AMC 8 · 2025 · #17
쉬운 모드 학년 5문제
마르코비아라는 작은 나라가 있다고 생각해봅시다. 이 나라에는 A, B, C 세 도시가 있어요. 도시 A에는 100명, 도시 B에는 120명, 도시 C에는 160명이 살고 있습니다.
모든 사람은 세 도시 중 한 곳에서 일해요. 자기가 사는 도시에서 일할 수도 있고요.
아래 그림은 사람들이 어느 도시로 일하러 가는지를 보여줍니다. 한 도시에서 다른 도시로 향하는 화살표에는 분수가 적혀 있어요. 그 분수는 "출발 도시에 사는 사람들 중 도착 도시에서 일하는 사람들의 비율"을 뜻합니다. 예를 들어 A에서 B로 가는 화살표에 41이 적혀 있다면, A에 사는 사람 중 41이 B에서 일한다는 뜻이에요.
도시 A 주민 중 41은 B에서, 51은 C에서 일합니다. 도시 B 주민 중 31은 A에서, 61은 C에서 일합니다. 도시 C 주민 중 81은 A에서, 101은 B에서 일합니다. 다른 도시로 가지 않는 사람들은 자기가 사는 도시에서 일해요.
그렇다면 도시 A에서 일하는 사람은 모두 몇 명일까요?
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 마르코비아라는 나라에 도시 $A$, $B$, $C$ 세 곳이 있습니다. $A$에는 $100$ 명, $B$에는 $120$ 명, $C$에는 $160$ 명이 살고, 모든 주민은 세 도시 중 한 곳에서 일합니다(자기 도시에서 일해도 됩니다). 그림의 화살표 옆에 적힌 분수는 "화살표 시작 도시 주민 중에서 도착 도시로 출근하는 비율" 입니다(예: $A$ 주민의 $\tfrac{1}{4}$ 은 $B$ 로 출근). 도시 $A$ 에서 일하는 사람은 모두 몇 명일까요?
주어진 것: 인구: $A = 100$, $B = 120$, $C = 160$; $A$ 주민: $\tfrac{1}{4}$ 는 $B$ 로, $\tfrac{1}{5}$ 는 $C$ 로 출근; $B$ 주민: $\tfrac{1}{3}$ 은 $A$ 로, $\tfrac{1}{6}$ 은 $C$ 로 출근; $C$ 주민: $\tfrac{1}{8}$ 은 $A$ 로, $\tfrac{1}{10}$ 은 $B$ 로 출근; 모든 주민은 $A$, $B$, $C$ 중 정확히 한 도시에서 일함(남은 비율은 자기 도시에서 일하는 사람); 선택지: (A) $55$, (B) $60$, (C) $85$, (D) $115$, (E) $160$
구하는 것: 도시 $A$ 를 일터로 하는 사람의 총 수
이해
문제 재정리: 마르코비아라는 나라에 도시 $A$, $B$, $C$ 세 곳이 있습니다. $A$에는 $100$ 명, $B$에는 $120$ 명, $C$에는 $160$ 명이 살고, 모든 주민은 세 도시 중 한 곳에서 일합니다(자기 도시에서 일해도 됩니다). 그림의 화살표 옆에 적힌 분수는 "화살표 시작 도시 주민 중에서 도착 도시로 출근하는 비율" 입니다(예: $A$ 주민의 $\tfrac{1}{4}$ 은 $B$ 로 출근). 도시 $A$ 에서 일하는 사람은 모두 몇 명일까요?
