AMC 10 · 2020 · #25
학년 7 probability문제
Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly 7. Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Jason 은 공정한 주사위 세 개를 굴려 결과를 본 뒤, 합이 정확히 $7$ 이 될 확률을 최대로 만들 부분집합 (개수 $0, 1, 2, 3$ 중 하나) 을 골라 다시 굴립니다. 초기 굴림에 대한 확률 — 최적 전략이 "정확히 두 주사위를 다시 굴리는 것" 일 확률은 얼마?
주어진 것: 공정한 표준 6 면 주사위 세 개; $6^3 = 216$ 가지 동등 확률 초기 결과; Jason 은 결과를 본 뒤 다시 굴릴 부분집합 (크기 $0, 1, 2, 3$) 을 선택; 최종 합이 정확히 $7$ 이면 승리; 최적 전략 — 승리 확률을 최대로 하는 부분집합 선택; 선택지: (A) $\tfrac{7}{36}$, (B) $\tfrac{5}{24}$, (C) $\tfrac{2}{9}$, (D) $\tfrac{17}{72}$, (E) $\tfrac{1}{4}$
구하는 것: 최적 행동이 "정확히 두 주사위 재굴림" 일 확률
이해
문제 재정리: Jason 은 공정한 주사위 세 개를 굴려 결과를 본 뒤, 합이 정확히 $7$ 이 될 확률을 최대로 만들 부분집합 (개수 $0, 1, 2, 3$ 중 하나) 을 골라 다시 굴립니다. 초기 굴림에 대한 확률 — 최적 전략이 "정확히 두 주사위를 다시 굴리는 것" 일 확률은 얼마?
주어진 것: 공정한 표준 6 면 주사위 세 개; $6^3 = 216$ 가지 동등 확률 초기 결과; Jason 은 결과를 본 뒤 다시 굴릴 부분집합 (크기 $0, 1, 2, 3$) 을 선택; 최종 합이 정확히 $7$ 이면 승리; 최적 전략 — 승리 확률을 최대로 하는 부분집합 선택; 선택지: (A) $\tfrac{7}{36}$, (B) $\tfrac{5}{24}$, (C) $\tfrac{2}{9}$, (D) $\tfrac{17}{72}$, (E) $\tfrac{1}{4}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 네 전략 (재굴림 $0, 1, 2, 3$) 의 승리 확률을 각각 계산해 비교. 도구 #9(더 쉬운 문제): 주사위 두 개의 합이 $s$ 가 되는 경우 수는 $s \le 7$ 일 때 $s-1$ 이라는 작은 규칙. 도구 #2(빠짐없이 나열): 정렬 $(a, b, c), a \le b \le c$ 가 도출된 조건 만족하는 것들을 순열 수까지 곱해 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 재굴림 $2$ vs. 재굴림 $1$ 비교로 큰 영역 제거, 재굴림 $2$ vs. 재굴림 $3$ 으로 $a \in \{1, 2, 3\}$ 으로 더 제한.
실행 — 정답: A
7.SP.C.8 단계 1 - 각 전략의 승리 확률 계산.
- 초기 굴림을 $(d_1, d_2, d_3)$, 정렬해 $a \le b \le c$.
- 재굴림 $0$ (전부 유지): 처음 합이 정확히 $7$ 이면 승리, 아니면 확률 $0$.
- 재굴림 $3$ (전부 다시): 순서 있는 합 $7$ 삼중쌍 수.
- 비순서 분할: $\{1,1,5\}\;(3 \text{ 순열}), \{1,2,4\}\;(6), \{1,3,3\}\;(3), \{2,2,3\}\;(3)$, 합 $15$.
- 확률 $= 15/216 = 5/72$.
💡 합 $7$ 의 네 비순서 삼중쌍을 나열하고 순열 세기.
7.SP.C.7 단계 2 - 재굴림 $1$.
- 두 주사위 합 $s$ 를 유지하면 재굴림한 주사위는 $7-s$ 여야 함.
- $1 \le 7-s \le 6 \Leftrightarrow 1 \le s \le 6$ 일 때 가능, 그 경우 승리 확률 $1/6$.
- 최적 유지 쌍: 합이 작은 쪽, 즉 가장 작은 두 주사위 $(a, b)$.
- 따라서 재굴림 $1$ 은 $a + b \le 6$ 일 때 가능, 확률 $1/6$.
- ($a+b \ge 7$ 이면 어떤 쌍도 합 $\le 6$ 이 아니라 재굴림 $1$ 확률 $0$.)
💡 가장 작은 두 개를 유지 — 재굴림 주사위는 $6$ 면 중 한 면 당첨.
