문제 재정리: $20 \times 20$ 격자에 문자 $P, Q, R$ 을 다음 규칙으로 채웁니다 — $1$행은 $P, Q, R, P, Q, R, \dots$ 로 시작하고, $2$행은 한 칸 밀려 $Q, R, P, Q, R, P, \dots$, $3$행은 두 칸 밀려 $R, P, Q, R, P, Q, \dots$ 로 시작하며, 이후 행은 같은 $3$행 묶음이 반복됩니다. 완성된 $20 \times 20$ 격자에 $P, Q, R$ 이 각각 몇 개씩 있을까요?
주어진 것: 격자 크기: $20 \times 20 = 400$ 칸; 세 문자 $P, Q, R$ 이 한 행마다 한 칸씩 밀려 대각선 패턴으로 배치됨; 같은 $3$행 묶음이 격자 아래로 계속 반복됨 ($1\!-\!3$행, $4\!-\!6$행, $\dots$); 한 행은 $20$ 칸; 선택지: (A) $P\,132,\, Q\,134,\, R\,134$; (B) $133, 133, 134$; (C) $133, 134, 133$; (D) $134, 132, 134$; (E) $134, 133, 133$
구하는 것: 완성된 $20 \times 20$ 격자에 $P, Q, R$ 이 각각 몇 개씩 들어 있는지
이해
문제 재정리: $20 \times 20$ 격자에 문자 $P, Q, R$ 을 다음 규칙으로 채웁니다 — $1$행은 $P, Q, R, P, Q, R, \dots$ 로 시작하고, $2$행은 한 칸 밀려 $Q, R, P, Q, R, P, \dots$, $3$행은 두 칸 밀려 $R, P, Q, R, P, Q, \dots$ 로 시작하며, 이후 행은 같은 $3$행 묶음이 반복됩니다. 완성된 $20 \times 20$ 격자에 $P, Q, R$ 이 각각 몇 개씩 있을까요?
주어진 것: 격자 크기: $20 \times 20 = 400$ 칸; 세 문자 $P, Q, R$ 이 한 행마다 한 칸씩 밀려 대각선 패턴으로 배치됨; 같은 $3$행 묶음이 격자 아래로 계속 반복됨 ($1\!-\!3$행, $4\!-\!6$행, $\dots$); 한 행은 $20$ 칸; 선택지: (A) $P\,132,\, Q\,134,\, R\,134$; (B) $133, 133, 134$; (C) $133, 134, 133$; (D) $134, 132, 134$; (E) $134, 133, 133$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기
격자는 아주 작은 반복 단위 — $3$행($P\,Q\,R\,\dots$, $Q\,R\,P\,\dots$, $R\,P\,Q\,\dots$) 짜리 묶음 — 이 아래로 계속 반복되는 구조입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이런 상황에 딱입니다: 가장 작은 반복 묶음을 분석해 문자 수를 세고, 그 묶음이 $20 \times 20$ 안에 몇 개 들어가는지 곱하면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 깔끔한 $18 \times 3$ 부분(완전한 $3$행 묶음 6개) 을 해결하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $20 \times 20$ 을 '$3$행 묶음 6개($1\!-\!18$행)' 와 '남은 두 행($19, 20$행)' 두 조각으로 나눠 — 한 번에 풀기 어려운 문제 대신 쉬운 두 조각을 처리합니다.
실행 — 정답: C
#5 패턴 찾기 4.OA.C.5단계 1
$1$행의 문자 수를 셉니다.
$1$행 패턴 $P, Q, R, P, Q, R, \dots$ 를 $20$ 칸 동안 읽어 보면, 길이 $3$인 $PQR$ 주기 안에 세 문자가 정확히 한 번씩 등장합니다.
$20 = 6 \cdot 3 + 2$ 이므로 완전한 주기 $6$ 개가 $1\!-\!18$열을 채워($6$ 개씩 균등), 남은 $19, 20$열은 다음 두 문자인 $P, Q$ 가 됩니다.
$1$행: $P\,6 + 1 = 7,\;\; Q\,6 + 1 = 7,\;\; R\,6$
💡 $20$ 칸 안에서 $PQR$ 반복을 그대로 읽어내는 작업은 4학년 '규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기' 표준 그대로입니다.
