AMC 8 · 2024 · #6
쉬운 모드 학년 2문제
긴 직사각형 모양에 양쪽 끝이 둥근 빙상장이 있다고 상상해봅시다. 세르게이가 이 링크 위에서 네 가지 서로 다른 방식으로 스케이트를 타며 P, Q, R, S 네 개의 경로를 그렸습니다.
아래 네 개의 그림 안에 각 경로가 회색 선으로 표시되어 있어요. (네 그림은 모두 똑같은 링크이고, 안쪽에 그려진 경로만 달라요.)
네 경로의 전체 길이를 짧은 것부터 긴 것 순으로 나열한다면, 다음 중 어느 순서가 맞을까요?
그림
네 개의 작은 빙상장 그림이고, 각 그림에 P, Q, R, S 경로가 하나씩 그려져 있어 길이를 눈으로 비교할 수 있어요.
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직사각형 양쪽 끝에 반원이 붙은 모양의 아이스링크 위에 네 가지 스케이트 경로가 그려져 있습니다. 경로 P는 링크의 바깥 둘레를 그대로 따라갑니다. 경로 R은 링크 안에 내접하는 직사각형으로, P의 반원 부분을 짧은 직선 현(수직선)으로 바꿔 놓은 것입니다. 경로 S는 링크 중앙 직사각형의 모서리에서 모서리로 가는 두 개의 긴 대각선이 가운데서 교차하는 모양입니다. 경로 Q는 대각선처럼 출발하지만 중간에 가로로 우회하는 지그재그 경로입니다. 네 경로 P, Q, R, S를 가장 짧은 것부터 가장 긴 것 순으로 나열해야 합니다.
주어진 것: 경로 P = 링크의 바깥 둘레: 두 개의 긴 수평 직선 구간과 양쪽 끝의 두 반원호; 경로 R = 내접하는 직사각형: P와 똑같은 두 수평 직선 구간을 가지되, 끝의 반원호 자리에는 두 점을 잇는 짧은 수직 직선(현)이 들어 있음; 경로 S = 링크 중앙 직사각형의 모서리에서 모서리로 가는 두 개의 긴 대각선이 가운데서 교차; 경로 Q = 대각선처럼 시작하지만 중간에 가로로 우회하는 지그재그 경로; 다섯 개의 보기는 P, Q, R, S의 서로 다른 정렬 순서를 보여줌
구하는 것: 네 경로의 가장 짧은 것부터 가장 긴 것까지의 단 하나의 정렬 순서
이해
문제 재정리: 직사각형 양쪽 끝에 반원이 붙은 모양의 아이스링크 위에 네 가지 스케이트 경로가 그려져 있습니다. 경로 P는 링크의 바깥 둘레를 그대로 따라갑니다. 경로 R은 링크 안에 내접하는 직사각형으로, P의 반원 부분을 짧은 직선 현(수직선)으로 바꿔 놓은 것입니다. 경로 S는 링크 중앙 직사각형의 모서리에서 모서리로 가는 두 개의 긴 대각선이 가운데서 교차하는 모양입니다. 경로 Q는 대각선처럼 출발하지만 중간에 가로로 우회하는 지그재그 경로입니다. 네 경로 P, Q, R, S를 가장 짧은 것부터 가장 긴 것 순으로 나열해야 합니다.
주어진 것: 경로 P = 링크의 바깥 둘레: 두 개의 긴 수평 직선 구간과 양쪽 끝의 두 반원호; 경로 R = 내접하는 직사각형: P와 똑같은 두 수평 직선 구간을 가지되, 끝의 반원호 자리에는 두 점을 잇는 짧은 수직 직선(현)이 들어 있음; 경로 S = 링크 중앙 직사각형의 모서리에서 모서리로 가는 두 개의 긴 대각선이 가운데서 교차; 경로 Q = 대각선처럼 시작하지만 중간에 가로로 우회하는 지그재그 경로; 다섯 개의 보기는 P, Q, R, S의 서로 다른 정렬 순서를 보여줌
계획
주요 도구: #1 그림 그리기 (Draw a Diagram)
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기 (Identify Subproblems), #3 가능성 지우기 (Eliminate Possibilities)
문제 자체가 그림이므로 도구 #1(그림)이 출발점입니다. 그림 위에서 한 경로의 어떤 부분이 다른 경로의 어떤 부분과 같은지 직접 비교합니다. 네 경로를 한꺼번에 비교하기 어려우니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (R vs P), (S vs Q), (P vs S)의 세 쌍 비교로 나눕니다. 각 쌍 비교는 '직선 vs 곡선' 또는 '직선 vs 지그재그' 한 줄짜리 관찰입니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 보기를 검사해 살아남는 하나를 고릅니다. 대수도, 공식도, 실측도 필요하지 않고 그림을 잘 보는 것만 필요합니다.
실행 — 정답: D
K.MD.A.2 단계 1 - 경로 R과 P를 나란히 봅니다.
- 두 경로의 긴 수평 구간 두 개는 완전히 같습니다.
- 차이는 양쪽 끝에만 있습니다 — P는 반원호를 쓰고, R은 같은 두 점을 잇는 수직 직선(현)을 씁니다.
- 두 점 사이의 직선은 같은 두 점을 잇는 호보다 짧으므로, R이 P보다 짧습니다.
💡 두 선을 나란히 놓고 어느 것이 더 긴지 보는 것은 유치원생도 할 수 있어요.
