AMC 8 · 2022 · #8
쉬운 모드 학년 5문제
분수가 한 줄로 죽 늘어서서 곱해져 있다고 상상해봅시다. 첫 번째 분수는 31, 두 번째 분수는 42, 세 번째 분수는 53이에요. 이런 식으로 계속 이어집니다.
각 분수에서 아래 숫자(분모)는 위 숫자(분자)보다 2만큼 큽니다. 위 숫자는 1,2,3,… 이렇게 20까지 차례대로 나옵니다. 그래서 마지막 분수는 2220이에요.
이 분수들을 모두 곱하면 얼마가 될까요?
31⋅42⋅53⋯2018⋅2119⋅2220?
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 긴 곱셈 $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdots\frac{18}{20}\cdot\frac{19}{21}\cdot\frac{20}{22}$ 의 값을 구하는 문제입니다. $k$ 번째 분수가 $\frac{k}{k+2}$ 꼴이고, $k$ 는 $1$ 부터 $20$ 까지 움직입니다. 보기 (A) $\tfrac{1}{462}$, (B) $\tfrac{1}{231}$, (C) $\tfrac{1}{132}$, (D) $\tfrac{2}{213}$, (E) $\tfrac{1}{22}$ 중 답을 고르면 됩니다.
주어진 것: 곱해야 할 분수가 모두 $20$ 개; $k$ 번째 분수는 $\frac{k}{k+2}$ 꼴 ($k = 1, 2, \ldots, 20$); 분자에는 $1, 2, 3, \ldots, 20$ 이 한 번씩 등장; 분모에는 $3, 4, 5, \ldots, 22$ 가 한 번씩 등장; 보기: (A) $\tfrac{1}{462}$, (B) $\tfrac{1}{231}$, (C) $\tfrac{1}{132}$, (D) $\tfrac{2}{213}$, (E) $\tfrac{1}{22}$
구하는 것: $20$ 개 분수의 곱을 기약분수로 정리한 값
이해
문제 재정리: 긴 곱셈 $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdots\frac{18}{20}\cdot\frac{19}{21}\cdot\frac{20}{22}$ 의 값을 구하는 문제입니다. $k$ 번째 분수가 $\frac{k}{k+2}$ 꼴이고, $k$ 는 $1$ 부터 $20$ 까지 움직입니다. 보기 (A) $\tfrac{1}{462}$, (B) $\tfrac{1}{231}$, (C) $\tfrac{1}{132}$, (D) $\tfrac{2}{213}$, (E) $\tfrac{1}{22}$ 중 답을 고르면 됩니다.
주어진 것: 곱해야 할 분수가 모두 $20$ 개; $k$ 번째 분수는 $\frac{k}{k+2}$ 꼴 ($k = 1, 2, \ldots, 20$); 분자에는 $1, 2, 3, \ldots, 20$ 이 한 번씩 등장; 분모에는 $3, 4, 5, \ldots, 22$ 가 한 번씩 등장; 보기: (A) $\tfrac{1}{462}$, (B) $\tfrac{1}{231}$, (C) $\tfrac{1}{132}$, (D) $\tfrac{2}{213}$, (E) $\tfrac{1}{22}$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
$20$ 개의 분수를 그대로 곱하면 분자·분모가 모두 $20$ 자리에 가까운 수가 됩니다 — AMC 8 시간 안에 손으로 풀기엔 무리이고, 곧 "숨은 구조를 찾아라" 라는 신호입니다. 도구 #5(패턴 찾기) 가 핵심: 분자에 등장하는 $k$ 가 두 칸 앞 분수($\frac{k-2}{k}$) 의 분모로 이미 등장해 있어서 거의 모든 항이 약분됩니다. 그 패턴을 손으로 먼저 확인하려고 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 분수 $3$ 개·$4$ 개짜리 미니 버전을 먼저 풀어 보고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기와 한 번 더 대조합니다.
실행 — 정답: B
5.NF.B.4 단계 1 - 같은 모양의 훨씬 짧은 곱부터 손으로 풀어 봅니다.
- 앞쪽 분수 세 개만 골라 $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}$ 를 계산합니다.
- 분자의 $3$ 과 분모의 $3$ 이 약분되어 $\frac{1\cdot 2}{4\cdot 5}$ 가 남고, 정리하면 $\frac{1}{10}$ 입니다.
💡 겁나 보이는 $20$ 개짜리 곱이 일단 $3$ 개짜리로 줄면 직접 계산이 됩니다.
4.OA.C.5 단계 2 - 분수 한 개를 더 붙여 패턴을 한 번 더 확인합니다.
- $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{6}$ 에서 위쪽의 $3$ 은 아래쪽 $3$ 과, 위쪽의 $4$ 는 아래쪽 $4$ 와 약분되어 — 분자에 "가장 작은" $1, 2$ 와 분모에 "가장 큰" $5, 6$ 만 살아남습니다.
💡 두 번째 케이스에서도 같은 모양 — "앞의 분자 두 개와 끝의 분모 두 개만 살아남는다" — 가 나오면 이 패턴이 진짜라는 신호입니다.
4.NF.A.1 단계 3 - 이 패턴을 원래 문제에 그대로 적용합니다.
