AMC 10 · 2020 · #12

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglescentroid-2-to-1isosceles-trianglespatial-visualization identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Triangle $AMC$ is isosceles with $AM = AC$ . Medians $\overline{MV}$ and $\overline{CU}$ are perpendicular to each other, and $MV=CU=12$ . What is the area of $\triangle AMC?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

144

(E)

192

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $AM = AC$ 인 이등변삼각형 $\triangle AMC$ 에서, 두 중선 $\overline{MV}$ ($M$ 에서 $\overline{AC}$ 의 중점 $V$ 로) 와 $\overline{CU}$ ($C$ 에서 $\overline{AM}$ 의 중점 $U$ 로) 가 서로 수직이고 각각 길이 $12$ 입니다. $\triangle AMC$ 의 넓이를 구하세요.

주어진 것: $\triangle AMC$ 는 $AM = AC$ 인 이등변삼각형; $\overline{MV}, \overline{CU}$ 는 중선; $\overline{MV} \perp \overline{CU}$; $MV = CU = 12$; 선택지: $48,\; 72,\; 96,\; 144,\; 192$

구하는 것: $\triangle AMC$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림): $\triangle AMC$ 와 두 중선 $\overline{MV}, \overline{CU}$ 를 그리고, 교점을 $P$(무게중심)로 표시한 뒤 그 자리에 직각 표시. 도구 #7(쪼개기): 전체 삼각형 넓이를 한 번에 구하지 말고 (a) 무게중심 $2:1$ 비율로 $MP, CP$ 길이를 얻고, (b) 직각을 낀 작은 삼각형 $\triangle MPC$ 의 넓이를 구한 다음, (c) "무게중심이 만든 세 작은 삼각형의 넓이가 같다" 는 성질로 $\triangle AMC$ 까지 확장. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 값을 다섯 선택지와 매칭.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

$\triangle AMC$ 위에 두 중선 $\overline{MV}$ ($M$ → $\overline{AC}$ 의 중점 $V$) 와 $\overline{CU}$ ($C$ → $\overline{AM}$ 의 중점 $U$) 를 그린다.
교점이 무게중심 $P$.
$\angle MPC = 90^\circ$ 표시와 $MV = CU = 12$ 표시.

$$P = \overline{MV} \cap \overline{CU},\quad \angle MPC = 90^\circ,\quad MV = CU = 12$$

💡 4학년 기본 도형: 선분과 직각을 표시해 두면 측정할 것이 한눈에 보임.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 2

중선 $\overline{MV}$ 에 무게중심 $2:1$ 적용: $MP = \tfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$, $PV = \tfrac{1}{3} \cdot 12 = 4$.
중선 $\overline{CU}$ 에도 똑같이: $CP = \tfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$, $PU = \tfrac{1}{3} \cdot 12 = 4$.

$$MP = \tfrac{2}{3}(12) = 8,\quad CP = \tfrac{2}{3}(12) = 8$$

💡 5학년 분수×자연수: $12$ 의 $\tfrac{2}{3}$ 가 각 중선의 "긴 쪽".

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

원래 삼각형 안의 작은 삼각형 $\triangle MPC$ 를 본다.
두 변 $MP = 8, CP = 8$ 이 $P$ 에서 직각을 이루므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$.

$$[MPC] = \tfrac{1}{2} \cdot MP \cdot CP = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$

💡 6학년 삼각형 넓이: 직각 끼고 있으면 두 변이 바로 밑변·높이.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.6 단계 4

무게중심에서 세 꼭짓점으로 그은 $PA, PM, PC$ 가 $\triangle AMC$ 를 $\triangle APM, \triangle MPC, \triangle APC$ 세 조각으로 나누고, 무게중심 성질에 의해 이 세 조각은 넓이가 같다.
따라서 $[AMC] = 3 \cdot [MPC] = 3 \cdot 32 = 96$.

$$[AMC] = 3 \cdot [MPC] = 3 \cdot 32 = 96$$

💡 7학년 넓이 합치기: 같은 크기의 세 조각이 모이면 전체.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

$96$ 을 선택지와 매칭: (C).
다른 값들은 $\tfrac{2}{3}$ 인수($48, 72, 144$) 또는 "$3$ 배 대신 $2$ 배"($192$) 같은 실수를 했을 때 나오는 값.

$$[AMC] = 96 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 4학년 크기 비교: $96$ 과 같은 보기는 하나뿐.

