AMC 8 · 2024 · #23
학년 6 rate-ratio문제
현우는 아주 큰 모눈종이 한 장을 가지고 있습니다. 먼저 그는 점 (0,4)와 점 (2,0)을 잇는 선분을 그리고, 아래 그림과 같이 그 선분이 내부를 지나는 4개의 칸을 색칠했습니다. 다음으로 현우는 점 (2000,3000)과 점 (5000,8000)을 잇는 선분을 그립니다. 이번에는 몇 개의 칸을 색칠하게 됩니까?
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 모눈종이 위에서 점 $(2000, 3000)$ 과 점 $(5000, 8000)$ 을 잇는 **하나의 선분**이 내부를 통과(꼭짓점만 스치는 것은 제외)하는 **모눈 칸의 총 개수**를 묻는 문제입니다. 보조 예시로 $(0,4)\to(2,0)$ 의 선분이 정확히 $4$ 칸을 색칠한다는 사실이 그림과 함께 주어져 있습니다.
주어진 것: 선분의 두 끝점: $(2000, 3000)$ 과 $(5000, 8000)$; 예시: $(0,4)\to(2,0)$ 선분은 $4$ 개의 칸을 색칠한다; "색칠한다" = 선분이 그 칸의 **내부**와 만난다 (꼭짓점만 닿는 것은 셈하지 않음); 선택지: (A) 6000, (B) 6500, (C) 7000, (D) 7500, (E) 8000
구하는 것: $(2000,3000)\to(5000,8000)$ 선분이 내부를 통과하는 모눈 칸의 총 개수
이해
문제 재정리: 모눈종이 위에서 점 $(2000, 3000)$ 과 점 $(5000, 8000)$ 을 잇는 **하나의 선분**이 내부를 통과(꼭짓점만 스치는 것은 제외)하는 **모눈 칸의 총 개수**를 묻는 문제입니다. 보조 예시로 $(0,4)\to(2,0)$ 의 선분이 정확히 $4$ 칸을 색칠한다는 사실이 그림과 함께 주어져 있습니다.
주어진 것: 선분의 두 끝점: $(2000, 3000)$ 과 $(5000, 8000)$; 예시: $(0,4)\to(2,0)$ 선분은 $4$ 개의 칸을 색칠한다; "색칠한다" = 선분이 그 칸의 **내부**와 만난다 (꼭짓점만 닿는 것은 셈하지 않음); 선택지: (A) 6000, (B) 6500, (C) 7000, (D) 7500, (E) 8000
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기
끝점의 숫자 $2000, 3000, 5000, 8000$ 이 너무 커서 직접 칸을 세는 것은 불가능합니다. 그래서 가장 자연스러운 도구는 #9 — **숫자를 작게 줄여** $(0,0)\to(\Delta x, \Delta y)$ 모양의 작은 예시들을 도구 #1 로 직접 그려보고 결과를 표로 모으는 것입니다. 그 표에서 #5 **패턴 찾기** 로 "칸 개수 = $\Delta x + \Delta y -$ (보정값)" 형태의 규칙을 발견하고, 보정값이 "선분이 통과하는 격자점의 개수"임을 확인합니다. 마지막에 #2 로 가능한 보정값을 빠짐없이 확인하고 원래 큰 숫자에 적용하면 됩니다. 초등학생도 그림 + 작은 표만으로 충분히 도달할 수 있는 길이라, 도구 #13(대수)이나 무거운 공식 유도는 필요하지 않습니다.
실행 — 정답: C
4.NBT.B.4 단계 1 - 먼저 큰 숫자를 다루기 쉽게 만듭니다.
- 선분 $(2000,3000)\to(5000,8000)$ 을 격자 전체와 함께 **왼쪽으로 $2000$, 아래로 $3000$ 평행이동** 하면 $(0,0)\to(3000, 5000)$ 가 됩니다.
- 격자선과 칸들도 같은 양만큼 함께 움직이므로 "선분이 통과하는 칸의 개수"는 전혀 변하지 않습니다.
- 따라서 우리는 $(0,0)$ 에서 $(\Delta x, \Delta y) = (3000, 5000)$ 까지 가는 선분의 칸 수만 세면 됩니다.
💡 $5000-2000$ 과 $8000-3000$ 같은 네 자리 수 뺄셈은 4학년에서 능숙하게 다루는 다자리 수 뺄셈입니다.
