AMC 10 · 2021 · #7

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlestangent-circlessymmetry-argumentset-partition identify-subproblemscaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In a plane, four circles with radii $1,3,5,$ and $7$ are tangent to line $\ell$ at the same point $A,$ but they may be on either side of $\ell$ . Region $S$ consists of all the points that lie inside exactly one of the four circles. What is the maximum possible area of region $S$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$24\pi$

(B)

$32\pi$

(C)

$64\pi$

(D)

$65\pi$

(E)

$84\pi$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 각각 $1, 3, 5, 7$ 인 네 개의 원이 모두 직선 $\ell$ 위의 같은 점 $A$ 에서 접합니다. 각 원은 $\ell$ 의 위쪽이나 아래쪽 어느 쪽에 둘 수도 있습니다. 영역 $S$ 는 정확히 한 원 안에만 들어가는 점들의 집합. 위/아래 배치를 골라 $S$ 의 넓이를 최대로 만드세요.

주어진 것: 네 원의 반지름 $1, 3, 5, 7$ — 넓이는 각각 $\pi, 9\pi, 25\pi, 49\pi$; 모두 같은 점 $A$ 에서 $\ell$ 에 접 — 같은 쪽에 있으면 작은 원이 큰 원 안에 완전히 포함; $S$ = 정확히 한 원 안에만 있는 점들; 선택지: (A) $24\pi$, (B) $32\pi$, (C) $64\pi$, (D) $65\pi$, (E) $84\pi$

구하는 것: 영역 $S$ 의 최대 가능 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기): 같은 쪽에 접한 두 원을 그려보면 자동으로 겹쳐 쌓이고 '정확히 한 원' 영역은 바깥 고리만 남음. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $S$ 를 '위쪽 기여' + '아래쪽 기여' 로 분리 — 두 영역이 점 $A$ 만 공유. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $\{1, 3, 5, 7\}$ 을 두 쪽으로 가르는 본질적으로 다른 분할을 표로 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 최대값을 주는 분할을 골라 선택지와 매칭. 큰 원 $7$ 과 $5$ 를 서로 다른 쪽에 둬야 양수 기여가 커지고, 작은 원 $3, 1$ 은 큰 원 안에 숨겨 손실을 최소화.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

반지름 $r$ 인 원이 수평선 $\ell$ 위 점 $A$ 에서 접하면 중심은 $A$ 의 바로 위/아래로 거리 $r$ 떨어진 위치.
같은 쪽에 두 원이 있으면 작은 원의 중심이 $\ell$ 에 더 가깝고 $A$ 도 공유하므로 큰 원 안에 완전히 포함.

$$\text{같은 쪽, } r_1 > r_2 \;\Longrightarrow\; \text{원}(r_2) \subset \text{원}(r_1)$$

💡 7학년 원의 성질 — 같은 접점, 같은 쪽이면 마트료시카처럼 포개짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

$S$ 를 '위쪽' + '아래쪽' 으로 쪼갬 — 두 영역은 점 $A$ 만 공유하므로 넓이가 더해짐.
한쪽에 반지름 $r_1 > r_2 > \dots$ 가 쌓여 있을 때 '정확히 한 원'에 들기 위해서는 가장 큰 원 안 + 두 번째 원 밖이어야 함.
그쪽 기여 $= \pi r_1^2 - \pi r_2^2$ (원이 하나면 $\pi r_1^2$, 없으면 $0$).

$$\text{넓이}(S) = \bigl[\pi u_1^2 - \pi u_2^2\bigr] + \bigl[\pi d_1^2 - \pi d_2^2\bigr]$$

💡 7학년 원 넓이 — 각 쪽 '정확히 하나' 영역은 단 하나의 고리.

#1 그림 그리기 6.EE.A.1 단계 3

네 넓이 계산: $\pi \cdot 1^2 = \pi$, $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$, $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$, $\pi \cdot 7^2 = 49\pi$.
합 $84\pi$ 는 이론상 상한일 뿐(모든 원이 모든 점에서 유일 — 불가능).

$$A_1 = \pi,\ A_3 = 9\pi,\ A_5 = 25\pi,\ A_7 = 49\pi,\ \text{합} = 84\pi$$

💡 6학년 거듭제곱 — $\pi r^2$ 로 $r = 1, 3, 5, 7$ 의 넓이 도출.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $\{1, 3, 5, 7\}$ 을 위쪽 $U$ 와 아래쪽 $D$ 로 가르는 분할 나열.
양수 기여를 키우려면 큰 두 반지름 $7, 5$ 를 서로 다른 쪽에 — $u_1 = 7, d_1 = 5$ (또는 반대).
그러면 $\{3, 1\}$ 은 본질적으로 세 가지 방법으로 나뉨:

$$U \,/\, D \in \{\{7,3,1\}/\{5\},\;\{7,3\}/\{5,1\},\;\{7\}/\{5,3,1\}\}$$

💡 4학년 여러 단계 — $3$ 과 $1$ 의 본질적으로 다른 배치를 빠짐없이 나열.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 5

