AMC 10 · 2020 · #12

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

exponentsdecimal-arithmeticdigit-countingestimation identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponentsdecimal-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The decimal representation of $\dfrac{1}{20^{20}}$ consists of a string of zeros after the decimal point, followed by a $9$ and then several more digits. How many zeros are in that initial string of zeros after the decimal point?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{1}{20^{20}}$ 을 소수로 쓰면 소수점 뒤에 $0$ 이 죽 늘어선 뒤 $9$ 가 나오고 그 뒤로도 숫자가 이어집니다. 처음 등장하는 $9$ 앞에는 $0$ 이 몇 개 있을까요?

주어진 것: 대상 수: $\dfrac{1}{20^{20}}$; 전개 형태: $0.\underbrace{00\ldots 0}_{?}9\ldots$; 선택지: $23,\; 24,\; 25,\; 26,\; 27$

구하는 것: 소수점과 첫 $0$ 이 아닌 자리($9$) 사이의 $0$ 의 개수

이해

주어진 것: 대상 수: $\dfrac{1}{20^{20}}$; 전개 형태: $0.\underbrace{00\ldots 0}_{?}9\ldots$; 선택지: $23,\; 24,\; 25,\; 26,\; 27$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

도구 #7(쪼개기): 분모 $20^{20}$ 을 $2^{20} \cdot 10^{20}$ 로 분리해 각 부분을 따로 처리 — $10^{20}$ 은 소수점만 $20$ 칸 옮기고, $2^{20}$ 만 $10$ 의 거듭제곱 보정으로 환산하면 됨. 도구 #9(더 쉬운 문제): 큰 $2^{20}$ 대신 작은 사실 $2^{10} = 1024$ 로 자릿수를 구함. 도구 #3(가능성 지우기): 자릿수를 세고 나면 선택지 중 하나만 일치.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 1

$20 = 2 \cdot 10$ 으로 분모를 다시 쓰기.
$10$ 의 거듭제곱(소수점 위치만 이동)과 $2$ 의 거듭제곱(첫 $0$ 이 아닌 자리 결정)으로 깔끔하게 분리됨.

$$20^{20} = (2 \cdot 10)^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20}$$

💡 6학년 지수 법칙: $(ab)^n = a^n b^n$ 으로 두 효과를 분리.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.1 단계 2

$2^{10} = 1024$ 라는 쉬운 사실로 $2^{20}$ 의 자릿수 파악.
제곱하면 $2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}576$ — $7$ 자리 수.

$$2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}576 \quad (7 \text{자리})$$

💡 6학년: 작은 $2^{10}$ 을 제곱해 $2^{20}$ 을 계산기 없이 구함.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.3 단계 3

정리.
$\dfrac{1}{20^{20}} = \dfrac{1}{2^{20} \cdot 10^{20}} = \dfrac{1}{1{,}048{,}576} \cdot 10^{-20}$.
$\dfrac{1}{1{,}048{,}576}$ 은 $\dfrac{1}{10^6}$ 보다 살짝 작아 $0.000000\,9536\ldots$ — 즉 첫 $9$ 가 소수 $7$ 번째 자리.

$$\dfrac{1}{2^{20}} = \dfrac{1}{1{,}048{,}576} \approx 9.537 \cdot 10^{-7}$$

💡 8학년 과학 표기: $1/2^{20}$ 의 $9$ 는 $10^{-7}$ 자리에서 시작.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.4 단계 4

$10^{-20}$ 을 곱하면 모든 숫자가 오른쪽으로 $20$ 칸 더 이동.
$7$ 번째 자리에 있던 $9$ 가 $(7 + 20) = 27$ 번째 자리로 이동.

$$\dfrac{1}{20^{20}} \approx 9.537 \cdot 10^{-27}$$

💡 8학년 과학 표기: $10^{-20}$ 을 곱하면 지수가 $-20$ 만큼 감소.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.2 단계 5

첫 $0$ 이 아닌 자리가 $27$ 번째라면, 그 앞($1$ 번째부터 $26$ 번째까지)은 모두 $0$ — 즉 $26$ 개.

$$\text{앞 } 0 \text{ 개수} = 27 - 1 = 26$$

💡 5학년 자릿값: $1$ ~ $26$ 자리는 모두 $0$, $27$ 자리는 $9$.