5.G.A.2 단계 2 - 다음으로 $(0,0)\to(\Delta x, \Delta y)$ 모양에서 $\Delta x, \Delta y$ 가 아주 작은 경우들을 **모눈종이에 직접 그려서** 색칠된 칸의 수를 세어 봅니다 (도구 #9).
- 예: $(0,0)\to(1,1)$ 은 정사각형 대각선이라 두 칸의 꼭짓점만 스치므로 색칠은 $1$ 칸.
- $(0,0)\to(1,2)$ 는 $2$ 칸.
- $(0,0)\to(2,3)$ 는 직접 그리면 $4$ 칸.
- $(0,0)\to(2,4)$ 는 문제에 주어진 $(0,4)\to(2,0)$ 예시와 모양이 같아 $4$ 칸.
- $(0,0)\to(3,5)$ 는 $7$ 칸.
💡 좌표 평면에 점과 선분을 표시하고 그 위에서 칸을 세는 일은 5학년의 좌표 평면 활용 표준 그대로입니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 표를 보고 도구 #5 로 규칙을 찾아 봅니다.
- 먼저 "칸 수 = $\Delta x + \Delta y$" 라고 추측해 보면 $(1,2)\to 3$ 이 되어 실제 $2$ 와 맞지 않습니다.
- 그러면 "$\Delta x + \Delta y - 1$" 은 어떨까?
- $(1,2):1+2-1=2$ ✓, $(2,3):2+3-1=4$ ✓, $(3,5):3+5-1=7$ ✓.
- 그런데 $(1,1)$ 은 $1+1-1=1$ ✓ 이지만, $(2,4)$ 은 $2+4-1=5$ 인데 실제는 $4$.
- 차이 $1$ 만큼 더 빼야 합니다.
- $(2,2)$ 를 직접 그려 보면 칸 수는 $2$ 인데 공식 추측은 $2+2-1=3$ 이라 역시 $1$ 더 빼야 합니다.
💡 여러 경우를 표로 늘어놓고 "이 규칙이 맞나? 어디서 빗나가나?"를 살피는 것은 4학년의 "주어진 규칙에 맞는 패턴 찾기" 활동입니다.
5.G.A.2 단계 4 - $(2,4)$ 와 $(2,2)$ 에서만 $1$ 이 더 빠지는 이유를 그림에서 살핍니다.
- $(0,0)\to(2,4)$ 선분은 도중에 정수 좌표 격자점 $(1,2)$ 를 지나고, $(0,0)\to(2,2)$ 는 격자점 $(1,1)$ 을 지납니다.
- 격자점을 지날 때마다 선분은 가로 격자선과 세로 격자선을 "한 점에서 동시에" 건너므로 새 칸이 하나씩 덜 늘어납니다.
- 그래서 보정값은 "선분이 도중에 지나는 격자점 수" $+\ 1$ (양 끝점 중 안 세는 1을 합쳐) = **선분 위 정수 좌표점의 개수에 따른 보정**이 됩니다.
- 결론적으로 칸 수 = $\Delta x + \Delta y - g$, 여기서 $g$ 는 끝점을 포함한 격자점 수에서 1을 뺀 값입니다.
💡 선분 위의 격자점 위치를 좌표로 확인하는 것은 5학년의 좌표 평면에서 점을 그리고 읽는 표준에 해당합니다.
6.NS.B.4 단계 5 - 그렇다면 $(0,0)\to(\Delta x, \Delta y)$ 선분 위 정수 격자점은 몇 개일까요?
- 선분 위의 정수점은 $(k\cdot \Delta x / d,\; k\cdot \Delta y / d)$ 모양 ($k = 0, 1, \ldots, d$)인데, 여기서 $d$ 는 $\Delta x$ 와 $\Delta y$ 의 "공통 척도"입니다.
- 예시 표로 확인하면 $(2,4)$ 에서 $d=2$ (격자점 3개: $(0,0),(1,2),(2,4)$), $(3,5)$ 에서 $d=1$ (양 끝뿐), $(2,2)$ 에서 $d=2$.
- 이 $d$ 가 바로 두 수의 **최대공약수** $\gcd(\Delta x, \Delta y)$ 입니다.
- 따라서 우리가 찾던 공식은 $$N = \Delta x + \Delta y - \gcd(\Delta x, \Delta y).$$ 표의 모든 작은 예시에 대입해 다시 검산하면 모두 맞습니다.
💡 두 수의 공통 척도(최대공약수)를 찾아내는 것은 6학년의 GCD 표준에서 다루는 핵심 개념입니다.
