AMC 10 · 2019 · #24
학년 8 algebra문제
Let p, q, and r be the distinct roots of the polynomial x3−22x2+80x−67. It is given that there exist real numbers A, B, and C such that s3−22s2+80s−671=s−pA+s−qB+s−rCfor all s∈{p,q,r}. What is A1+B1+C1?
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AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $p, q, r$ 는 $x^3 - 22x^2 + 80x - 67$ 의 서로 다른 세 근이에요. 모든 유효한 $s$ 에서 $\dfrac{1}{s^3 - 22s^2 + 80s - 67} = \dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$ 가 되는 실수 $A, B, C$ 가 있어요. $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C}$ 를 구하세요.
주어진 것: 삼차 $x^3 - 22x^2 + 80x - 67$ 의 서로 다른 세 실근 $p, q, r$; 부분분수 분해 $\dfrac{1}{(s-p)(s-q)(s-r)} = \dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$; 비에타 합: $p + q + r = 22$, $pq + qr + rp = 80$, $pqr = 67$; 선택지: (A) $243$, (B) $244$, (C) $245$, (D) $246$, (E) $247$
구하는 것: $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C}$
이해
문제 재정리: $p, q, r$ 는 $x^3 - 22x^2 + 80x - 67$ 의 서로 다른 세 근이에요. 모든 유효한 $s$ 에서 $\dfrac{1}{s^3 - 22s^2 + 80s - 67} = \dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$ 가 되는 실수 $A, B, C$ 가 있어요. $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C}$ 를 구하세요.
주어진 것: 삼차 $x^3 - 22x^2 + 80x - 67$ 의 서로 다른 세 실근 $p, q, r$; 부분분수 분해 $\dfrac{1}{(s-p)(s-q)(s-r)} = \dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$; 비에타 합: $p + q + r = 22$, $pq + qr + rp = 80$, $pqr = 67$; 선택지: (A) $243$, (B) $244$, (C) $245$, (D) $246$, (E) $247$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #13 대수로 바꾸기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (가) $A, B, C$ 각각의 닫힌 식 찾기, (나) $\tfrac{1}{A} + \tfrac{1}{B} + \tfrac{1}{C}$ 를 $p, q, r$ 의 대칭식으로 정리, (다) 비에타로 평가. 도구 #11(거꾸로 풀기): $(s-p)(s-q)(s-r)$ 로 곱해 분수 제거 후 $s = p$ 대입해 $A$ 분리. 도구 #13(대수): 기호 조작 필수. 도구 #9(더 쉬운 문제): $p^2 + q^2 + r^2 = (p+q+r)^2 - 2(pq+qr+rp)$ 라는 작은 항등식 활용.
실행 — 정답: B
8.EE.C.7 단계 1 - 양변에 $(s-p)(s-q)(s-r) = s^3 - 22s^2 + 80s - 67$ 을 곱해 분모 제거: $1 = A(s-q)(s-r) + B(s-p)(s-r) + C(s-p)(s-q)$.
- 모든 $s$ 에 대해 성립하는 다항식 등식.
💡 분수 제거하면 다루기 쉬운 단일 다항식 등식.
8.EE.C.7 단계 2 - $s = p$ 대입: 뒤 두 항은 $s - p = 0$ 이라 사라짐, $1 = A(p - q)(p - r)$, 따라서 $A = \dfrac{1}{(p - q)(p - r)}$.
- $s = q, r$ 도 같은 방식으로 $B, C$ 의 대칭 식 도출.
💡 $s = p$ 대입으로 다른 두 항이 사라져 $A$ 만 분리됨.
6.EE.A.3 단계 3 - 역수: $\dfrac{1}{A} = (p-q)(p-r)$, $\dfrac{1}{B} = (q-p)(q-r)$, $\dfrac{1}{C} = (r-p)(r-q)$.
- 합산.
💡 곱의 역수의 역수 = 곱 그대로.
7.EE.A.1 단계 4 - 각 곱 전개: $(p-q)(p-r) = p^2 - p(q+r) + qr$.
- 세 순환 형태 더하기: \\ $(p^2 + q^2 + r^2) - [p(q+r) + q(p+r) + r(p+q)] + (qr + pr + pq) = (p^2 + q^2 + r^2) - 2(pq + qr + rp) + (pq + qr + rp)$.
💡 교차항 $p(q+r) + q(p+r) + r(p+q) = 2(pq+qr+rp)$ 가 중간을 $-(pq+qr+rp)$ 로 정리.
7.EE.A.1 단계 5 - 항등식 $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 - 2(pq + qr + rp)$ 활용 — $(p+q+r)^2$ 전개.