7.SP.C.8 단계 3 - 재굴림 $2$.
- 한 주사위 값 $k$ 만 유지하면 재굴림 쌍의 합은 $7-k$.
- 두 주사위 합이 $s \le 7$ 가 되는 순서 있는 쌍 수는 $s-1$ (작은 규칙).
- $k \ge 1$ 이면 $7-k \le 6$ 이라 개수 $(7-k)-1 = 6-k$ (전체 $36$).
- 최대화: 가장 작은 $a$ 를 유지, 승리 확률 $(6-a)/36$, $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ($a=6$ 이면 확률 $0$).
💡 가장 작은 주사위를 유지해 재굴림 쌍의 목표 합을 넓힘.
7.RP.A.3 단계 4 - 필터 1: 재굴림 $2$ 가 재굴림 $1$ 보다 좋아야.
- $\dfrac{6-a}{36}$ 최대 $\dfrac{5}{36}$ ($a=1$ 때) 이지만 $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ 보다 항상 작음.
- 따라서 재굴림 $1$ 이 가능한 한 ($a+b \le 6$) Jason 은 재굴림 $1$ 을 선호.
- 재굴림 $2$ 가 최적이려면 재굴림 $1$ 이 불가, 즉 $a + b \ge 7$.
💡 재굴림 $1$ 이 가능한 한 그것이 항상 이김 — 먼저 그 선택지를 제거해야.
7.RP.A.3 단계 5 - 필터 2: 재굴림 $2$ 가 재굴림 $3$ 보다 좋아야.
- $\dfrac{6-a}{36} > \dfrac{5}{72}$ 는 $\dfrac{2(6-a)}{72} > \dfrac{5}{72}$, 즉 $12 - 2a > 5$, 즉 $a < 3.5$.
- 따라서 $a \in \{1, 2, 3\}$.
💡 유지하는 주사위가 클수록 목표 합이 작아 재굴림 쌍의 경우 수가 줄어듦.
7.SP.C.8 단계 6 - 필터 3: 재굴림 $2$ 가 재굴림 $0$ 보다 좋아야.
- 초기 합 $a+b+c = 7$ 이면 재굴림 $0$ 이 무조건 이김.
- 그러나 (필터 1) $a + b \ge 7$, $a \le b \le c$ 라 $a+b+c \ge 7 + c \ge 7 + b \ge 7 + a \ge 8 > 7$.
- 필터 1이 자동으로 초기 합 $7$ 을 배제 — 추가 작업 없음.
💡 $a + b \ge 7$ 이면 총합 $\ge 8$ — 재굴림 $0$ 확률 $0$ 으로 자동 탈락.
7.SP.C.8 단계 7 - $a \le b \le c$, $a \in \{1,2,3\}$, $a+b \ge 7$ 인 정렬 삼중쌍 나열.
- $a=1$: $b \ge 6$ 이라 $b = c = 6$.
- 삼중쌍 $(1,6,6)$ — 순열 $3$ 개.
- $a=2$: $b \ge 5$.
- $b=5$: $c \in \{5, 6\}$ — $(2,5,5)$ 순열 $3$, $(2,5,6)$ 순열 $6$.
- $b=6$: $c=6$, $(2,6,6)$ 순열 $3$.
- 합 $3+6+3 = 12$.
- $a=3$: $b \ge 4$.
- $b=4$: $c \in \{4,5,6\}$ — $(3,4,4): 3, (3,4,5): 6, (3,4,6): 6$.
- $b=5$: $c \in \{5,6\}$ — $(3,5,5): 3, (3,5,6): 6$.
- $b=6$: $c=6$, $(3,6,6): 3$.
- 합 $3+6+6+3+6+3 = 27$.
💡 $a, b, c$ 순으로 체계적 — 각 작은 중복집합.
7.SP.C.7 단계 8 - 총 유리 순서 삼중쌍: $3 + 12 + 27 = 42$.
- 확률 $= \dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}$, 선택지 (A).
💡 유리 / 전체 — 분수 약분.
