AMC 8 · 2023 · #16

학년 4 patterncounting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionmodular-arithmeticmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pattern-recognitionmultiples

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문제

아래 그림과 같은 규칙에 따라, 문자 $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ 를 $20\times20$ 표에 채워 넣습니다. 표가 모두 완성되었을 때, $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ 는 각각 몇 개씩 나타납니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

132 Ps, 134 Qs, 134 Rs

(B)

133 Ps, 133 Qs, 134 Rs

(C)

133 Ps, 134 Qs, 133 Rs

(D)

134 Ps, 132 Qs, 134 Rs

(E)

134 Ps, 133 Qs, 133 Rs

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $20 \times 20$ 격자에 문자 $P, Q, R$ 을 다음 규칙으로 채웁니다 — $1$행은 $P, Q, R, P, Q, R, \dots$ 로 시작하고, $2$행은 한 칸 밀려 $Q, R, P, Q, R, P, \dots$, $3$행은 두 칸 밀려 $R, P, Q, R, P, Q, \dots$ 로 시작하며, 이후 행은 같은 $3$행 묶음이 반복됩니다. 완성된 $20 \times 20$ 격자에 $P, Q, R$ 이 각각 몇 개씩 있을까요?

주어진 것: 격자 크기: $20 \times 20 = 400$ 칸; 세 문자 $P, Q, R$ 이 한 행마다 한 칸씩 밀려 대각선 패턴으로 배치됨; 같은 $3$행 묶음이 격자 아래로 계속 반복됨 ($1\!-\!3$행, $4\!-\!6$행, $\dots$); 한 행은 $20$ 칸; 선택지: (A) $P\,132,\, Q\,134,\, R\,134$; (B) $133, 133, 134$; (C) $133, 134, 133$; (D) $134, 132, 134$; (E) $134, 133, 133$

구하는 것: 완성된 $20 \times 20$ 격자에 $P, Q, R$ 이 각각 몇 개씩 들어 있는지

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

격자는 아주 작은 반복 단위 — $3$행($P\,Q\,R\,\dots$, $Q\,R\,P\,\dots$, $R\,P\,Q\,\dots$) 짜리 묶음 — 이 아래로 계속 반복되는 구조입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 이런 상황에 딱입니다: 가장 작은 반복 묶음을 분석해 문자 수를 세고, 그 묶음이 $20 \times 20$ 안에 몇 개 들어가는지 곱하면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 깔끔한 $18 \times 3$ 부분(완전한 $3$행 묶음 6개) 을 해결하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $20 \times 20$ 을 '$3$행 묶음 6개($1\!-\!18$행)' 와 '남은 두 행($19, 20$행)' 두 조각으로 나눠 — 한 번에 풀기 어려운 문제 대신 쉬운 두 조각을 처리합니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

$1$행의 문자 수를 셉니다.
$1$행 패턴 $P, Q, R, P, Q, R, \dots$ 를 $20$ 칸 동안 읽어 보면, 길이 $3$인 $PQR$ 주기 안에 세 문자가 정확히 한 번씩 등장합니다.
$20 = 6 \cdot 3 + 2$ 이므로 완전한 주기 $6$ 개가 $1\!-\!18$열을 채워($6$ 개씩 균등), 남은 $19, 20$열은 다음 두 문자인 $P, Q$ 가 됩니다.

$1$행: $P\,6 + 1 = 7,\;\; Q\,6 + 1 = 7,\;\; R\,6$

💡 $20$ 칸 안에서 $PQR$ 반복을 그대로 읽어내는 작업은 4학년 '규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기' 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

$2$행은 같은 주기를 한 칸 민 것이므로 $Q, R, P, Q, R, P, \dots$ 로 시작합니다.
$1\!-\!18$열에는 완전한 $QRP$ 주기 $6$ 개가 들어가 ($6$ 개씩 균등), 남은 $19, 20$열은 다음 두 문자 $Q, R$ 입니다.

$2$행: $P\,6,\;\; Q\,6 + 1 = 7,\;\; R\,6 + 1 = 7$

💡 주기를 한 칸 미는 것은 같은 규칙의 다른 출발점일 뿐 — 4학년 패턴 규칙의 적용 범위입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

$3$행은 두 칸 밀려 $R, P, Q, R, P, Q, \dots$ 로 시작합니다.
$1\!-\!18$열에는 완전한 $RPQ$ 주기 $6$ 개, 남은 $19, 20$열은 $R, P$ 입니다.

$3$행: $P\,6 + 1 = 7,\;\; Q\,6,\;\; R\,6 + 1 = 7$

💡 또 한 번 민 주기에도 같은 4학년 패턴 규칙이 그대로 적용됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.9 단계 4

$1, 2, 3$행을 합쳐 $3 \times 20$ 묶음의 합계를 구합니다.
묶음이 패턴의 가장 작은 반복 단위이므로 각 문자가 같은 횟수로 등장하리라는 점이 자연스럽게 보입니다.

$$P: 7+6+7 = 20,\;\; Q: 7+7+6 = 20,\;\; R: 6+7+7 = 20$$

💡 쉬운 $3 \times 20$ 묶음을 먼저 풀어 $20$-$20$-$20$을 확인하는 것은 3학년 '산술 패턴 찾기' 의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 5

$4$행은 $1$행과 같은 규칙(세 칸 밀기는 곧 원래 자리) 이라 행 단위 개수 $(7,7,6), (6,7,7), (7,6,7)$ 은 $3$ 행마다 반복됩니다.
$18 = 6 \cdot 3$ 이므로 $1\!-\!18$행에는 $3 \times 20$ 묶음이 정확히 $6$ 개 들어갑니다.