- 비에타: $p + q + r = 22$, $pq + qr + rp = 80$.
- 따라서 $p^2 + q^2 + r^2 = 22^2 - 2 \cdot 80 = 484 - 160 = 324$.
💡 (합)$^2$ 에서 쌍별 곱 합의 두 배를 빼면 제곱 합.
4.NBT.B.4 단계 6 - 결합: $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} = 324 - 80 = 244$.
- 정답 (B).
💡 제곱 합에서 쌍별 곱 합을 빼면 목표 값.
8.EE.C.7 양변에 $(s-p)(s-q)(s-r) = s^3 - 22s^2 + 80s - 67$ 을 곱해 분모 제거: $1 = A(s-q)(s-r) + B( 8.EE.C.7 $s = p$ 대입: 뒤 두 항은 $s - p = 0$ 이라 사라짐, $1 = A(p - q)(p - r)$, 따라서 $A = \dfrac{1} 6.EE.A.3 역수: $\dfrac{1}{A} = (p-q)(p-r)$, $\dfrac{1}{B} = (q-p)(q-r)$, $\dfrac{1}{C} = (r 7.EE.A.1 각 곱 전개: $(p-q)(p-r) = p^2 - p(q+r) + qr$. 세 순환 형태 더하기: \\ $(p^2 + q^2 + r^2) - [ 7.EE.A.1 항등식 $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 - 2(pq + qr + rp)$ 활용 — $(p+q+r)^2$ 전개. 비에타 4.NBT.B.4 결합: $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} = 324 - 80 = 244$. 정답 (B). 검토
합리성 확인: 삼차 $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ (여기서 $b = -22, c = 80, d = -67$) 의 비에타: $\sum p = -b = 22$, $\sum pq = c = 80$, $\prod p = -d = 67$ — 모두 양수, 서로 다른 세 실근과 일관. 원 다항식 상수항 $-67$ 은 답에 직접 쓰이지 않음 (비에타 $pqr = 67$ 은 등장만 함, 답은 처음 두 기본 대칭합에만 의존). $324 - 80 = 244$ 가 좁은 범위 $243$ – $247$ 한가운데, (B) 만 일치. 항 정리 점검: $(p-q)(p-r) + (q-p)(q-r) + (r-p)(r-q)$ 에서 각 $p^2$ 가 한 번씩, 각 $pq$ 가 순계수 $-1$ 로 나타나 공식 $\sum p_i^2 - \sum_{i<j} p_ip_j$ 확인.
대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 구체 삼차로 검증. 근이 $1, 2, 3$ 인 $(x-1)(x-2)(x-3)$ 의 비에타 합 $6, 11, 6$. 같은 부분분수 공식으로 $\tfrac{1}{A} + \tfrac{1}{B} + \tfrac{1}{C} = (1-2)(1-3) + (2-1)(2-3) + (3-1)(3-2) = 2 - 1 + 2 = 3$. 그리고 $\sum p^2 - \sum pq = (1 + 4 + 9) - 11 = 14 - 11 = 3$. ✓ 공식 확인. 비에타 $22, 80$ 대입해 즉시 $244$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.NBT.B.4여러 자리 정수의 능숙한 덧셈·뺄셈 (최종 계산 $324 - 80 = 244$.)6.EE.A.3연산 성질로 동등한 식 만들기 ($A, B, C$ 역수 — $\tfrac{1}{(p-q)(p-r)}$ 를 $(p-q)(p-r)$ 로 뒤집기.)7.EE.A.1일차식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개 ($(p-q)(p-r)$ 등 전개·동류항 정리, 그리고 $(p+q+r)^2 = p^2+q^2+r^2 + 2(pq+qr+rp)$ 사용.)8.EE.C.7한 변수 일차방정식 풀기 (부분분수 분모 제거와 $s = p$ 대입 ($s$ 에 대한 일차 조작) 으로 $A$ 분리.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 방정식 정리 기법과 7학년 식 전개만 있으면 풀려요 — 곱셈으로 분모 제거, $s = p$ 대입해 $A = \tfrac{1}{(p-q)(p-r)}$ 얻기, 세 역수 합 = $(p^2 + q^2 + r^2) - (pq + qr + rp) = 324 - 80 = 244$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 방정식 정리 기법과 7학년 식 전개만 있으면 풀려요 — 곱셈으로 분모 제거, $s = p$ 대입해 $A = \tfrac{1}{(p-q)(p-r)}$ 얻기, 세 역수 합 = $(p^2 + q^2 + r^2) - (pq + qr + rp) = 324 - 80 = 244$.
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