주어진 것: 인구: $A = 100$, $B = 120$, $C = 160$; $A$ 주민: $\tfrac{1}{4}$ 는 $B$ 로, $\tfrac{1}{5}$ 는 $C$ 로 출근; $B$ 주민: $\tfrac{1}{3}$ 은 $A$ 로, $\tfrac{1}{6}$ 은 $C$ 로 출근; $C$ 주민: $\tfrac{1}{8}$ 은 $A$ 로, $\tfrac{1}{10}$ 은 $B$ 로 출근; 모든 주민은 $A$, $B$, $C$ 중 정확히 한 도시에서 일함(남은 비율은 자기 도시에서 일하는 사람); 선택지: (A) $55$, (B) $60$, (C) $85$, (D) $115$, (E) $160$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
"$A$ 에서 일하는 사람 수" 라는 한 질문에 세 도시 거주자가 모두 섞여 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 써서 "$A$ 주민 중 $A$ 에서 일하는 사람", "$B$ 주민 중 $A$ 에서 일하는 사람", "$C$ 주민 중 $A$ 에서 일하는 사람" 세 개의 부분 문제로 나누면, 각각 "분수 $\times$ 인구" 한 번씩만 계산하면 끝납니다. 도구 #1(그림 그리기)은 자연스러운 짝꿍 도구입니다 — 문제에 이미 화살표 그림이 주어졌으니, $A$ 로 "들어오는" 화살표 두 개를 찾고, $A$ 에서 "나가는" 화살표가 차지하지 않은 "남은 비율" 이 $A$ 의 자기 자신 화살표라는 것을 그림에서 바로 읽으면 됩니다.
실행 — 정답: D
5.NF.A.1 단계 1 - 첫 번째 작은 문제: $A$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람의 수를 구합니다.
- 그림에서 $A$ 를 "빠져나가는" 화살표는 $A \to B$ 의 $\tfrac{1}{4}$ 와 $A \to C$ 의 $\tfrac{1}{5}$ 두 개입니다.
- 두 분수를 공통분모 $20$ 으로 통분해서 더합니다.
💡 분모가 다른 두 분수($\tfrac{1}{4}$ 와 $\tfrac{1}{5}$)를 $20$ 으로 통분해 더하는 것은 5학년 "분모가 다른 분수의 덧셈" 기능 그대로입니다.
5.NF.A.1 단계 2 - $A$ 주민은 모두 세 도시 중 한 곳에서 일하므로, 빠져나가지 않은 나머지 비율이 곧 $A$ 에 남아 일하는 비율입니다.
- 전체 $1$ 에서 빠져나가는 $\tfrac{9}{20}$ 를 뺍니다.
💡 그림을 보면 $A$ 를 떠나는 화살표는 두 개뿐이므로, 전체 $1$ 에서 그 합을 뺀 부분이 "$A \to A$" 자기 자신 화살표에 해당합니다.
4.NF.B.4 단계 3 이 비율을 $A$ 의 인구 $100$ 명에 곱해서 $A$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람 수를 구합니다.
💡 분수 $\tfrac{11}{20}$ 에 자연수 $100$ 을 곱하는 것은 4학년 "전체의 분수 부분 구하기" 입니다.
4.NF.B.4 단계 4 - 두 번째 작은 문제: $B$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람을 셉니다.
- $B \to A$ 화살표는 $\tfrac{1}{3}$ 이므로, $B$ 의 인구 $120$ 명에 곱합니다.
💡 $120$ 의 $\tfrac{1}{3}$ 을 구하는 전형적인 4학년 "수의 분수 부분" 계산입니다.
4.NF.B.4 단계 5 - 세 번째 작은 문제: $C$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람을 셉니다.
- $C \to A$ 화살표는 $\tfrac{1}{8}$ 이므로, $C$ 의 인구 $160$ 명에 곱합니다.
💡 $160$ 의 $\tfrac{1}{8}$ 은 $160 \div 8$ 과 같은 "수의 분수 부분" 입니다.
4.OA.A.3 단계 6 - 세 부분 문제의 결과를 모두 더합니다.
- 거주지로 분류하면 세 그룹이 서로 겹치지 않으므로, 그냥 더하면 $A$ 에서 일하는 사람을 한 명도 빠뜨리거나 중복하지 않습니다.
💡 세 부분 문제의 결과를 더해 최종 답을 만드는 4학년 "여러 단계 문장제" 의 마지막 단계입니다.
