AMC 10 · 2020 · #19

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

spatial-visualizationsystematic-enumerationface-adjacencysymmetry-argumenttree-enumeration identify-subproblemscaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: face-adjacencysystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

As shown in the figure below, a regular dodecahedron (the polyhedron consisting of $12$ congruent regular pentagonal faces) floats in space with two horizontal faces. Note that there is a ring of five slanted faces adjacent to the top face, and a ring of five slanted faces adjacent to the bottom face. How many ways are there to move from the top face to the bottom face via a sequence of adjacent faces so that each face is visited at most once and moves are not permitted from the bottom ring to the top ring?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

125

(B)

250

(C)

405

(D)

640

(E)

810

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정십이면체가 윗면과 아랫면이 수평이 되도록 떠 있습니다. 윗면 둘레로 비스듬한 오각형 5개 (위쪽 고리) 가, 아랫면 둘레로 또 다른 오각형 5개 (아래쪽 고리) 가 배치됩니다. 윗면에서 출발해 아랫면에 도착하되, 인접한 면끼리만 이동하고, 같은 면은 최대 한 번만 방문하며, 아래쪽 고리에서 위쪽 고리로는 거슬러 올라가지 않습니다. 가능한 경로 수를 구하세요.

주어진 것: 면 총 12개: 윗면 1, 위쪽 고리 5, 아래쪽 고리 5, 아랫면 1; 윗면은 위쪽 고리의 5개 면 모두와 인접; 위쪽 고리의 각 면은 같은 고리 안 이웃 2개 + 아래쪽 고리 면 2개와 인접; 아랫면은 아래쪽 고리의 5개 면 모두와 인접 (윗 절반과 거울상); 선택지: (A) $125$, (B) $250$, (C) $405$, (D) $640$, (E) $810$

구하는 것: 윗면에서 아랫면까지의 유효 경로 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기

도구 #7 (쪼개기): 모든 유효 경로는 같은 모양 — 윗면 $\to$ (위쪽 고리 일부) $\to$ (아래쪽 고리 일부) $\to$ 아랫면. 위쪽 고리를 떠나는 순간을 기준으로 잘라 각 구간을 따로 세고 곱합니다. 도구 #1 (그림): 위쪽 고리를 $1$ ~ $5$ 번 오각형 사이클로 그리고, 각각이 아래로 내려가는 두 면을 표시하면 선택지가 한눈에. 도구 #5 (패턴): 한 고리 안에서, 진입한 면에서 바로 떠나거나 시계/반시계 방향으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 걸을 수 있으니 항상 $1 + 2 \cdot 4 = 9$ 가지.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

배치를 그립니다: 윗면 $T$ 가 위쪽 고리 5면 $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$ 와 모두 맞닿고, $U_i$ 는 좌우 이웃 $U_{i-1}, U_{i+1}$ 과 아래쪽 고리 2면과 맞닿습니다.
아래쪽 고리 $L_1, \ldots, L_5$ 는 거울상 — 각 $L_j$ 는 좌우 이웃과 아랫면 $B$ 에 맞닿습니다.
규칙에 따라 $T$ 에서 출발해 위쪽 고리의 몇 면을 걷고, 아래쪽 고리로 점프, 아래쪽 고리의 몇 면을 걷고, $B$ 에서 끝납니다.

$$T \to (U\text{들}) \to (L\text{들}) \to B$$

💡 정십이면체를 위·중·중·아래 네 층으로 상상.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

위쪽 고리 진입 면 선택.
$T$ 는 $U_1, \ldots, U_5$ 모두와 맞닿으므로 진입 면은 $5$ 가지.

$$\text{진입 선택} = 5$$

💡 위쪽 고리로 들어가는 문 다섯 개.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.8 단계 3

위쪽 고리 안에서 이동.
진입 면 $U_i$ 에서 바로 내려가거나 (1가지), 시계·반시계 방향 (2방향) 으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 (4가지 길이 — 5칸은 $U_i$ 로 돌아오므로 금지) 걸을 수 있습니다.
따라서 $1 + 2 \cdot 4 = 9$ 가지 위쪽 고리 부분 경로 — 각각 다른 면에서 끝납니다.

$$\text{위쪽 고리 부분 경로} = 1 + 2 \cdot 4 = 9$$

💡 바로 멈추거나, 2방향 중 한 방향으로 최대 4칸 산책.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

마지막 위쪽 고리 면 $U_j$ 에서 아래쪽 고리로 내려갑니다.
각 $U_j$ 는 정확히 2개의 아래쪽 고리 면과 맞닿으므로 $2$ 가지.

$$\text{낙하 선택} = 2$$

💡 위쪽 고리 오각형마다 정확히 2개의 아래쪽 오각형 위에 걸침.

