AMC 8 · 2023 · #10

쉬운 모드 학년 5

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문제

소풍 자리에 자두 파이 한 판이 통째로 놓여 있다고 떠올려 봅시다.

먼저, 해럴드가 파이의 $\frac{1}{4}$ 만큼을 먹습니다. 나머지는 그대로 두었어요.

그러자 무스 한 마리가 다가와서, 해럴드가 남긴 파이의 $\frac{1}{3}$ 을 먹어 버립니다.

무스가 떠난 뒤에는 호저 한 마리가 다가와서, 무스가 남긴 파이의 $\frac{1}{3}$ 을 또 먹습니다.

호저까지 떠난 지금, 원래 파이 한 판 중 몇 분의 몇이 아직 남아 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{1}{4}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{5}{12}$

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 해럴드가 자두 파이 한 판을 구워서 그중 $\tfrac{1}{4}$ 을 먹었습니다. 그러고 나서 무스가 해럴드가 남긴 양의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹고, 다시 호저(porcupine)가 무스가 남긴 양의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹었습니다. 호저까지 다 떠난 뒤, 처음 파이의 몇 분의 몇이 남아 있을까요?

주어진 것: 처음 파이는 한 판 전체, 즉 $1$; 해럴드는 처음 파이의 $\tfrac{1}{4}$ 을 먹는다; 무스는 해럴드가 남긴 양의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹는다; 호저는 무스가 남긴 양의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹는다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{12}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{5}{12}$

구하는 것: 호저가 떠난 뒤 **처음 파이** 기준으로 남아 있는 분수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제는 자꾸 "얼마나 먹었나?" 를 묻지만, 우리가 진짜 원하는 건 "얼마나 **남았나**?" 입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓰면 — $\tfrac{1}{3}$ 을 먹었다는 말은 곧 $1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}$ 를 **남겼다**는 뜻이니, 먹은 양을 빼는 대신 **남긴 분수끼리 곱하기**만 하면 됩니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사건을 세 단계(해럴드 → 무스 → 호저)로 나눠 각 단계의 "남은 분수" 를 차례로 곱해서 최종 답을 얻습니다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 5.NF.A.1 단계 1

해럴드의 먹기를 "남기기" 로 뒤집습니다.
해럴드는 처음 파이의 $\tfrac{1}{4}$ 을 먹었으니, $1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}$ 을 **남겼**습니다.
도구 #16의 핵심 — 먹은 양 말고 남은 양에 집중하기.

$$1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$

💡 전체 $1$ 에서 분수를 빼서 남은 양을 구하는 것은 5학년 분수 뺄셈 표준 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 5.NF.B.4 단계 2

무스에게도 같은 트릭을 적용합니다.
무스는 눈앞 파이의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹었으니 $\tfrac{2}{3}$ 를 남깁니다.
처음 파이 기준으로 남은 양을 구하려면 해럴드가 남긴 $\tfrac{3}{4}$ 에 $\tfrac{2}{3}$ 를 곱하면 됩니다.
이것이 도구 #7로 쪼갠 두 번째 작은 문제.

$$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$$

💡 "$\tfrac{3}{4}$ 의 $\tfrac{2}{3}$" 를 구하는 것은 5학년 **분수 × 분수** 계산 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여집합 세기 5.NF.B.6 단계 3

호저에도 똑같이.
호저는 눈앞 파이의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹어 $\tfrac{2}{3}$ 를 남깁니다.
무스가 남긴 $\tfrac{1}{2}$ 에 $\tfrac{2}{3}$ 를 곱하면 호저까지 떠난 뒤 처음 파이에서 남은 양이 나옵니다.

$$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$$

💡 실생활 문장제를 분수 곱셈의 연쇄로 푸는 것은 5학년 응용 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 4

쪼갠 세 단계를 한 줄로 묶어 봅니다.
결국 "각 동물이 남긴 분수" 끼리 모두 곱하면 끝 — 이것이 도구 #7의 마지막 결합 단계입니다.

$$\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 분수 세 개를 한꺼번에 곱해도 결국 5학년 분수 × 분수 계산을 반복한 것일 뿐입니다.

[1] #16 5.NF.A.1 해럴드의 먹기를 "남기기" 로 뒤집습니다. 해럴드는 처음 파이의 $\tfrac{1}{4}$ 을 먹었으니, $1-\tfrac{1}{4}=\tfra

[2] #16 5.NF.B.4 무스에게도 같은 트릭을 적용합니다. 무스는 눈앞 파이의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹었으니 $\tfrac{2}{3}$ 를 남깁니다. 처음 파

[3] #16 5.NF.B.6 호저에도 똑같이. 호저는 눈앞 파이의 $\tfrac{1}{3}$ 을 먹어 $\tfrac{2}{3}$ 를 남깁니다. 무스가 남긴 $\tfrac{1

[4] #7 5.NF.B.4 쪼갠 세 단계를 한 줄로 묶어 봅니다. 결국 "각 동물이 남긴 분수" 끼리 모두 곱하면 끝 — 이것이 도구 #7의 마지막 결합 단계입니다.

검토

합리성 확인: $\tfrac{1}{3}$ 이 말이 되는 답일까요? 해럴드만 먹었을 땐 $\tfrac{3}{4}$ 가 남아 있었고, 동물들이 들어올 때마다 눈앞 파이의 $\tfrac{2}{3}$ 만 남으므로 $\tfrac{3}{4}\to\tfrac{1}{2}\to\tfrac{1}{3}$ 처럼 점점 줄어드는 흐름이 자연스럽습니다. 최종값 $\tfrac{1}{3}$ 은 해럴드가 먹은 $\tfrac{1}{4}$ 보다는 크고 $\tfrac{3}{4}$ 보다는 작아서 크기 감각도 맞습니다. 정답 (D) $\tfrac{1}{3}$ 으로 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 — 파이를 $12$ 등분이라고 상상해 봅시다. 해럴드는 $3$ 조각을 먹어 $9$ 조각이 남고, 무스는 $9$ 의 $\tfrac{1}{3}=3$ 조각을 먹어 $6$ 조각이 남고, 호저는 $6$ 의 $\tfrac{1}{3}=2$ 조각을 먹어 $4$ 조각이 남습니다. $\tfrac{4}{12}=\tfrac{1}{3}$ — 같은 답 (D) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 (전체 $1$ 에서 먹은 분수를 빼서 각 단계의 "남은 분수" 를 구하는 데 사용 (예: $1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}$, $1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}$).)
5.NF.B.4 분수의 곱셈으로 곱셈의 이해를 확장한다 (분수 × 분수) (남은 분수들을 차례로 곱하는 데 사용 ($\tfrac{2}{3}\times\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{2}$ 와 $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}$).)
5.NF.B.6 분수와 대분수 곱셈이 포함된 실생활 문장제 해결 (파이를 먹는 사건의 연쇄를 "분수 × 분수" 의 연쇄로 모델링하여 남은 양을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 분수 × 분수 곱셈만 알면 풀려요!

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도구 + CCSS 풀이

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계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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