로 정리될까요?
주어진 것: 각 항의 모양은 $\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}$; 첫 항은 $k = 1$ 일 때 $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}$; 마지막 항은 $k = 98$ 일 때 $\frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}$; $k = 1$ 부터 $98$ 까지 총 $98$ 개의 항을 모두 곱함; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{50}{99}$, (C) $\tfrac{9800}{9801}$, (D) $\tfrac{100}{99}$, (E) $50$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기
$98$ 개의 항을 한꺼번에 곱하는 건 너무 큽니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 알려 주는 길은 단순합니다 — $2$ 개, $3$ 개, $4$ 개만 곱해 보고 결과가 어떻게 변하는지 관찰한 뒤 일반 공식을 추측합니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 그 작은 결과들을 깔끔한 규칙으로 읽어 냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 는 가장 깔끔한 지름길을 줍니다 — 각 항을 $\frac{k}{k+1} \cdot \frac{k+2}{k+1}$ 두 조각으로 쪼개면 곱 전체가 두 개의 연쇄 약분(telescoping)으로 변해 한 줄 만에 무너집니다. 작은 사례로 공식을 발견하고, 연쇄 약분으로 그 공식을 확인하는 이중 검증 전략입니다.
실행 — 정답: B
5.NF.B.4 단계 1 - 먼저 가장 쉬운 경우 — 앞에서부터 $2$ 개만 곱해 봅니다 ($k = 1, 2$).
- 분자끼리, 분모끼리 곱하면 됩니다.
💡 작은 분수 몇 개를 곱하는 건 (분자 $\times$ 분자) / (분모 $\times$ 분모) — 5학년 분수 곱셈 그대로입니다.
5.NF.B.4 단계 2 - 이번에는 항을 $3$ 개로 늘려 봅니다 ($k = 1, 2, 3$).
- 분모·분자에서 같은 수들이 약분되는 모습을 잘 봅니다.
💡 두 번째 작은 사례를 풀어 보면 살아남는 분자·분모의 규칙이 슬슬 보이기 시작합니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 작은 사례들을 한 줄로 정리해 패턴을 읽습니다.
- 항의 개수를 $n$ 이라 하면, 남는 분자·분모는 정확히 '끝쪽 숫자' 들로만 구성됩니다.
💡 주어진 규칙대로 숫자 패턴을 만들어 일반항을 추측하는 것은 4학년 패턴 표준 그대로입니다.
5.NF.B.4 단계 4 - 패턴을 확인하기 위해 각 항을 두 조각으로 쪼개 연쇄 약분을 살펴봅니다.
- $\frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \frac{k}{k+1} \cdot \frac{k+2}{k+1}$ 로 쪼개면 전체 곱이 두 줄의 연쇄 — $\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{98}{99}\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{100}{99}\right)$ — 로 분리됩니다.
- 각 연쇄에서 가운데 숫자들은 이웃한 분수와 약분되어 모두 사라집니다.
💡 하나의 어려운 분수를 두 개의 친절한 분수로 쪼개고, 같은 숫자가 위·아래에서 약분되는 것을 보는 게 도구 #7 의 핵심입니다.
5.NF.B.4 단계 5 두 연쇄의 결과를 곱해 최종값을 얻고, 위에서 추측한 공식 ($n = 98$ 대입: $\frac{1 \cdot 100}{2 \cdot 99} = \frac{100}{198} = \frac{50}{99}$) 과도 일치하는지 확인합니다.
💡 작은 사례에서 찾은 패턴과 연쇄 약분 지름길이 모두 $\frac{50}{99}$ 로 맞아떨어지므로 답이 확정됩니다.
5.NF.B.4 먼저 가장 쉬운 경우 — 앞에서부터 $2$ 개만 곱해 봅니다 ($k = 1, 2$). 분자끼리, 분모끼리 곱하면 됩니다. 5.NF.B.4 이번에는 항을 $3$ 개로 늘려 봅니다 ($k = 1, 2, 3$). 분모·분자에서 같은 수들이 약분되는 모습을 잘 봅니다. 4.OA.C.5 작은 사례들을 한 줄로 정리해 패턴을 읽습니다. 항의 개수를 $n$ 이라 하면, 남는 분자·분모는 정확히 '끝쪽 숫자' 들로만 구성됩니다. 5.NF.B.4 패턴을 확인하기 위해 각 항을 두 조각으로 쪼개 연쇄 약분을 살펴봅니다. $\frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \frac{k}{k+1} 5.NF.B.4 두 연쇄의 결과를 곱해 최종값을 얻고, 위에서 추측한 공식 ($n = 98$ 대입: $\frac{1 \cdot 100}{2 \cdot 99} = 검토
합리성 확인: 각 항 $\frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = 1 - \frac{1}{(k+1)^2}$ 는 $1$ 보다 살짝 작은 값입니다 (예: $\frac{1 \cdot 3}{4} = 0.75$, $\frac{2 \cdot 4}{9} \approx 0.889$, $\frac{3 \cdot 5}{16} \approx 0.9375$ 식으로 $1$ 에 다가갑니다). $1$ 보다 작은 수를 $98$ 번 곱하면 결과는 반드시 $1$ 보다 작아야 하고, 특히 앞쪽 항들이 결과를 $1$ 에서 멀리 끌어내립니다. $\frac{50}{99} \approx 0.505$ — 거의 $\frac{1}{2}$ — 는 이 직관과 정확히 일치합니다. (A) $\frac{1}{2}$ 는 위험하게 가깝지만 공식상 정확한 값은 $\frac{50}{99}$ 이지 $\frac{1}{2}$ 가 아니며, (C) $\frac{9800}{9801}$ 은 $1$ 에 너무 가까워 앞쪽 항들의 영향이 무시된 결과라 틀렸고, (D), (E) 는 $1$ 보다 크니 애초에 불가능합니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 만으로도 충분합니다. $n = 2, 3, 4$ 일 때 각각 $\frac{4}{6}, \frac{5}{8}, \frac{6}{10}$ 이므로 일반항은 $\frac{n+2}{2(n+1)}$ 입니다. $n = 98$ 을 대입하면 $\frac{100}{2 \cdot 99} = \frac{50}{99}$ — 연쇄 약분 논증 없이도 같은 답에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ($n = 2, 3, 4$ 의 작은 사례 결과를 규칙으로 읽어 일반항 $\frac{n+2}{2(n+1)}$ 를 추측하는 데 사용.)5.NF.B.4분수 곱셈 — 분수와 분수의 곱으로 확장 ($\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ 로 작은 사례들을 직접 곱하고, 항을 쪼개 연쇄 약분으로 두 줄의 곱을 각각 $\frac{1}{99}$ 와 $50$ 으로 정리하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우 몇 개로 패턴을 찾으면 거대한 곱이 저절로 정리돼요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 경우 몇 개로 패턴을 찾으면 거대한 곱이 저절로 정리돼요!
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