[1] #1 4.G.A.1 $\triangle AMC$ 위에 두 중선 $\overline{MV}$ ($M$ → $\overline{AC}$ 의 중점 $V$) 와 $\ove

[2] #7 5.NF.B.4 중선 $\overline{MV}$ 에 무게중심 $2:1$ 적용: $MP = \tfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$, $PV = \tfr

[3] #7 6.G.A.1 원래 삼각형 안의 작은 삼각형 $\triangle MPC$ 를 본다. 두 변 $MP = 8, CP = 8$ 이 $P$ 에서 직각을 이루므로 넓이

[4] #7 7.G.B.6 무게중심에서 세 꼭짓점으로 그은 $PA, PM, PC$ 가 $\triangle AMC$ 를 $\triangle APM, \triangle MPC

[5] #3 4.NBT.A.2 $96$ 을 선택지와 매칭: (C). 다른 값들은 $\tfrac{2}{3}$ 인수($48, 72, 144$) 또는 "$3$ 배 대신 $2$ 배"

검토

합리성 확인: 직관 점검: 두 중선이 길이 $12$ 로 서로 직각인 삼각형의 넓이는 위치를 옮겨도 그대로. 잘 알려진 "삼각형의 넓이 $= \tfrac{4}{3} \times$ (세 중선으로 만든 삼각형의 넓이)" 지름길에서, 여기 중선 삼각형은 두 변이 $12, 12$ 이고 $90^\circ$ 를 끼므로 넓이 $\tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$. 따라서 $[AMC] = \tfrac{4}{3} \cdot 72 = 96$. ✓ 일치.

대안 접근: 도구 #1(그림) + 좌표. $P = (0,0)$ 을 무게중심으로 두고 $\overline{CU}$ 를 $x$ 축, $\overline{MV}$ 를 $y$ 축에 정렬. 그러면 $C = (8, 0), U = (-4, 0), M = (0, -8), V = (0, 4)$. $U$ 는 $\overline{AM}$ 의 중점이므로 $A = 2U - M = (-8, 0) - (0, -8) = (-8, 8)$. 신발끈 공식: $[AMC] = \tfrac{1}{2}|x_A(y_M - y_C) + x_M(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_M)| = \tfrac{1}{2}|(-8)(-8) + 0 + 8 \cdot 16| = \tfrac{1}{2}|64 + 128| = 96$. 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.G.A.1 점·선·선분·반직선·각을 그리고 도형 안에서 식별하기 ($\triangle AMC$, 두 중선, 무게중심 $P$ 의 직각 표시 등 그림 구성.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰며 부등호로 비교하기 (계산된 넓이 $96$ 을 선택지와 매칭.)
5.NF.B.4 분수와 자연수의 곱셈으로 곱의 이해를 확장하기 (각 중선의 긴 쪽 $\tfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$ 을 계산.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 구성으로 구하기 (직각을 낀 두 변 $8, 8$ 로 $[MPC] = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8$ 계산.)
7.G.B.6 넓이·부피·겉넓이가 등장하는 실생활·수학 문제 풀기 (무게중심이 만든 세 등면적 부분삼각형을 합쳐 $[AMC] = 3 \cdot 32 = 96$ 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 넓이만 알면 풀 수 있어요! 두 중선이 무게중심 $P$ 에서 만나고, 무게중심은 각 중선의 $\tfrac{2}{3}$ 를 가져가므로 $MP = CP = \tfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$. $\angle MPC = 90^\circ$ 이라 작은 삼각형 $MPC$ 의 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$. 무게중심이 전체 삼각형을 넓이가 같은 세 조각으로 나누니까 $[AMC] = 3 \cdot 32 = \mathbf{96}$, 답 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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