#5 패턴 찾기 7.SP.C.8 단계 5

아래쪽 고리 안에서 이동.
기하 구조가 위쪽 고리와 거울상: 진입 면 $L_k$ 에서 바로 $B$ 로 내려가거나 (1가지), 2방향으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 (8가지) — 총 $1 + 2 \cdot 4 = 9$ 가지.

$$\text{아래쪽 고리 부분 경로} = 1 + 2 \cdot 4 = 9$$

💡 위쪽 고리와 같은 구조 — 정십이면체를 거꾸로 뒤집은 것.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 6

아랫면으로 한 걸음.
아래쪽 고리의 모든 면이 $B$ 와 인접하므로 마지막 $L$ 에서 $B$ 로 가는 방법은 정확히 $1$ 가지.

$$\text{마무리} = 1$$

💡 아래쪽 고리 모든 면이 아랫면과 경계 공유.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 7

독립적인 선택을 모두 곱합니다: $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810$.
선택지 (E).

$$5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 곱의 법칙 — 독립 단계, 선택지 수를 곱함.

[1] #1 5.G.A.2 배치를 그립니다: 윗면 $T$ 가 위쪽 고리 5면 $U_1, U_2, U_3, U_4, U_5$ 와 모두 맞닿고, $U_i$ 는 좌우 이웃 $U

[2] #7 7.SP.C.8 위쪽 고리 진입 면 선택. $T$ 는 $U_1, \ldots, U_5$ 모두와 맞닿으므로 진입 면은 $5$ 가지.

[3] #5 7.SP.C.8 위쪽 고리 안에서 이동. 진입 면 $U_i$ 에서 바로 내려가거나 (1가지), 시계·반시계 방향 (2방향) 으로 $1, 2, 3, 4$ 칸 (4

[4] #7 7.SP.C.8 마지막 위쪽 고리 면 $U_j$ 에서 아래쪽 고리로 내려갑니다. 각 $U_j$ 는 정확히 2개의 아래쪽 고리 면과 맞닿으므로 $2$ 가지.

[5] #5 7.SP.C.8 아래쪽 고리 안에서 이동. 기하 구조가 위쪽 고리와 거울상: 진입 면 $L_k$ 에서 바로 $B$ 로 내려가거나 (1가지), 2방향으로 $1,

[6] #7 7.SP.C.8 아랫면으로 한 걸음. 아래쪽 고리의 모든 면이 $B$ 와 인접하므로 마지막 $L$ 에서 $B$ 로 가는 방법은 정확히 $1$ 가지.

[7] #7 7.SP.C.8 독립적인 선택을 모두 곱합니다: $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810$. 선택지 (E).

검토

합리성 확인: 고리 내부 9가지 검산: 진입 면에서 멈춤 ($1$ 가지), 시계 $1, 2, 3, 4$ 칸 ($4$ 가지), 반시계 $1, 2, 3, 4$ 칸 ($4$ 가지) — $1 + 4 + 4 = 9$. 곱 $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1 = 810$ 은 선택지 중 유일하게 $9$ 로 나누어 떨어지는 값 — 다른 선택지 ($125, 250, 405, 640$) 는 고리 내부 옵션 누락이나 $\times 2$ 낙하 인수 빠뜨림.

대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열): 경로 총 길이별로 분류. 길이 3 ($T \to U \to L \to B$): $5 \cdot 2 = 10$. 길이 4 ($T \to U \to U \to L \to B$ 또는 $T \to U \to L \to L \to B$): $5 \cdot 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2 \cdot 2 = 40$. 길이 11까지 다 더하면 $810$. 곱의 법칙이 더 빠르지만 나열도 같은 답을 확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.G.A.2 점을 그래프로 그려 실생활·수학 문제 표현 (정십이면체의 네 층 면 그래프를 그려 유효 경로 모양 시각화.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (독립 단계별 선택지를 곱하기: $5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 7학년 때 배운 곱의 법칙만 알면 풀 수 있어요 — 경로를 다섯 독립 단계 ($5 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 1$) 로 쪼개 곱하면 끝. 답은 $\textbf{(E)} \; 810$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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