K.MD.A.2 단계 2 - 이제 그림에서 경로 S와 Q를 비교합니다.
- S는 모서리에서 모서리로 가는 두 직선 대각선입니다.
- Q도 비슷하게 시작하지만 중간에 가로로 한 번 돌아갔다가 횡단을 마칩니다 — 즉, 직선이 아니라 지그재그입니다.
- 두 점 사이를 지그재그로 가는 길은 같은 두 점 사이를 직선으로 가는 길보다 항상 깁니다.
- 따라서 S가 Q보다 짧습니다.
💡 지그재그 끈을 곧게 펴면 더 길어진다는 사실은 보기만 해도 알 수 있어요.
2.G.A.1 단계 3 - 이제 $R < P$ 와 $S < Q$ 를 알았으니, R은 짧은 두 개 중 하나이고 Q는 가장 깁니다.
- 남은 비교는 P와 S 뿐입니다.
- P는 둘레를 한 바퀴 돕니다.
- S는 링크의 긴 방향을 두 번이나 가로지릅니다(대각선 각각이 링크의 긴 변에 가깝습니다).
- 그림 위에서 보면, 두 긴 대각선의 길이 합이 둘레 한 바퀴보다 분명히 더 깁니다.
- 따라서 P가 S보다 짧습니다.
💡 직사각형의 둘레와 대각선을 알아보는 것은 2학년이 배우는 도형 속성 인지입니다.
1.MD.A.1 단계 4 - 도구 #7로 지금까지의 세 비교를 하나의 사슬로 묶습니다.
- $R < P$ , $P < S$ , $S < Q$ 이므로 $R < P < S < Q$ 입니다.
- 이는 1학년 때 배우는 '간접 비교'와 똑같습니다 — A가 B보다 짧고 B가 C보다 짧으면 A가 C보다 짧다는 원리입니다.
💡 작은 비교들을 하나의 순서로 잇는 것이 바로 '세 물체의 길이 순서 정하기' 단원의 핵심입니다.
1.MD.A.1 단계 5 - 도구 #3으로 우리가 찾은 순서를 보기와 맞춰봅니다.
- '짧은 것부터' = R, P, S, Q 가 필요합니다.
- (A) P,Q,R,S 는 P가 처음 — 틀림.
- (B) P,R,S,Q 는 P가 R 앞에 — 틀림.
- (C) Q,S,P,R 은 Q가 처음 — 틀림.
- (E) R,S,P,Q 는 S가 P 앞에 — 틀림.
- 오직 (D) R, P, S, Q 만 일치합니다.
💡 순서를 알고 보기를 짝지어 고르는 일은 1학년 길이 순서 정하기 그대로입니다.
K.MD.A.2 경로 R과 P를 나란히 봅니다. 두 경로의 긴 수평 구간 두 개는 완전히 같습니다. 차이는 양쪽 끝에만 있습니다 — P는 반원호를 쓰고, R은 K.MD.A.2 이제 그림에서 경로 S와 Q를 비교합니다. S는 모서리에서 모서리로 가는 두 직선 대각선입니다. Q도 비슷하게 시작하지만 중간에 가로로 한 번 2.G.A.1 이제 $R < P$ 와 $S < Q$ 를 알았으니, R은 짧은 두 개 중 하나이고 Q는 가장 깁니다. 남은 비교는 P와 S 뿐입니다. P는 둘레 1.MD.A.1 도구 #7로 지금까지의 세 비교를 하나의 사슬로 묶습니다. $R < P$ , $P < S$ , $S < Q$ 이므로 $R < P < S < Q$ 1.MD.A.1 도구 #3으로 우리가 찾은 순서를 보기와 맞춰봅니다. '짧은 것부터' = R, P, S, Q 가 필요합니다. (A) P,Q,R,S 는 P가 처음 검토
합리성 확인: 각 쌍 비교는 모두 같은 한 가지 사실에 기댑니다 — '두 점 사이는 직선이 가장 짧다'. 끝 부분에서는 R이 P를 이기고(직선 현 vs 반원호), 중간에서는 S가 Q를 이기며(직선 대각선 vs 지그재그), 전체적으로는 둘레 한 바퀴(P)가 긴 대각선 두 개(S)보다 짧습니다. 이를 합치면 $R < P < S < Q$ 가 되고, 다섯 보기 중 정확히 (D)만 이 순서와 일치합니다. 공식 정답 (D)와 같습니다.
대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기)도 잘 통합니다. 그림 위의 각 경로 모양대로 끈 네 가닥을 잘라, 곧게 펴서 나란히 놓고 길이를 비교하면 됩니다. '직선이 가장 짧다'는 규칙을 말로 설명하지 못하는 어린 학생도 손으로 직접 $R < P < S < Q$ 를 찾을 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)
K.MD.A.2Directly compare two objects with a measurable attribute in common (그림을 직접 보며 R vs P, S vs Q 두 쌍을 길이로 직접 비교하는 데 사용.)1.MD.A.1Order three objects by length and compare lengths indirectly (세 쌍의 부등식을 하나의 순서 $R < P < S < Q$ 로 잇고 보기와 맞추는 데 사용.)2.G.A.1Recognize and draw shapes having specified attributes (링크의 직선 구간, 반원호, 직사각형, 대각선을 각각 다른 도형 속성으로 인지해 같은 종류끼리 비교하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 도형 알아보기와 길이 비교만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 도형 알아보기와 길이 비교만 알면 풀 수 있어요!
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