$1\!-\!18$행: $P\,6 \times 20 = 120,\; Q\,120,\; R\,120$

💡 $6 \times 20 = 120$을 세 번 적용하는 것은 3학년 '100 이내 곱셈 능숙하게' 표준에 그대로 해당합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 6

남은 $19$행, $20$행을 처리합니다.
$19 = 6 \cdot 3 + 1$ 이므로 $19$행은 $1$행과 같은 $7$ P, $7$ Q, $6$ R.
$20 = 6 \cdot 3 + 2$ 이므로 $20$행은 $2$행과 같은 $6$ P, $7$ Q, $7$ R.

$19, 20$행: $P\,(7+6) = 13,\;\; Q\,(7+7) = 14,\;\; R\,(6+7) = 13$

💡 남은 두 행을 따로 빼서 더하는 것은 4학년 '여러 단계 문장제 풀기' 의 한 단계입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 7

두 조각을 더합니다.
$1\!-\!18$행에서 $120, 120, 120$, $19\!-\!20$행에서 $13, 14, 13$ 을 얻었으므로 합계는 $133$ P, $134$ Q, $133$ R 으로 (C) 와 일치합니다.

$$P: 120 + 13 = 133,\;\; Q: 120 + 14 = 134,\;\; R: 120 + 13 = 133 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 쉬운 조각들을 다시 합쳐 최종 답을 만드는 것은 4학년 여러 단계 문제의 마지막 마무리입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 $1$행의 문자 수를 셉니다. $1$행 패턴 $P, Q, R, P, Q, R, \dots$ 를 $20$ 칸 동안 읽어 보면, 길이 $3$인 $P

[2] #5 4.OA.C.5 $2$행은 같은 주기를 한 칸 민 것이므로 $Q, R, P, Q, R, P, \dots$ 로 시작합니다. $1\!-\!18$열에는 완전한 $QR

[3] #5 4.OA.C.5 $3$행은 두 칸 밀려 $R, P, Q, R, P, Q, \dots$ 로 시작합니다. $1\!-\!18$열에는 완전한 $RPQ$ 주기 $6$ 개

[4] #9 3.OA.D.9 $1, 2, 3$행을 합쳐 $3 \times 20$ 묶음의 합계를 구합니다. 묶음이 패턴의 가장 작은 반복 단위이므로 각 문자가 같은 횟수로 등

[5] #7 3.OA.C.7 $4$행은 $1$행과 같은 규칙(세 칸 밀기는 곧 원래 자리) 이라 행 단위 개수 $(7,7,6), (6,7,7), (7,6,7)$ 은 $3$

[6] #7 4.OA.A.3 남은 $19$행, $20$행을 처리합니다. $19 = 6 \cdot 3 + 1$ 이므로 $19$행은 $1$행과 같은 $7$ P, $7$ Q, $

[7] #7 4.OA.A.3 두 조각을 더합니다. $1\!-\!18$행에서 $120, 120, 120$, $19\!-\!20$행에서 $13, 14, 13$ 을 얻었으므로 합

검토

합리성 확인: 합 검사: $133 + 134 + 133 = 400 = 20 \times 20$ 이므로 모든 칸이 정확히 한 번씩 세어졌습니다. 또한 $400 \div 3 = 133$ 나머지 $1$ 이라, 세 개수는 $400/3 \approx 133.3$ 근처여야 하고, 정확히 한 문자가 $134$, 다른 두 문자가 $133$ 이어야 함을 미리 알 수 있습니다. 합이 $400$이 되는 선택지는 (A), (B), (C), (D), (E) 모두지만 '한 문자만 $134$, 나머지는 $133$' 패턴을 만족하는 것은 (B), (C), (E) 뿐이고, 그림에서 $Q$ 가 '하나 더 많은' 문자로 드러나 (C) 가 답이 됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 검증해 봅시다. 세 개수의 합이 $400$ 이어야 한다는 조건: (A) $132+134+134 = 400$, (B) $133+133+134 = 400$, (C) $133+134+133 = 400$, (D) $134+132+134 = 400$, (E) $134+133+133 = 400$ — 모두 $400$ 이라 이 조건만으로는 좁혀지지 않지만, '두 개는 $133$, 하나는 $134$' 라는 모양을 가진 후보는 (B), (C), (E) 뿐입니다. 그림 속 보이는 $5 \times 5$ 부분만 세어 봐도 $P\,8,\, Q\,9,\, R\,8$ 로 $Q$ 가 가장 많아 (C) 가 됨을 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 수행 ($3$행 묶음 $6$ 개에 걸친 행 단위 합계를 구할 때 $6 \times 20 = 120$ 을 계산.)
3.OA.D.9 산술 패턴을 찾아 연산 성질로 설명 ($3 \times 20$ 묶음(가장 작은 반복 단위) 안에서 세 문자가 모두 $20$ 번씩 등장한다는 점을 확인.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 ($1\!-\!18$ 행의 부분합과 $19\!-\!20$ 행의 부분합을 더해 최종 $133, 134, 133$ 을 도출.)
4.OA.C.5 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ($1, 2, 3$ 행의 $20$ 칸을 따라 $PQR$ 반복 주기를 읽어 각 문자 수를 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "규칙에 따라 패턴 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 작은 반복 묶음을 찾아 세고, 곱하면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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