gcdlattice-pathspattern-recognitioncoordinate-geometrypattern-recognitionidentify-subproblems↑ 선수 지식:gcd
📏 짧은 풀이💡 2 개 인사이트
문제
A rectangular floor that is 10 feet wide and 17 feet long is tiled with 170 one-foot square tiles. A bug walks from one corner to the opposite corner in a straight line. Including the first and the last tile, how many tiles does the bug visit?
문제 재정리: $10$ 피트 $\times$ $17$ 피트 직사각형 바닥에 한 변이 $1$ 피트인 정사각형 타일 $170$ 개가 깔려 있음. 벌레가 한 모서리에서 대각선 맞은편 모서리까지 직선으로 걸어감. 시작 타일과 끝 타일을 포함해 벌레가 지나가는 타일 개수를 구하시오.
주어진 것: 바닥 크기: $10 \times 17$ (피트); 타일은 $1 \times 1$ 정사각형, 즉 $10 \times 17$ 격자; 벌레는 한 모서리에서 대각 맞은편 모서리까지 직선 이동; 선택지: (A) $17$, (B) $25$, (C) $26$, (D) $27$, (E) $28$
구하는 것: 대각 직선이 지나는 타일 총 개수
이해
문제 재정리: $10$ 피트 $\times$ $17$ 피트 직사각형 바닥에 한 변이 $1$ 피트인 정사각형 타일 $170$ 개가 깔려 있음. 벌레가 한 모서리에서 대각선 맞은편 모서리까지 직선으로 걸어감. 시작 타일과 끝 타일을 포함해 벌레가 지나가는 타일 개수를 구하시오.
주어진 것: 바닥 크기: $10 \times 17$ (피트); 타일은 $1 \times 1$ 정사각형, 즉 $10 \times 17$ 격자; 벌레는 한 모서리에서 대각 맞은편 모서리까지 직선 이동; 선택지: (A) $17$, (B) $25$, (C) $26$, (D) $27$, (E) $28$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
$10 \times 17$ 격자 대각선이 지나는 타일을 직접 세기는 어려움. 도구 #9: 작은 격자 ($1 \times 1$, $2 \times 3$, $3 \times 4$, $3 \times 5$) 로 줄여 그림 (도구 #1) 으로 세기. 도구 #5 로 공식 $a + b - \gcd(a, b)$ 유추. $a = 10, b = 17$ 대입 후 도구 #3 으로 선택지 매칭.
실행 — 정답: C
#1 그림 그리기 5.G.A.2단계 1
쉬운 사례 먼저.
$2 \times 3$ 격자와 대각선 그리기.
대각선이 내부 세로선 $1$ 개와 내부 가로선 $1$ 개를 가르며 $4$ 개 타일 조각으로 나뉨.
지나가는 타일 $= 4$.
$$2 \times 3 \text{ 격자: 지나가는 타일} = 4$$
💡 대각선을 그리고 자르고 지나가는 타일을 직접 셈.
#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.G.A.2단계 2
다른 작은 사례.
$3 \times 4$: $\gcd(3, 4) = 1$ 이라 대각선이 격자점을 통과하지 않고 내부 세로선 $2$ 개·가로선 $3$ 개를 가름.
[5]
#3 6.NS.B.4$\gcd(10, 17) = 1$ 확인. $17$ 은 소수이고 $10$ 의 약수가 아니므로 공약수는 $1$ 뿐. 단순 공식 적용 가능.
[6]
#7 4.OA.A.3공식 $a + b - 1$ 에 $a = 10, b = 17$ 대입: 타일 $= 10 + 17 - 1 = 26$.
[7]
#3 4.NBT.A.2$26$ 은 (C).
검토
합리성 확인: 직접 검산: 벌레는 내부 세로선 $9$ 개 ($10$ 열 사이) 와 내부 가로선 $16$ 개 ($17$ 행 사이) 를 가름. $\gcd(10, 17) = 1$ 이라 대각선이 내부 격자점을 절대 지나지 않으니 두 종류 선이 동시에 만나는 일이 없음. $9 + 16 = 25$ 번의 가름 각각이 새 타일로 진입, 시작 타일 $1$ 을 더해 $1 + 25 = 26$. 일반 공식 $a + b - \gcd(a, b)$ 와 일치. $\max(a, b) = 17$ 와 $a + b - 1 = 26$ 사이 범위이므로 합리적. ✓
대안 접근: 도구 #1 (그림 그리기): 격자 종이에 $10 \times 17$ 직사각형과 대각선을 그려 직접 셀 수도 있음. $\gcd = 1$ 이면 대각선이 격자점을 안 지나니 세기 모호함 없음. 또는 공식 $a + b - \gcd(a, b)$ 의 일반형 (공약수가 있는 경우의 일반화) 사용. 어느 쪽이든 답 $26$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.2 점을 좌표 평면에 표시해 문제 표현 (작은 $2 \times 3$, $3 \times 4$, $3 \times 5$ 격자와 대각선을 그려 타일 수 직접 셈.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성 (작은 사례 결과를 $\gcd(a, b) = 1$ 일 때 $a + b - 1$ 공식으로 일반화.)
4.OA.A.3 여러 단계 응용 문제를 사칙연산으로 풀기 ($2 \times 3$, $3 \times 5$ 에서 공식 검증, $a = 10, b = 17$ 대입해 $10 + 17 - 1 = 26$ 계산.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 찾기 ($\gcd(10, 17) = 1$ 확인 (대각선이 격자점을 지나지 않아 단순 공식 적용 가능).)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $26$ 을 (C) 와 매칭.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — 작은 격자부터 시도. $2 \times 3$ 대각선은 $4$ 칸, $3 \times 5$ 대각선은 $7$ 칸 지남. $\gcd(a, b) = 1$ 이면 공식 $a + b - 1$. $\gcd(10, 17) = 1$ 이므로 벌레는 $10 + 17 - 1 = 26$ 개 타일을 지나감.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — 작은 격자부터 시도. $2 \times 3$ 대각선은 $4$ 칸, $3 \times 5$ 대각선은 $7$ 칸 지남. $\gcd(a, b) = 1$ 이면 공식 $a + b - 1$. $\gcd(10, 17) = 1$ 이므로 벌레는 $10 + 17 - 1 = 26$ 개 타일을 지나감.
