AMC 8 · 2023 · #18
쉬운 모드 학년 5문제
연못 위에 일렬로 죽 늘어선 수련잎을 떠올려 봅시다.
메뚜기 그레타가 그중 한 잎 위에 앉아 있어요. 그레타는 어디에 있든지 항상 다음 두 가지 점프 중 하나만 할 수 있습니다.
- 오른쪽으로 5칸 점프
- 왼쪽으로 3칸 점프
매번 두 가지 중 하나를 골라야 하고, 두 가지를 원하는 순서대로 원하는 만큼 섞어 쓸 수 있어요.
그레타가 가고 싶은 곳은 시작 위치에서 오른쪽으로 2023칸 떨어진 수련잎입니다.
거기까지 가려면 그레타는 최소 몇 번을 점프해야 할까요?
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 그레타는 길게 늘어선 수련잎 위에 앉아 있습니다. 한 번에 오른쪽으로 정확히 $+5$ 칸 뛰거나 왼쪽으로 정확히 $-3$ 칸 뛸 수 있습니다. 시작 위치에서 정확히 오른쪽으로 $2023$ 칸 떨어진 수련잎에 도착하려면, 최소 몇 번 점프해야 할까요?
주어진 것: 한 점프는 두 가지 중 하나: 오른쪽 $+5$ 또는 왼쪽 $-3$; 최종 변위(net displacement)는 정확히 $+2023$; 선택지: (A) $405$, (B) $407$, (C) $409$, (D) $411$, (E) $413$
구하는 것: 오른쪽 점프 수와 왼쪽 점프 수의 합인 최소 총 점프 수
이해
문제 재정리: 그레타는 길게 늘어선 수련잎 위에 앉아 있습니다. 한 번에 오른쪽으로 정확히 $+5$ 칸 뛰거나 왼쪽으로 정확히 $-3$ 칸 뛸 수 있습니다. 시작 위치에서 정확히 오른쪽으로 $2023$ 칸 떨어진 수련잎에 도착하려면, 최소 몇 번 점프해야 할까요?
주어진 것: 한 점프는 두 가지 중 하나: 오른쪽 $+5$ 또는 왼쪽 $-3$; 최종 변위(net displacement)는 정확히 $+2023$; 선택지: (A) $405$, (B) $407$, (C) $409$, (D) $411$, (E) $413$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기
오른쪽으로만 뛰면 $2023 / 5 = 404.6$ 점프가 필요한데 자연수가 아니라 불가능합니다. 그렇다면 $5R$ 이 $2023$ 보다 살짝 큰 가장 작은 $R$ 부터 차례로 시도해서, 초과량 $5R - 2023$ 이 $3$ 의 배수인지 확인하면 됩니다 — 바로 도구 #6(추측하고 확인하기)입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 "$2023$ 을 얼마나 초과하고, 그 초과분이 $3$ 들로 만들어지는가?" 라는 더 간단한 질문으로 바꿔 줍니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 초과량이 $3$ 의 배수가 되는지 확인하는 데 도움이 됩니다.
실행 — 정답: D
3.OA.A.3 단계 1 - 상황을 균형 방정식으로 옮깁니다.
- 오른쪽 점프 한 번은 $+5$, 왼쪽 점프 한 번은 $-3$.
- 최종적으로 $+2023$ 칸에 도착하려면 모든 점프의 합이 $2023$ 이어야 합니다.
💡 실생활 상황을 곱셈·뺄셈이 들어간 방정식으로 옮기는 것은 3학년 "곱셈·나눗셈 문장제" 그대로입니다.
3.OA.C.7 단계 2 - $R$ 의 하한을 찾습니다.
- 왼쪽 점프는 위치를 깎기만 하므로, 오른쪽 점프만으로도 $2023$ 까지는 닿아야 합니다.
- $5 \times 404 = 2020 < 2023$ 이므로 $R \ge 405$ 입니다.
💡 $5 \times 404,\; 5 \times 405$ 를 $2023$ 과 비교하는 것은 3학년 구구단(곱셈 사실) 유창성입니다.
4.OA.B.4 단계 3 - $R = 405$ 를 시도합니다.
- $5R = 2025$ 이므로 초과량은 $2025 - 2023 = 2$.
- 그러면 $3L = 2$ 가 되어야 하는데, $2$ 는 $3$ 의 배수가 아니라서 $L$ 이 자연수일 수 없습니다.
- 기각.
💡 $2$ 가 $3$ 의 배수인지 확인하는 것은 4학년 "배수와 약수" 개념입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - $R = 406$ 을 시도합니다.
- $5R = 2030$, 초과량 $= 7$.
- $7$ 은 $3$ 의 배수일까요?
- 아니요 ($3 \times 2 = 6,\; 3 \times 3 = 9$).
- 기각.
💡 작은 수가 $3$ 의 배수인지 다시 점검 — 같은 4학년 배수 기능입니다.
4.NBT.B.6 단계 5 - $R = 407$ 을 시도합니다.
- $5R = 2035$, 초과량 $= 12$.
- 이제 $12 = 3 \times 4$ 이므로 $L = 4$ 가 들어맞습니다.
- 일단 총 점프 수는 $R + L = 407 + 4 = 411$.
💡 $5R = 2035$ 에서 $R = 407$, $3L = 12$ 에서 $L = 4$ 를 구하는 것은 4학년 "네 자리 수까지의 몫과 나머지" 그대로입니다.