#5 패턴 찾기 4.OA.C.5단계 2
$2$행은 같은 주기를 한 칸 민 것이므로 $Q, R, P, Q, R, P, \dots$ 로 시작합니다.
$1\!-\!18$열에는 완전한 $QRP$ 주기 $6$ 개가 들어가 ($6$ 개씩 균등), 남은 $19, 20$열은 다음 두 문자 $Q, R$ 입니다.
$2$행: $P\,6,\;\; Q\,6 + 1 = 7,\;\; R\,6 + 1 = 7$
💡 주기를 한 칸 미는 것은 같은 규칙의 다른 출발점일 뿐 — 4학년 패턴 규칙의 적용 범위입니다.
#5 패턴 찾기 4.OA.C.5단계 3
$3$행은 두 칸 밀려 $R, P, Q, R, P, Q, \dots$ 로 시작합니다.
$1\!-\!18$열에는 완전한 $RPQ$ 주기 $6$ 개, 남은 $19, 20$열은 $R, P$ 입니다.
$3$행: $P\,6 + 1 = 7,\;\; Q\,6,\;\; R\,6 + 1 = 7$
💡 또 한 번 민 주기에도 같은 4학년 패턴 규칙이 그대로 적용됩니다.
#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.9단계 4
$1, 2, 3$행을 합쳐 $3 \times 20$ 묶음의 합계를 구합니다.
묶음이 패턴의 가장 작은 반복 단위이므로 각 문자가 같은 횟수로 등장하리라는 점이 자연스럽게 보입니다.
[7]
#7 4.OA.A.3두 조각을 더합니다. $1\!-\!18$행에서 $120, 120, 120$, $19\!-\!20$행에서 $13, 14, 13$ 을 얻었으므로 합
검토
합리성 확인: 합 검사: $133 + 134 + 133 = 400 = 20 \times 20$ 이므로 모든 칸이 정확히 한 번씩 세어졌습니다. 또한 $400 \div 3 = 133$ 나머지 $1$ 이라, 세 개수는 $400/3 \approx 133.3$ 근처여야 하고, 정확히 한 문자가 $134$, 다른 두 문자가 $133$ 이어야 함을 미리 알 수 있습니다. 합이 $400$이 되는 선택지는 (A), (B), (C), (D), (E) 모두지만 '한 문자만 $134$, 나머지는 $133$' 패턴을 만족하는 것은 (B), (C), (E) 뿐이고, 그림에서 $Q$ 가 '하나 더 많은' 문자로 드러나 (C) 가 답이 됩니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 검증해 봅시다. 세 개수의 합이 $400$ 이어야 한다는 조건: (A) $132+134+134 = 400$, (B) $133+133+134 = 400$, (C) $133+134+133 = 400$, (D) $134+132+134 = 400$, (E) $134+133+133 = 400$ — 모두 $400$ 이라 이 조건만으로는 좁혀지지 않지만, '두 개는 $133$, 하나는 $134$' 라는 모양을 가진 후보는 (B), (C), (E) 뿐입니다. 그림 속 보이는 $5 \times 5$ 부분만 세어 봐도 $P\,8,\, Q\,9,\, R\,8$ 로 $Q$ 가 가장 많아 (C) 가 됨을 확인할 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 수행 ($3$행 묶음 $6$ 개에 걸친 행 단위 합계를 구할 때 $6 \times 20 = 120$ 을 계산.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾아 연산 성질로 설명 ($3 \times 20$ 묶음(가장 작은 반복 단위) 안에서 세 문자가 모두 $20$ 번씩 등장한다는 점을 확인.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 ($1\!-\!18$ 행의 부분합과 $19\!-\!20$ 행의 부분합을 더해 최종 $133, 134, 133$ 을 도출.)
4.OA.C.5 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ($1, 2, 3$ 행의 $20$ 칸을 따라 $PQR$ 반복 주기를 읽어 각 문자 수를 세는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙에 따라 패턴 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 작은 반복 묶음을 찾아 세고, 곱하면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙에 따라 패턴 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 작은 반복 묶음을 찾아 세고, 곱하면 끝!