5.NF.A.1 첫 번째 작은 문제: $A$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람의 수를 구합니다. 그림에서 $A$ 를 "빠져나가는" 화살표는 $A \to B$ 5.NF.A.1 $A$ 주민은 모두 세 도시 중 한 곳에서 일하므로, 빠져나가지 않은 나머지 비율이 곧 $A$ 에 남아 일하는 비율입니다. 전체 $1$ 에서 빠 4.NF.B.4 이 비율을 $A$ 의 인구 $100$ 명에 곱해서 $A$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람 수를 구합니다. 4.NF.B.4 두 번째 작은 문제: $B$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람을 셉니다. $B \to A$ 화살표는 $\tfrac{1}{3}$ 이므로, $B$ 4.NF.B.4 세 번째 작은 문제: $C$ 에 살면서 $A$ 에서 일하는 사람을 셉니다. $C \to A$ 화살표는 $\tfrac{1}{8}$ 이므로, $C$ 4.OA.A.3 세 부분 문제의 결과를 모두 더합니다. 거주지로 분류하면 세 그룹이 서로 겹치지 않으므로, 그냥 더하면 $A$ 에서 일하는 사람을 한 명도 빠뜨 검토
합리성 확인: 전체 인구는 $100 + 120 + 160 = 380$ 명입니다. 만약 모두 자기 도시에서만 일했다면 $A$ 에는 $100$ 명만 있어야 하지만, 실제로는 $A$ 주민 중 $\tfrac{11}{20}$ ($55$ 명)만 남고, 대신 $B$ 에서 $40$ 명, $C$ 에서 $20$ 명이 "통근" 으로 유입되어 순증가 $+15$ 명이 생깁니다. 그래서 $A$ 의 일자리 수는 $115$ 명으로, 자기 인구 $100$ 명보다 살짝 많아진다는 결과가 선택지 (D) 와 정확히 맞습니다. 보존 점검: 전체 노동자 $380$ 명에서 $A$ 가 $115$ 를 가져가면 나머지 $265$ 명이 $B$ 와 $C$ 로 나뉘는데, $B$ 와 $C$ 의 인구 합이 $280$ 이므로 충분히 자연스러운 규모입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 빠르게 거를 수도 있습니다. $A$ 로 들어오는 화살표 두 개만 봐도 $B$ 에서 $120 \times \tfrac{1}{3} = 40$, $C$ 에서 $160 \times \tfrac{1}{8} = 20$, 합쳐서 외부에서 들어오는 인원만 $60$ 명입니다. 그러므로 답은 $A$ 주민 자체 기여($\geq 0$)를 더해 최소 $60$ 이상이어야 하고, (A) $55$ 와 (B) $60$ 은 곧장 탈락합니다((B) $60$ 은 $A$ 주민이 한 명도 안 남았다는 뜻인데, $A$ 에서 빠져나가는 비율이 $\tfrac{9}{20} < 1$ 이므로 모순). $A$ 주민 기여까지 더하는 유일한 선택지는 (D) $115$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈 ($\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{5} = \tfrac{9}{20}$ 계산과 $1 - \tfrac{9}{20} = \tfrac{11}{20}$ 계산을 통해 $A$ 에 남아 일하는 비율을 구하는 데 사용.)4.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈 ($100 \times \tfrac{11}{20} = 55$, $120 \times \tfrac{1}{3} = 40$, $160 \times \tfrac{1}{8} = 20$ 세 번의 "인구의 분수 부분" 계산에 사용.)4.OA.A.3네 가지 연산을 사용한 여러 단계 문장제 해결 (세 거주 그룹에서 얻은 부분합 $55 + 40 + 20 = 115$ 를 더해 최종 답을 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분모가 다른 분수의 덧셈" 과 4학년 때 배운 "수의 분수 부분 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분모가 다른 분수의 덧셈" 과 4학년 때 배운 "수의 분수 부분 구하기" 만 알면 풀 수 있어요!
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