#3 가능성 지우기 2.NBT.A.4 단계 6

$26$ 을 선택지와 매칭: (D).
다른 선택지들($23, 24, 25, 27$)은 $2^{20}$ 의 자릿수 또는 자리 이동을 한두 칸 놓친 값.

$$26 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 2학년 수 비교: $26$ 과 같은 선택지는 하나뿐.

[1] #7 6.EE.A.1 $20 = 2 \cdot 10$ 으로 분모를 다시 쓰기. $10$ 의 거듭제곱(소수점 위치만 이동)과 $2$ 의 거듭제곱(첫 $0$ 이 아닌 자

[2] #9 6.EE.A.1 $2^{10} = 1024$ 라는 쉬운 사실로 $2^{20}$ 의 자릿수 파악. 제곱하면 $2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}5

[3] #9 8.EE.A.3 정리. $\dfrac{1}{20^{20}} = \dfrac{1}{2^{20} \cdot 10^{20}} = \dfrac{1}{1{,}048{,}

[4] #7 8.EE.A.4 $10^{-20}$ 을 곱하면 모든 숫자가 오른쪽으로 $20$ 칸 더 이동. $7$ 번째 자리에 있던 $9$ 가 $(7 + 20) = 27$ 번

[5] #7 5.NBT.A.2 첫 $0$ 이 아닌 자리가 $27$ 번째라면, 그 앞($1$ 번째부터 $26$ 번째까지)은 모두 $0$ — 즉 $26$ 개.

[6] #3 2.NBT.A.4 $26$ 을 선택지와 매칭: (D). 다른 선택지들($23, 24, 25, 27$)은 $2^{20}$ 의 자릿수 또는 자리 이동을 한두 칸 놓친

검토

합리성 확인: 어림: $20^{20} = (2 \cdot 10)^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20} \approx 10^6 \cdot 10^{20} = 10^{26}$ 이므로 $\dfrac{1}{20^{20}} \approx 10^{-26}$ — 첫 $0$ 이 아닌 자리가 소수 $26$ ~ $27$ 번째 부근, 즉 앞 $0$ 의 개수는 $25, 26, 27$ 중 하나. 더 정밀히 보면 $2^{20}$ 이 $10^6$ 보다 약간 크므로 첫 $0$ 이 아닌 자리는 $27$ 번째로 미끄러져 $0$ 의 개수는 $26$. (D)와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인) — 자릿수 규칙. $10$ 의 거듭제곱이 아닌 $d$ 자리 양의 정수 $N$ 에 대해, $\dfrac{1}{N}$ 의 앞쪽 $0$ 개수는 $d - 1$ ($10^{d-1} \le N < 10^d \Rightarrow 10^{-d} < \dfrac{1}{N} \le 10^{-(d-1)}$). 여기서 $N = 20^{20}$ 은 $7 + 20 = 27$ 자리이므로 $27 - 1 = 26$. 같은 답을 더 빠르게.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

2.NBT.A.4 세 자리 수 두 개를 부등호로 비교하기 ($26$ 을 다섯 선택지와 매칭.)
5.NBT.A.2 $0$ 개수와 소수점 위치의 규칙 설명하기 (첫 $0$ 이 아닌 자리가 $27$ 번째라는 사실로부터 앞 $0$ 이 $26$ 개임을 도출.)
6.EE.A.1 정수 지수가 포함된 수식 쓰고 평가하기 ($20^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20}$ 분리 및 $2^{20} = 1024^2 = 1{,}048{,}576$ 계산.)
8.EE.A.3 한 자리 수 × $10$ 의 거듭제곱 형태로 수 표기하기 ($\dfrac{1}{2^{20}} \approx 9.537 \cdot 10^{-7}$ 표기.)
8.EE.A.4 과학 표기 수의 연산 수행하기 ($10^{-20}$ 을 곱해 첫 $0$ 이 아닌 자리를 소수 $27$ 번째로 이동.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 과학 표기만 알면 풀 수 있어요! $20^{20} = 2^{20} \cdot 10^{20}$ 로 분리. $10^{20}$ 부분은 $0$ 을 $20$ 개 만들어 주고, $2^{20} = 1{,}048{,}576$ 는 $7$ 자리이므로 $\dfrac{1}{2^{20}} \approx 9.5 \cdot 10^{-7}$ — $9$ 가 소수 $7$ 번째 자리. $10^{-20}$ 만큼 더 밀려 $9$ 가 $27$ 번째 자리에 도착, 앞 $0$ 의 개수는 $27 - 1 = \mathbf{26}$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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