coordinate-geometrypattern-recognitionsequences-arithmeticpattern-recognitionidentify-subproblemsphysical-representation↑ 선수 지식:coordinate-geometrysequences-arithmetic
📏 중간 풀이💡 2 개 인사이트
문제
Andy the Ant lives on a coordinate plane and is currently at (−20,20) facing east (that is, in the positive x-direction). Andy moves 1 unit and then turns 90∘ left. From there, Andy moves 2 units (north) and then turns 90∘ left. He then moves 3 units (west) and again turns 90∘ left. Andy continues his progress, increasing his distance each time by 1 unit and always turning left. What is the location of the point at which Andy makes the 2020th left turn?
문제 재정리: 개미 Andy가 $(-20, 20)$ 에서 동쪽을 보고 출발합니다. $1$ 칸 가고 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전, $2$ 칸 가고 회전, $3$ 칸 가고 회전 — 이렇게 매번 이동 거리를 $1$ 씩 늘리며 왼쪽으로만 도는 산책을 합니다. $2020$ 번째 왼쪽 회전을 하는 지점의 좌표는?
주어진 것: 출발점 $(-20, 20)$, 동쪽 방향; 이동 거리 $1, 2, 3, 4, \ldots$ 로 증가; 각 이동 후 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전; 방향 순환: 동 $\to$ 북 $\to$ 서 $\to$ 남 $\to$ 동 $\to \ldots$; 선택지: $(-1030, -994),\; (-1030, -990),\; (-1026, -994),\; (-1026, -990),\; (-1022, -994)$
구하는 것: $2020$ 번째 왼쪽 회전 지점의 좌표
이해
문제 재정리: 개미 Andy가 $(-20, 20)$ 에서 동쪽을 보고 출발합니다. $1$ 칸 가고 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전, $2$ 칸 가고 회전, $3$ 칸 가고 회전 — 이렇게 매번 이동 거리를 $1$ 씩 늘리며 왼쪽으로만 도는 산책을 합니다. $2020$ 번째 왼쪽 회전을 하는 지점의 좌표는?
주어진 것: 출발점 $(-20, 20)$, 동쪽 방향; 이동 거리 $1, 2, 3, 4, \ldots$ 로 증가; 각 이동 후 왼쪽으로 $90^\circ$ 회전; 방향 순환: 동 $\to$ 북 $\to$ 서 $\to$ 남 $\to$ 동 $\to \ldots$; 선택지: $(-1030, -994),\; (-1030, -990),\; (-1026, -994),\; (-1026, -990),\; (-1022, -994)$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림): 처음 몇 번 이동을 모눈종이에 그려 바깥쪽 나선과 동-북-서-남 순환을 시각화. 도구 #5(패턴): 연속한 $4$ 번 이동이 한 방향 사이클을 이룸 — 그 블록의 순 변위를 살피기. 도구 #7(쪼개기): $x$ 변화와 $y$ 변화를 분리해 각각 합산. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 좌표를 다섯 선택지와 매칭.
실행 — 정답: B
#1 그림 그리기 5.G.A.2단계 1
처음 몇 이동을 모눈에 그리기.
$(-20, 20)$ 에서 시작: $1$ 칸 동 → $(-19, 20)$, 회전 후 $2$ 칸 북 → $(-19, 22)$, 회전 후 $3$ 칸 서 → $(-22, 22)$, 회전 후 $4$ 칸 남 → $(-22, 18)$.
$4$ 번 이동 후 시작점 대비 $(-2, -2)$ 만큼 이동 — 바깥으로 도는 나선이 보임.
[6]
#3 6.NS.C.6$(-1030, -990)$ 을 선택지와 매칭: (B). 빠른 검산 — 출발 $(-20, 20)$ 에서 $y - x = 40$, 매 블록마다 $
검토
합리성 확인: $4$ 이동마다 순 이동 $(-2, -2)$ — 평균적으로 한 이동당 $\tfrac{1}{2}$ 칸씩 남서로. $2020$ 이동이면 약 $1010$ 칸씩 두 방향, 즉 $(-1030, -990)$ 부근에 도달 — 자릿수와 정확히 일치. 또한 $y - x = 40$ 불변량으로 다섯 중 네 선택지를 즉시 배제 가능.
대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 선택지의 $y - x$ 계산: (A) $36$, (B) $40$, (C) $32$, (D) $36$, (E) $28$. 출발 $(-20, 20)$ 에서 $y - x = 40$ 이고 매 $4$ 이동 블록은 $y - x$ 를 보존 ($\Delta y - \Delta x = -2 - (-2) = 0$) 하므로 답도 $40$. (B)만 일치 — 산술 대부분 생략 가능.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성하기 (매 $4$ 이동마다 동-북-서-남 순환 식별.)
5.G.A.2 좌표평면 위의 점으로 실생활·수학 문제 표현하기 (처음 몇 이동을 좌표평면에 그려 나선 구조 파악.)
5.NBT.B.5 다자릿수 정수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($505$ 블록 × 블록당 변위 $(-2, -2)$ 곱셈.)
6.NS.C.5 양수와 음수가 양적인 의미를 가짐을 이해하기 (동/서, 북/남을 부호 있는 기여로 다뤄 $-2$ 로 정리.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해하기 (부호 있는 변위 $(-1010, -1010)$ 을 출발 좌표에 합성.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 부호 있는 좌표만 알면 풀 수 있어요! $4$ 이동마다 Andy는 동·북·서·남으로 가는데, 동-서 쌍은 $x$ 에서 $-2$, 북-남 쌍은 $y$ 에서 $-2$ — 길이가 아무리 커도 상쇄. $2020 = 4 \cdot 505$ 이동이면 $505$ 개 블록, 총 변위 $(-1010, -1010)$. $(-20, 20)$ 에서 $\mathbf{(-1030, -990)}$ 에 도착, 답 (B).
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 부호 있는 좌표만 알면 풀 수 있어요! $4$ 이동마다 Andy는 동·북·서·남으로 가는데, 동-서 쌍은 $x$ 에서 $-2$, 북-남 쌍은 $y$ 에서 $-2$ — 길이가 아무리 커도 상쇄. $2020 = 4 \cdot 505$ 이동이면 $505$ 개 블록, 총 변위 $(-1010, -1010)$. $(-20, 20)$ 에서 $\mathbf{(-1030, -990)}$ 에 도착, 답 (B).