각 경우 계산.
경우 A $U=\{7,3,1\},\,D=\{5\}$: $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$.
경우 B $U=\{7,3\},\,D=\{5,1\}$: $(49\pi - 9\pi) + (25\pi - \pi) = 40\pi + 24\pi = 64\pi$.
경우 C $U=\{7\},\,D=\{5,3,1\}$: $49\pi + (25\pi - 9\pi) = 65\pi$.
(대칭 경우 $U=\{7,1\},\,D=\{5,3\}$: $(49\pi-\pi) + (25\pi-9\pi) = 64\pi$.)

$$\text{A}: 65\pi,\ \text{B}: 64\pi,\ \text{C}: 65\pi$$

💡 6학년 식 계산 — 각 쪽의 두 번째로 큰 $r^2$ 만 빼고 더함.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

최댓값 $65\pi$ 선택.
반지름 $3$ 을 $7$ 안에 숨기거나(A), 작은 $3$ 과 $1$ 둘 다 $5$ 안에 숨기는(C) 두 배치에서 달성.
두 경우 모두 반지름 $1$ 원은 어차피 다른 원에 포함되어 '낭비'.
선택지 (D) $65\pi$ 와 일치.

$$\max\text{넓이}(S) = 65\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 4학년 비교 — $\{64\pi, 65\pi\}$ 중 큰 값이 (D).

[1] #1 7.G.B.4 반지름 $r$ 인 원이 수평선 $\ell$ 위 점 $A$ 에서 접하면 중심은 $A$ 의 바로 위/아래로 거리 $r$ 떨어진 위치. 같은 쪽에 두

[2] #7 7.G.B.4 $S$ 를 '위쪽' + '아래쪽' 으로 쪼갬 — 두 영역은 점 $A$ 만 공유하므로 넓이가 더해짐. 한쪽에 반지름 $r_1 > r_2 > \do

[3] #1 6.EE.A.1 네 넓이 계산: $\pi \cdot 1^2 = \pi$, $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$, $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$,

[4] #2 4.OA.A.3 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $\{1, 3, 5, 7\}$ 을 위쪽 $U$ 와 아래쪽 $D$ 로 가르는 분할 나열. 양수 기여를 키우려면 큰

[5] #2 6.EE.A.1 각 경우 계산. 경우 A $U=\{7,3,1\},\,D=\{5\}$: $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$. 경우 B $U

[6] #3 4.NBT.A.2 최댓값 $65\pi$ 선택. 반지름 $3$ 을 $7$ 안에 숨기거나(A), 작은 $3$ 과 $1$ 둘 다 $5$ 안에 숨기는(C) 두 배치에서

검토

합리성 확인: 합리성: $S$ 의 절대 상한은 모든 원이 서로 안 겹칠 때의 $84\pi$ — 그게 (E). 그러나 모두 같은 점 $A$ 에서 접해야 하므로 항상 작은 원이 큰 원에 포함됨 — $\{3, 1\}$ 중 적어도 하나는 손실. 사례 분석으로 $65\pi$ 가 최대. (E) $84\pi$ 미만, (B) $32\pi$ 같이 작은 값은 비효율적 배치에 해당.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기) — '낭비' 를 세는 방식. 전체 합 $84\pi$ 에서 같은 쪽 안에 숨겨진 작은 원의 넓이를 빼야 함. 큰 두 원 $7, 5$ 를 분리하고 작은 원들을 안에 숨기면 '낭비' 는 $9\pi + \pi$ 와 같은 작은 값 — 어떻게 배치해도 $9\pi$ 손실은 피할 수 없고 $\pi$ 는 최선 배치에서 두 번 빼지지 않게 만들 수 있어 결과 $65\pi$. 같은 답을 반대 방향으로 확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($\pi r^2$ 로 각 원의 넓이 계산, 같은 접점·같은 쪽 원들의 포함 관계 인식.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수치식의 작성과 계산 ($r^2$ 계산으로 $r = 1, 3, 5, 7$ 에서 $1, 9, 25, 49$ 도출.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문제 풀기 ($\{1, 3, 5, 7\}$ 을 위/아래로 가르는 본질적으로 다른 분할 나열.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 ($64\pi$ 와 $65\pi$ 비교, $65\pi$ 를 (D) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 원 넓이 $\pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 큰 반지름 $7$ 과 $5$ 를 서로 다른 쪽에 두고 작은 $3, 1$ 은 큰 원 안에 숨겨요. 그러면 각 쪽 '정확히 하나' 영역은 가장 큰 고리뿐 — 최선 합 $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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