5.OA.B.3 단계 6 - 이 값이 정말 최소인지 패턴으로 확인합니다.
- 오른쪽 점프 수를 $3$ 씩 더 늘릴 때마다 초과량은 $5 \times 3 = 15$ 만큼 커지고, 그 $15$ 를 흡수하려면 왼쪽 점프 수가 $5$ 씩 늘어야 합니다.
- 결과적으로 총 점프 수 $R + L$ 은 $3 + 5 = 8$ 만큼 커집니다.
- 즉, 처음 찾은 정답보다 큰 값들만 나옵니다.
- 따라서 $R = 407,\; L = 4,\;\text{총 } = 411$ 이 최소이며, 답은 (D).
💡 "오른쪽 $+3$, 왼쪽 $+5$" 사이클이 총합을 $+8$ 씩 키운다는 관찰은 5학년 "두 수 패턴 사이의 관계 찾기" 표준입니다.
3.OA.A.3 상황을 균형 방정식으로 옮깁니다. 오른쪽 점프 한 번은 $+5$, 왼쪽 점프 한 번은 $-3$. 최종적으로 $+2023$ 칸에 도착하려면 모든 3.OA.C.7 $R$ 의 하한을 찾습니다. 왼쪽 점프는 위치를 깎기만 하므로, 오른쪽 점프만으로도 $2023$ 까지는 닿아야 합니다. $5 \times 404 4.OA.B.4 $R = 405$ 를 시도합니다. $5R = 2025$ 이므로 초과량은 $2025 - 2023 = 2$. 그러면 $3L = 2$ 가 되어야 하는 4.OA.B.4 $R = 406$ 을 시도합니다. $5R = 2030$, 초과량 $= 7$. $7$ 은 $3$ 의 배수일까요? 아니요 ($3 \times 2 = 4.NBT.B.6 $R = 407$ 을 시도합니다. $5R = 2035$, 초과량 $= 12$. 이제 $12 = 3 \times 4$ 이므로 $L = 4$ 가 들 5.OA.B.3 이 값이 정말 최소인지 패턴으로 확인합니다. 오른쪽 점프 수를 $3$ 씩 더 늘릴 때마다 초과량은 $5 \times 3 = 15$ 만큼 커지고, 검토
합리성 확인: 오른쪽으로만 뛰면 $2023 / 5 = 404.6$ 점프 — $404$ 와 $405$ 사이의 어중간한 값이 됩니다. $5$ 와 $3$ 은 $2023$ 과 깔끔하게 맞아떨어지지 않으니, 왼쪽 점프를 약간 섞어 산수를 맞춰야 하고, 가장 작은 보정이 $L = 4,\; R = 407$ 입니다. 답 $411$ 은 자연스러운 최솟값 $407$ 보다 정확히 $4$ 만큼 큰데, 이는 우리가 추가한 왼쪽 점프 $4$ 번과 정확히 맞아 떨어집니다. 다른 선택지($405, 407, 409, 413$)는 왼쪽 점프를 잊거나($407$), 자연수가 아닌 몫을 답으로 삼거나($405$), 사이클을 잘못 세었을 때($409, 413$) 나오는 함정입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 검증해 봅시다. $5R - 3L = 2023$ 과 $R + L = J$ 를 함께 풀면 $L = \dfrac{5J - 2023}{8}$ 이므로, 정답이 되려면 $5J - 2023$ 이 $8$ 의 배수여야 합니다. 각 선택지를 대입: $5(405) - 2023 = 2$ (아님), $5(407) - 2023 = 12$ (아님), $5(409) - 2023 = 22$ (아님), $5(411) - 2023 = 32 = 8 \times 4$ (성립, $L = 4$), $5(413) - 2023 = 42$ (아님). 오직 $411$ 만 통과하여 (D) 가 확정됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
3.OA.A.3100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 ("오른쪽 한 번에 $+5$, 왼쪽 한 번에 $-3$, 도착점은 $+2023$" 을 균형 방정식 $5R - 3L = 2023$ 으로 옮기는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내의 곱셈·나눗셈 유창성 ($5 \times 404 = 2020,\; 5 \times 405 = 2025$ 를 $2023$ 과 비교해 $R$ 의 하한을 정하는 데 사용.)4.OA.B.4배수·약수 찾기와 소수·합성수 판단 (초과량($2, 7, 12, \dots$) 이 $3$ 의 배수인지 확인하여 $3L$ 이 정확히 만들 수 있는지 판정.)4.NBT.B.6네 자리 수까지의 몫과 나머지 구하기 (정답 후보 $R = 407$ 에서 $2035 \div 5 = 407$, $12 \div 3 = 4$ 를 계산하여 $R$ 과 $L$ 을 확정.)5.OA.B.3두 수열의 규칙으로부터 관계 찾기 ("오른쪽 $+3$, 왼쪽 $+5$" 사이클마다 총 점프 수가 $+8$ 씩 늘어남을 관찰하여 첫 해가 최소임을 증명.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "같은 규칙을 반복하면 총합은 얼마씩 커지나?" 라는 두 수열의 관계만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "같은 규칙을 반복하면 총합은 얼마씩 커지나?" 라는 두 수열의 관계만 알면 풀 수 있어요!
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