- 전체 곱을 하나의 큰 분수로 적으면 $\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 20}{3\cdot 4\cdot 5\cdots 22}$ 입니다.
- $3$ 부터 $20$ 까지의 모든 수는 위·아래에 한 번씩 모두 들어 있어 짝지어 약분되고, 위에는 "아래에 짝이 없는" $1\cdot 2$ 만, 아래에는 "위에 짝이 없는" $21\cdot 22$ 만 남습니다.
💡 분자와 분모에서 같은 수를 똑같이 지워도 분수의 값은 그대로 — 짧아질 뿐입니다.
5.NF.B.4 단계 4 - 남은 작은 수들을 곱해 봅니다.
- 분자 $1\times 2 = 2$, 분모 $21\times 22 = 462$ 이므로 전체 곱은 $\frac{2}{462}$ 입니다.
💡 두 개의 작은 분수를 곱하는 것은 5학년 "분수 $\times$ 분수" 계산 그대로입니다.
4.NF.A.1 단계 5 - 분자와 분모를 공통인수 $2$ 로 나누어 기약분수로 만듭니다.
- $\frac{2}{462} = \frac{1}{231}$ 이고, 이는 보기 (B) 와 일치합니다.
- 나머지 보기 ($\tfrac{1}{462}$, $\tfrac{1}{132}$, $\tfrac{2}{213}$, $\tfrac{1}{22}$) 중 $\tfrac{2}{462}$ 와 같은 값은 없으므로 (B) 만 답이 됩니다.
💡 위·아래를 같은 수 $2$ 로 나누어 같은 값의 더 간단한 분수를 만드는 것은 4학년 "동치분수" 의 핵심 아이디어입니다.
5.NF.B.4 같은 모양의 훨씬 짧은 곱부터 손으로 풀어 봅니다. 앞쪽 분수 세 개만 골라 $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\fra 4.OA.C.5 분수 한 개를 더 붙여 패턴을 한 번 더 확인합니다. $\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{3}{5}\cdot\ 4.NF.A.1 이 패턴을 원래 문제에 그대로 적용합니다. 전체 곱을 하나의 큰 분수로 적으면 $\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots 20}{3\c 5.NF.B.4 남은 작은 수들을 곱해 봅니다. 분자 $1\times 2 = 2$, 분모 $21\times 22 = 462$ 이므로 전체 곱은 $\frac{2} 4.NF.A.1 분자와 분모를 공통인수 $2$ 로 나누어 기약분수로 만듭니다. $\frac{2}{462} = \frac{1}{231}$ 이고, 이는 보기 (B) 검토
합리성 확인: 각 인수 $\frac{k}{k+2}$ 는 모두 $1$ 보다 작은 양수이고, 그 곱을 $20$ 번 반복했으니 결과는 매우 작은 양의 분수여야 합니다 — $\tfrac{1}{231}$ 이 딱 그런 크기입니다. 또, 약분 전 $\tfrac{2}{462}$ 에서 $462 = 2\cdot 3\cdot 7\cdot 11 = 21\cdot 22$ 가 "분모에 남는 두 수는 $21, 22$" 라는 구조와 정확히 일치합니다. (A) $\tfrac{1}{462}$ 는 정답의 절반 크기로, 분자 생존자가 $1\cdot 2 = 2$ 인데 그냥 $1$ 로 본 실수에 해당하고, (E) $\tfrac{1}{22}$ 는 $21$ 배나 크기 때문에 분모에 남는 $21$ 을 빼먹은 실수에 해당합니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 로 한 줄에 정리할 수도 있습니다. $\prod_{k=1}^{20} \frac{k}{k+2} = \frac{20!}{22!/2!} = \frac{2!\cdot 20!}{22!} = \frac{2}{21\cdot 22} = \frac{1}{231}$. 식은 짧지만 "왜 약분되는가" 의 직관은 도구 #5·#9 가 더 잘 보여 주므로, 대수는 검산용으로 쓰는 게 좋습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 (분수 $3$ 개·$4$ 개짜리 미니 버전을 직접 계산하면서 "앞의 분자 두 개와 끝의 분모 두 개만 살아남는다" 는 규칙을 찾아내는 데 사용.)4.NF.A.1한 분수가 왜 다른 분수와 같은지 설명하기 (동치분수) (공통 묶음 $3\cdot 4\cdots 20$ 을 위·아래에서 약분하고, $\tfrac{2}{462}$ 를 $\tfrac{1}{231}$ 로 기약분수화하는 동치분수 아이디어.)5.NF.B.4분수 $\times$ 분수 곱셈으로 곱셈 이해 확장하기 (미니 버전 $\tfrac{1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 4\cdot 5}$ 와 마지막 생존자 $\tfrac{1\cdot 2}{21\cdot 22}$ 처럼 분자끼리·분모끼리 곱해 분수의 곱을 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 버전으로 약분 패턴을 먼저 찾으면, 무서워 보이던 $20$ 개짜리 곱이 결국 $\tfrac{1\cdot 2}{21\cdot 22}$ 로 줄어들어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 작은 버전으로 약분 패턴을 먼저 찾으면, 무서워 보이던 $20$ 개짜리 곱이 결국 $\tfrac{1\cdot 2}{21\cdot 22}$ 로 줄어들어요!
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