7.SP.C.8 각 전략의 승리 확률 계산. 초기 굴림을 $(d_1, d_2, d_3)$, 정렬해 $a \le b \le c$. 재굴림 $0$ (전부 유지): 7.SP.C.7 재굴림 $1$. 두 주사위 합 $s$ 를 유지하면 재굴림한 주사위는 $7-s$ 여야 함. $1 \le 7-s \le 6 \Leftrightarr 7.SP.C.8 재굴림 $2$. 한 주사위 값 $k$ 만 유지하면 재굴림 쌍의 합은 $7-k$. 두 주사위 합이 $s \le 7$ 가 되는 순서 있는 쌍 수는 7.RP.A.3 필터 1: 재굴림 $2$ 가 재굴림 $1$ 보다 좋아야. $\dfrac{6-a}{36}$ 최대 $\dfrac{5}{36}$ ($a=1$ 때) 이 7.RP.A.3 필터 2: 재굴림 $2$ 가 재굴림 $3$ 보다 좋아야. $\dfrac{6-a}{36} > \dfrac{5}{72}$ 는 $\dfrac{2(6- 7.SP.C.8 필터 3: 재굴림 $2$ 가 재굴림 $0$ 보다 좋아야. 초기 합 $a+b+c = 7$ 이면 재굴림 $0$ 이 무조건 이김. 그러나 (필터 1) 7.SP.C.8 $a \le b \le c$, $a \in \{1,2,3\}$, $a+b \ge 7$ 인 정렬 삼중쌍 나열. $a=1$: $b \ge 6$ 이라 7.SP.C.7 총 유리 순서 삼중쌍: $3 + 12 + 27 = 42$. 확률 $= \dfrac{42}{216} = \dfrac{7}{36}$, 선택지 (A) 검토
합리성 확인: 감각 점검. $42/216$ 의 $\gcd(42, 216) = 6$ 으로 약분하면 $7/36$. 정렬 삼중쌍은 $a$ 가 유일하므로 중복 없음. 검증 $(1,6,6)$: $a=1$, 재굴림 $2$ 는 $1$ 유지, 쌍 합 $6$ 필요, 순서 있는 쌍 $5$ 개 ($(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$), 확률 $5/36 \approx 0.139$. 재굴림 $1$ 대안은 $(6,6)$ 유지, 합 $12 > 6$, 불가 — 재굴림 $1$ 제거 확인. 재굴림 $3$ 은 $5/72 \approx 0.069$, 더 낮음. 재굴림 $0$ 은 합 $13 \ne 7$, $0$. 재굴림 $2$ 가 승리. 검증 $(4,5,6)$: $a=4 \notin \{1,2,3\}$ — 여기선 재굴림 $2$ 가 최적 아님. 재굴림 $1$ 가능? $a+b = 9 > 6$, 불가. 재굴림 $3$ 은 $5/72$. 재굴림 $2$ ($4$ 유지) 는 $(6-4)/36 = 2/36 = 4/72 < 5/72$ — 재굴림 $3$ 이 이김. 필터 $a \le 3$ 확인.
대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기): 색 다른 세 주사위를 여러 번 굴려 각 결과별 최적 전략을 손으로 정리(또는 미리 계산한 표 참조), $216$ 결과 중 재굴림 $2$ 영역에 들어간 개수를 셈. 컴퓨터 시뮬레이션도 같은 $42/216 = 7/36$. 분석적 접근의 장점: 두 필터 ($a+b \ge 7$, $a \le 3$) 가 작은 영역을 빠르게 고정.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.RP.A.3비례 관계로 여러 단계 비율·백분율 문제 풀기 ($\frac{6-a}{36}, \frac{1}{6}, \frac{5}{72}$ 를 공통 분모로 비교해 $a+b \ge 7$ 와 $a \le 3$ 도출.)7.SP.C.7확률 모델을 만들고 사건의 확률 구하기 (균등 주사위 확률 ($P = 1/6$) 모델을 세워 각 전략의 가치 평가.)7.SP.C.8조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합사건 확률 구하기 (두 주사위 합이 목표값이 되는 순서 있는 쌍 수 ($6-a$ / $36$) 와 합 $7$ 인 순서 삼중쌍 수 ($15$ / $216$) 계산 — 중복집합 나열 후 순열 곱.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 주사위 확률과 부등식 비교만 있으면 풀려요 — 두 주사위 재굴림이 최적이려면 (1) 모든 두 주사위 합이 $6$ 초과 ($a+b \ge 7$), (2) 가장 작은 주사위가 $\{1,2,3\}$ 이어야 하고, 그런 정렬 순서쌍 $42$ 개 / $216$ 으로 $\frac{42}{216} = \frac{7}{36}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 주사위 확률과 부등식 비교만 있으면 풀려요 — 두 주사위 재굴림이 최적이려면 (1) 모든 두 주사위 합이 $6$ 초과 ($a+b \ge 7$), (2) 가장 작은 주사위가 $\{1,2,3\}$ 이어야 하고, 그런 정렬 순서쌍 $42$ 개 / $216$ 으로 $\frac{42}{216} = \frac{7}{36}$.
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