6.NS.B.4 단계 6 - 이제 큰 숫자에 적용합니다.
- $\gcd(3000, 5000)$ 을 구해야 합니다.
- $3000 = 1000 \times 3$, $5000 = 1000 \times 5$ 이고 $3$ 과 $5$ 는 서로 다른 소수라 공약수가 $1$ 뿐이므로 공통 척도는 $1000$ 입니다.
- 즉 $\gcd(3000,5000)=1000$.
- 공식에 대입: $N = 3000 + 5000 - 1000 = 7000$.
- 따라서 색칠된 칸의 수는 $\mathbf{7000}$ 으로, 선택지 (C) 와 일치합니다.
💡 $1000$ 이 $3000$ 과 $5000$ 의 최대공약수임을 확인하는 것은 6학년 GCD 표준 그대로의 적용입니다.
4.NBT.B.4 먼저 큰 숫자를 다루기 쉽게 만듭니다. 선분 $(2000,3000)\to(5000,8000)$ 을 격자 전체와 함께 **왼쪽으로 $2000$, 5.G.A.2 다음으로 $(0,0)\to(\Delta x, \Delta y)$ 모양에서 $\Delta x, \Delta y$ 가 아주 작은 경우들을 **모눈종 4.OA.C.5 표를 보고 도구 #5 로 규칙을 찾아 봅니다. 먼저 "칸 수 = $\Delta x + \Delta y$" 라고 추측해 보면 $(1,2)\to 3 5.G.A.2 $(2,4)$ 와 $(2,2)$ 에서만 $1$ 이 더 빠지는 이유를 그림에서 살핍니다. $(0,0)\to(2,4)$ 선분은 도중에 정수 좌표 격 6.NS.B.4 그렇다면 $(0,0)\to(\Delta x, \Delta y)$ 선분 위 정수 격자점은 몇 개일까요? 선분 위의 정수점은 $(k\cdot \De 6.NS.B.4 이제 큰 숫자에 적용합니다. $\gcd(3000, 5000)$ 을 구해야 합니다. $3000 = 1000 \times 3$, $5000 = 10 검토
합리성 확인: 공식 $N = \Delta x + \Delta y - \gcd$ 가 처음에 주어진 그림 예시 $(0,4)\to(2,0)$ 에서 $\Delta x = 2,\;\Delta y = 4,\;\gcd(2,4)=2$ 이므로 $2+4-2=4$ — 그림에 색칠된 정확히 $4$ 칸과 맞아떨어집니다. 크기 감각으로도 $3000+5000=8000$ 보다는 작고 $3000+5000$ 의 절반 이상은 되어야 하므로 $7000$ 은 자연스러운 값이며, 선택지 (A) $6000$ 은 격자점 보정을 너무 많이 빼서, (E) $8000$ 은 보정을 아예 안 빼서 나오는 전형적인 함정 값임을 확인할 수 있습니다.
대안 접근: 다른 길로는 도구 #1 만으로 큰 그림을 "비례 축소" 해서 풀 수도 있습니다. $(0,0)\to(3,5)$ 는 직접 그려서 $7$ 칸임을 셀 수 있고, $(0,0)\to(3000,5000)$ 은 그 도형 전체를 $1000$ 배 확대한 것과 모양이 똑같으므로 각 격자점이 새로운 $1000\times1000$ 의 큰 격자점이 되고, 같은 길이 비율로 $7\times1000 = 7000$ 칸이 색칠됩니다. 이렇게 "닮음 + 축소된 그림" 으로도 같은 답에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.B.4여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (선분의 시작점을 원점으로 옮기기 위해 $5000-2000=3000$, $8000-3000=5000$ 같은 네 자리 수 뺄셈을 수행.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수나 모양 패턴을 생성한다 ($(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(3,5)$ 같은 작은 예시의 칸 수를 표로 모아 "$\Delta x + \Delta y - ?$" 형태의 규칙을 찾아내는 데 사용.)5.G.A.2좌표 평면에 점을 그려 실생활 및 수학적 문제를 표현한다 ($(0,0)\to(\Delta x,\Delta y)$ 작은 선분과 그 위의 격자점을 좌표 평면에 그려서 칸 수와 격자점을 직접 세는 데 사용.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구한다 (선분이 지나는 격자점 개수를 결정하는 보정값 $\gcd(3000,5000)=1000$ 을 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최대공약수(GCD)만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최대공약수(GCD)만 알면 풀 수 있어요!
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